Матрица ротације у линеарној алгебри представља матрицу ротација у Еуклидовом простору. Нпр. матрица ротације тачака за угао θ око исходишта (односно ротација координатног система за угао -θ око координатног почетка) у xy-картезијевом простору супротно кретању казаљке на сату дата је са:
R
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
{\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}
Матрице ротације су ортогоналне матрице са детерминантом једнаком јединици.
R
T
=
R
−
1
,
det
R
=
1
{\displaystyle R^{T}=R^{-1},\det R=1\,}
Скуп таквих матрица димензије n чини специјалну ортогоналну групу, познату као SO(n ) .
Ротација у дводимензионалном простору [ уреди | уреди извор ] У дводимензионалном простору вектор нових координата насталих ротацијом одговара множењу матрице ротације и вектора координата:
[
x
′
y
′
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
[
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}}
На тај начин ротацијом добијају се нове координате (x',y') ротацијом тачке (x, y):
x
′
=
x
cos
θ
−
y
sin
θ
{\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta \,}
y
′
=
x
sin
θ
+
y
cos
θ
{\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta \,}
Ротација у тродимензионалном простору [ уреди | уреди извор ] Три основне ротације око оси x , y и z дане су са:
R
x
(
θ
)
=
[
1
0
0
0
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
]
R
y
(
θ
)
=
[
cos
θ
0
sin
θ
0
1
0
−
sin
θ
0
cos
θ
]
R
z
(
θ
)
=
[
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
]
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}}
Опште ротације за Ојлерове углове [ уреди | уреди извор ] Општа матрица ротације у тродимензионалном простору може да се добије множењем матрица ротације за три Ојлерова угла α , β и γ (y-x-z конвенција за Ојлерове углове ):
R
z
(
γ
)
R
x
(
β
)
R
y
(
α
)
{\displaystyle R_{z}(\gamma )\,R_{x}(\beta )\,R_{y}(\alpha )\,\!}
У случају ротације за углове
γ
{\displaystyle \;\gamma }
β
{\displaystyle \;\beta }
α
{\displaystyle \;\alpha }
M
(
α
,
β
,
γ
)
=
M
z
(
α
)
⋅
M
x
(
β
)
⋅
M
z
(
γ
)
{\displaystyle M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{z}(\alpha )\cdot M_{x}(\beta )\cdot M_{z}(\gamma )}
=
(
cos
α
cos
γ
−
sin
α
cos
β
sin
γ
−
cos
α
sin
γ
−
sin
α
cos
β
cos
γ
sin
α
sin
β
sin
α
cos
γ
+
cos
α
cos
β
sin
γ
−
sin
α
sin
γ
+
cos
α
cos
β
cos
γ
−
cos
α
sin
β
sin
β
sin
γ
sin
β
cos
γ
cos
β
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{pmatrix}}}
Скуп матрица ротације димензије n чини Лијеву групу звану специјална ортогонална група , познату као SO(n ) . Са сваком Лијевом групом повезана је Лијева алгебра, тако да у овом случају имамо Лијеву алгебру:
s
o
(
n
)
,
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n),\,\!}
Лијева алгебра у тродимензионалном простору :
s
o
(
3
)
,
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),\,\!}
A
x
=
[
0
0
0
0
0
−
1
0
1
0
]
,
A
y
=
[
0
0
1
0
0
0
−
1
0
0
]
,
A
z
=
[
0
−
1
0
1
0
0
0
0
0
]
.
{\displaystyle A_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}
Лијеве заграде тих оператора задовољавају следеће релације:
[
A
x
,
A
y
]
=
A
z
,
[
A
z
,
A
x
]
=
A
y
,
[
A
y
,
A
z
]
=
A
x
.
{\displaystyle [A_{\mathbf {x} },A_{\mathbf {y} }]=A_{\mathbf {z} },\quad [A_{\mathbf {z} },A_{\mathbf {x} }]=A_{\mathbf {y} },\quad [A_{\mathbf {y} },A_{\mathbf {z} }]=A_{\mathbf {x} }.}
Произвољна матрица у Лијевој алгебри може да се опише помоћу три генератора као:
ω
~
=
x
A
x
+
y
A
y
+
z
A
z
=
[
0
−
z
y
z
0
−
x
−
y
x
0
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\boldsymbol {\omega }}}&{}=xA_{\mathbf {x} }+yA_{\mathbf {y} }+zA_{\mathbf {z} }\\&{}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418f5a24750978791d20d0c8e7f709970c8a4808)
![{\displaystyle [A_{\mathbf {x} },A_{\mathbf {y} }]=A_{\mathbf {z} },\quad [A_{\mathbf {z} },A_{\mathbf {x} }]=A_{\mathbf {y} },\quad [A_{\mathbf {y} },A_{\mathbf {z} }]=A_{\mathbf {x} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019f3af42dffe643de84c84c4fcd6cc01c97deb3)
