Трапезоидно правило

Пример трапезоидног правила

Трапезоидним правилом се служимо када нас интересује приближна вредност неког одређеног интеграла $\int _{a}^{b}f(x)dx$. Идеја која стоји иза овог правила је апроксимација функције $f(x)$ дужи од тачке $(a,f(a))$ до $(b,f(b))$. Она је једна од Њутн-Коутс формула. Оно је једно од најчешћих правила које срећемо у пракси, пре свега због своје једноставности, а посебно је погодна за периодичне функције.

$f(x)\approx {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot x+f(a)$

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot x+f(a)dx$

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}$

Историја

У извештају из 2016. године наводи се да је трапезоидно правило било кориштено у Вавилону, 50. године пре Исуса Христа, за интеграцију брзине Јупитера дуж еклиптике.

Грешка

Грешка при оваквој апроксимацији је:

$\left|E_{T}\right|\leq {(b-a)^{3} \over 12}\max _{a\leq \xi \leq b}{\left|f''(\xi )\right|}$

До овог резултата смо дошли путем Тејлорових редова. Тејлоров ред функција око тачке $a\,$ изгледа овако:

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots$

Односно за тачку $b\,$:

$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+{\frac {(b-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots$

Применимо трапезоидно правило на интеграл (апроксимација интеграла је обележена црвеном бојом, а тачан интеграл плавом):

${\color {blue}\int _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}={\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+\underbrace {f(a)+(b-a)f'(a)+{\frac {(b-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots } _{f(b)})}$

Погледајмо прецизан интеграл:

${\color {blue}\int _{a}^{b}f(x)dx}={\color {blue}\int _{a}^{b}\underbrace {f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots } _{f(x)}dx}$

$={\color {blue}\int _{a}^{b}f(a)dx+\int _{a}^{b}(x-a)f'(a)dx+\int _{a}^{b}{\frac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}dx+\int _{a}^{b}\dots dx}$

$={\color {blue}(b-a)f(a)+{\frac {(b-a)^{2}f'(a)}{2}}+{\frac {(b-a)^{3}f''(a)}{6}}+\dots }$

Њихова разлика је наравно грешка:

${\color {blue}\int _{a}^{b}f(x)dx}-{\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}=$

$={\color {blue}(b-a)f(a)+{\frac {(b-a)^{2}f'(a)}{2}}+{\frac {(b-a)^{3}f''(a)}{6}}+\dots }$

$-{\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+f(a)+(b-a)f'(a)+{\frac {(b-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots )}=$

$=-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(a)+\dots$

Очигледно је да за $h\geq 1\,$ грешка расте до бесконачности (јер је реч о бесконачном Тејлоровом реду!), али за $h<1\,$ је све мања што „се даље иде“. Зато је најчешће овај израз једино и записан као једини релевантан.

Сложено трапезоидно правило

Када смо незадовољни резултатом, интервал можемо поделити на више мањих, за сваки појединачно израчунати приближну вредност интеграла трапезоидним правилом и после их све заједно сабрати. Тиме добијамо сложено трапезоидно правило:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)$,

што такође можемо написати као:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\dots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)$.

Када означимо број тачака са $n$, a размак између њих са $h={\frac {b-a}{n}}$, онда је грешка сложеног трапезоидног правила:

$\left|E_{T}\right|\leq {(b-a) \over 12}h^{2}\max _{a\leq \xi \leq b}{\left|f''(\xi )\right|}$

Литература

• Milton Abramowitz and Irene Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
• I.S. Gradshteyn (И. С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И. М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press. 2007. ISBN 978-0-12-373637-6.. Errata. (Several previous editions as well.)
• A.P. Prudnikov (А. П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), O.I. Marichev (О. И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992. ISBN 978-2-88124-097-3.. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition. . Chapman & Hall/CRC Press. 2008. ISBN 978-1-58488-956-4. .
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press. 2002. ISBN 978-1-58488-291-6.. (Many earlier editions as well.)
• Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)