Периодичност функције

Илустрација периодичне функције са периодом $P.$

У математици, периодична функција је функција која понавља своје вредности у правилним интервалима или периодима. Најважнији примери су тригонометријске функције, које се понављају у интервалима од 2π радијана. Периодичне функције се користе у науци за описивање осцилација, таласа и других појава које показују периодичност. Свака функција која није периодична назива се апериодна.

Дефиниција

За функцију реалне променљиве $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ кажемо да је периодична са периодом $T$, ако постоји $T>0$ такво да важи:

$f(x+T)=f(x).$

Најмањи такав број $T$ (ако постоји), назива се основни период функције $f$.

Неке периодичне функције

Синусна и косинусна функција

Главни чланак: Синусоида

Главни чланак: Косинусоида

График f(x) = sin(x) и g(x) = cos(x); обе функције су периодичне са периодом 2π.

Синусна и косинусна функција, синусоида и косинусоида, обе су периодичне функције и то обе са периодом $2\pi$.

Функција "цео део"

Главни чланак: Функција "цео део"

Функција "цео део"

Функција "цео део" је периодична са периодом 1.

Дирихлеова функција

Главни чланак: Дирихлеова функција

Једна од интересантних периодичних функција је, рецимо, Дирихлеова функција $D\colon \mathbb {R} \mapsto \{0,1\}$ дефинисана као:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} ,\end{cases}}$

која је периодична, али нема најмањи период.

Томаова функција

Главни чланак: Томаова функција

Томаова функција

Модификована Дирихлеова функција, која задржава њене карактеристичне особине, али је графички занимљивија, је Томаова функција.

Томаова функција $D\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ се дефинише као:

$D(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}$

Види још

• Функција
• Синусоида
• Косинусоида
• Функција "цео део"
• Дирихлеова функција
• Томаова функција

Можда ће те интересовати и неке друге особине функција:

• Парност
• Монотоност

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.