Фазно затворена петља

Fazno zatvorena petlja (engl. phase locked loop - PLL) је електронски склоп, део сложенијег кола у коме врши функцију стабилизације рада кола. Оно је контролни систем који генерише сигнал који има фиксну везу са фазом референтног сигнала. Такво коло дјелује и на фреквенцију и на фазу улазног сигнала, аутоматски повећавајући, или смањујући фреквенцију контролног осцилатора, док се не усклади веза између фреквенције и фазе. ПЛЛ кола су примјер контролног система који ради на принципу негативне повратне спреге.

блок шема ПЛЛ-а

У једноставним условима, фазно затворена петља упоређује фреквенције два сигнала и производи сигнал са грешком,који је пропорционалан разлици улазних сигнала. Новонастали сигнал се доводи на улаз ниско пропусног филтра и затим се користи да покрене напоном контролисани осцилатор (ВЦО), који ствара излазне фреквенције. Излазна фреквенција се преко фреквенцијског дјелитеља враћа на улаз тако стварајући негативну повратну спрегу. Ако се излазне фреквенције мијењају, сигнал са грешком ће се повећавати, тјерајући фреквенцију у супротном смјеру, да смањи грешку. Према томе, излаз прати фреквенцију са другог улаза. Тај улаз се назива референтним, и најчешће потиче од кристалног осцилатора, који је фреквенцијски веома стабилан.

Структура и функција

I аналогна и дигитална ПЛЛ кола се састоје из три основна елемента:

• фазног детектора
• напонски контролисаног осцилатора (волтаге-цонтроллед осциллатор, ВЦО)
• затворене негативне повратне спреге (која најчешће укључује и дјелитеље учестаности.

Фазно затворена петља се користи у радио, телекомуникационим и рачунарским системима, као и у осталим електронским применама. ПЛЛ се примјењује код:

• ускопојасног самоподесивог филтрирања сигнала – уклањање шума или подрхтавања (jitter)
• Синтетизовања учестаности
• ФМ и ФМ модулатора и демодулатора са кварцно стабилном основом (FSK, BPSK, QPSK)
• Регенерације такта и података у серијској комуникацији
• Синхроних АМ и QАМ демодулатора
• Тондекодера, ДТМФ декодера
• Управљања брзином мотора...

Класична конфигурација

Класична конфигурација фазно затворене петље се састоји од:

• Детектора фазе
• Напоном Контролисаног Осцилатора
• Филтра петље
• Повратне спреге (са дјелитељем фреквенције)

и приказана је на слици:

Детектор фазе је уређај који упоређује двије улазне фреквенције и генерише излаз који је једнак фазној разлици улазних фреквенција. Ако су улазни сигнали једнаки по фази и фреквенцији излаз из детектора ће бити 0. У случају када међу улазним сигналима постоји разлика у фази и фреквенцији, постојаће и сигнал на излазу, који ће бити већи уколико је фазна и фреквенцијска разлика већа. Ако улазна фреквенција није једнака фреквенцији Напоном Контролисаног Осцилатора, сигнал фазне грешке након филтрирања и појачања, изазива девијацију фреквенције Напонски Контролисаног Осцилатора у смјеру улазне фреквенције. Уколико се испуне услови, Напонски Контролисан Осцилатор (ВЦО – Волтаге Цонтролед Осциллатор) ће затворити петљу са улазном фреквенцијом и тиме ће одржавати стабилну везу са улазним сигналом. Филтрирани излаз фазног детектора је DC сигнал а контролни улаз у ВЦО је мјера улазне фреквенције. ВЦО је локално генерисана фреквенција једнака улазној фреквенцији. Излаз из ВЦО може бити троугаоног, синусоидалног, или неког другог таласног облика.Уколико примјена фазно затворене петље то захтијева излаз из ВЦО помоћу затворене петље може бити доведен на поворку импулса. У већини примјена фазно затворене петље, између ВЦО и фазног детектора помоћу повратне спреге је постављен н бројач(апсолутна вриједност) који генерише вишеструку фреквенцију од улазне фреквенције. Напонски Контролисан Осцилатор који се употребљава у ПЛЛ колу се састоји од компоненти помоћу којих се контролише фреквенција осцилације. Од већег значаја је варактор који ће се када је инверзно поларисан понашати као капацитивност,и чија област просторног товара ће формирати својства диелектрика. Промјена количине инверзне поларизације унутар варакторових пробојних граница, ће промијенити ширину области просторног товара што ће проузроковати промјену у капацитивности. Након свега ВЦО неће бити стабилан. Било каква промјена напона ће у ПЛЛ колу изазвати помјерај у фреквенцији. Проблем се рјешава комбинацијом флексибилности Напоном Контролисаног Осцилатора и стабилности Кристалног Осцилатора. Ако се DC напон преко повратне спреге повеже са ВЦО тако да се оствари веза између излаза ВЦО и фреквенције Кристалног Осцилатора настаће Фазно Затворена Петља (ПЛЛ). Сада се постигла стабилност коју пружа Кристални Осцилатор. Адекватним димензионисањем се могу остварити осцилације ВЦО на већим фреквенцијама а да се не наруши стабилност постигнута Кристалним Осцилатором. Још једна компонента ПЛЛ кола је филтар петље. Филтар петље се употребљава да одстрани нежељене високо-фреквентне компоненте које могу проћи кроз фазни детектор и појавити се на улазу ВЦО а затим и на излазу из ВЦО као сигнал са грешком. Филтар такође утиче и на способност петље да мијења фреквенције брзо. Ако је филтар пропусник ниских учестаности тада ће се промјене у напону сигнала одвијати споро, што ће проузроковати да и ВЦО мијења фреквенцију споро. Ово се дешава јер ће ова врста филтра пропуштати само ниске фреквенције што одговара спорој промјени у напону. Филтар пропусник високих учестаности ће омогућити да се ове промјене одвијају брже. Међутим, употреба ове врсте филтра може да проузрокује стварање сигнала са грешком због пропуштања нежељених фреквенција. Филтар петље такође управља и са стабилношћу петље. Приликом неправилног дизајнирања филтра, око петље се могу дешавати осцилације које ће условити појаву високих сигнала што ће проузроковати да се ВЦО креће кроз широки фреквенцијски опсег.

Стања фазно затворене петље

Фазно затворена петља пролази кроз три стања:

• Слободан рад
• Заптивање
• Фазно затварање

Опсег у коме ће систем петље пратити промјене у улазној фреквенцији се назива опсег затварања. Фреквенцијски опсег у коме петља стиче фазно затварање је опсег заптивања, који је увијек мањи од опсега затварања. Сигнал је ван опсега заптивања петље када је фазна разлика улаза и ВЦО значајно велика.

Фаза као концепт фазно затворене петље и фазни шум

Рад Фазно Затворене Петље се заснива на поређењу фазе два сигнала. Подаци о грешки у фази и фазној разлици два сигнала се користе да би се контролисала фреквенција петље. Разлика у фази два сигнала одговара углу међу та два сигнала. Када два сигнала имају различите фреквенције фазна разлика међу њима увијек варира, јер се сигнали крећу различитим брзинама по истој путањи, па у различитим временским интервалима стижу до исте тачке на тој путањи. Када два сигнала имају константну разлику у фази, тада они имају једнаке фреквенције. У случају ПЛЛ-а, када се фазна разлика између референтног сигнала и ВЦО не би мијењала, значило би да су та два сигнала на истој фреквенцији и у том случају постојао би сталан напон грешке. Свака мала сметња у фази сигнала изазива фазни шум који се простире око носиоца. Фазни шум може утицати на функционисање уређаја на више начина. Већина уређаја за своје правилно функционисање захтјева идеалан извор. Идеалан извор је извор који генерише сигнал у коме фаза предњачи у константном износу. Шум произведен у различитим елементима петље ће на различите начине утицати на излаз. Правилним димензионисањем ПЛЛ-а фазни шум се може смањити или одржавати унутар захтјеваних граница. Фазни шум може изазвати девијацију елемената петље од жељеног фреквенцијског опсега, изазвати грешке на предајнику и пријемнику података и проузроковати сметње корисницима у близини.

Дигитална фазно затворена петља (ДПЛЛ)

Дигитална фазно затворена петља функционише на исти начин као и аналогна фазно затворена петља, само што она користи дигитална кола. Умјесто напонски контролисаног осцилатора, ДПЛЛ садрзи бројач са промјенљивим дјелитељем.

Аналогна фазно затворена петља

Аналогна фазно затворена петља се састоји од фазног детектора, ниско пропусног филтра и напоном контролисаног осцилатора обухваћених затвореном негативном повратном спрегом. Овдје може бити дјелитељ учестаности у колу са повратном спрегом, или референтном колу, или обоје, редно дајући излазну фреквенцију ПЛЛ кола као цјелобројни умножак референтне. Рационални умножак референтног сигнала може се добити замјеном простог дијељења са Н у колима са повратном спрегом са бројачем. Ова техника се најчешће односи на фракциони-Н синтесајзер,или фракциони-Н ПЛЛ.

фракциони Н синтесајзер

Осцилатор генерише периодични излазни сигнал. У почетку, претпостављајући то, осцилатор је готово на истој фреквенцији као референтни сигнал. Затим, ако фаза осцилатора заостаје за референтном, фазни детектор мијења напон осцилатора, повећавајући је тако. Исто тако, ако фаза предњачи пред референтном, фазни детектор мијења контролни напон тако да успори осцилатор. Ниско пропусни филтар смањује нагле промјене у контролном напону. У пракси,фреквенција осцилатора се може разликовати од референтне фреквенције,и фазни детектор може одговарати на фреквенцијске разлике све док се не пређе дозвољена граница. Тако да фазни детектор има 3 резима рада: детекција фреквенције, детекција фазе и фазно праћење. Главни извор шума је у фазном детектору, тако да ако увећавамо Н, увећавамо и шум Н пута.

фазни фреквенцијски детектор

Једначине које описују фазно затворену петљу

Нека је улаз фазног детектора означен са $x_{c}(t)$ и излаз напоном контролисаног осцилатора са $x_{r}(t)$ чија је фреквенција $\omega _{r}(t)$, тада је излаз фазног детектора $x_{m}(t)$ дат као: $x_{m}(t)=x_{c}(t)\cdot x_{r}(t)$

Фреквенцију напоном контролисаног осцилатора ВЦО можемо изразити преко улаза y(т) као:

$\omega _{r}(t)=\omega _{f}+g_{v}y(t)\,$

Гдје је $g_{v}$ осјетљивост напоном контролисаног осцилатора и изражена је у Хз / V. Дакле,сада је ВЦО излаз :$x_{r}(t)=A_{r}\cos \left(\int _{0}^{t}\omega _{r}(\tau )\,d\tau \right)=A_{r}\cos(\omega _{f}t+\varphi (t))$ гдје је:

$\varphi (t)=\int _{0}^{t}g_{v}y(\tau )\,d\tau$

Овај сигнал доводимо на улаз филтра, и на излазу добијамо:

$x_{f}(t)=F_{\rm {filter}}(x_{m}(t))$

Када је петља затворена, излаз филтра постаје улаз напоном контролисаног осцилатора (ВЦО)

$y(t)=x_{f}(t)=F_{\rm {filter}}(x_{m}(t))$

Можемо прокоментарисати како ПЛЛ реагује на улазни сигнал синусоидалног облика:

$x_{c}(t)=A_{c}\sin(\omega _{c}t).$

Тада је излаз фазног детектора:

$x_{m}(t)=A_{c}\sin(\omega _{c}t)A_{r}\cos(\omega _{f}t+\varphi (t)).$

Служећи се тригонометријским идентитетима можемо написати:

$x_{m}(t)={A_{c}A_{f} \over 2}\sin(\omega _{c}t-\omega _{f}t-\varphi (t))+{A_{c}A_{f} \over 2}\sin(\omega _{c}t+\omega _{f}t+\varphi (t))$

Као апроксимацију понашања филтра у петљи можемо пропуштати сигнале различитих фреквенција, али без промјене фазе,које нам омогућавају да користимо моделе малих сигнала у ПЛЛ колима. Ако можемо да напишемо $\omega _{f}\approx \omega _{c}$,онда $\sin(\cdot )$ може бити апроксимиран својим аргументом као: $y(t)=x_{f}(t)\simeq -A_{c}A_{f}\varphi (t)/2$.

Анализа контролног система

Фазно затворена петља се може анализирати и као контролни систем примјењујући Лапласове трансформације. Одзив петље тада можемо написати као:

${\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {K_{p}K_{v}F(s)}{s+K_{p}K_{v}F(s)}}$

Гдје су:

• $\theta _{o}$ излазна фаза у радијанима
• $\theta _{i}$ улазна фаза у радијанима
• $K_{p}$ помјерај фазног детектора у волтима по радијану
• $K_{v}$ помјерај ВЦО у радијанима по волт-секунди
• $F(s)$ преносна функција филтра (бездимензиона)

Карактеристике петље се могу провјеравати стављајући различите типове филтара. Најпростији филтар су РЦ кола са једним полом. У том случају преносна функција петље ће бити:

$F(s)={\frac {1}{1+sRC}}$

Одзив петље ће сада бити:

${\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}{s^{2}+{\frac {s}{RC}}+{\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}}$

Ова формула представља хармонијски осцилатор. Именилац може бити повезан са истим другога система:

$s^{2}+2s\zeta \omega _{n}+\omega _{n}^{2}$

Гдје су:

• $\zeta$ фактор пригушења
• $\omega _{n}$ је природна фреквенција петље

За РЦ филтар са једним полом:

$\omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}$

$\zeta ={\frac {1}{2{\sqrt {K_{p}K_{v}RC}}}}$

Природна фреквенција петље је мјера времена реакције петље,а фактор потиштености је мјера прекорачења и шума. У идеалном случају, природна фреквенција треба да буде висока,а фактор пригушења треба да буде око 0.707. Са једнополним филтром није могуће контролисати фреквенцију петље и фактор пригушења независно. У случају критичног фактора пригушења:

$RC={\frac {1}{2K_{p}K_{v}}}$

$\omega _{c}=K_{p}K_{v}{\sqrt {2}}$

Мало ефикаснији филтар је са једним полом и једном нулом. То можемо реализовати помоћу два отпорника и једног кондензатора. Преносна функција за овај филтар је:

$F(s)={\frac {1+sCR_{2}}{1+sC(R_{1}+R_{2})}}$

Овај филтар има двије временске константе:

$\tau _{1}=C(R_{1}+R_{2})$

$\tau _{2}=CR_{2}$

Замјењујући их у израз за природну фреквенцију и фактор пригушења, добијамо:

$\omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{\tau _{1}}}}$

$\zeta ={\frac {1}{2\omega _{n}\tau _{1}}}+{\frac {\omega _{n}\tau _{2}}{2}}$

Компоненте филтра петље можемо рачунати за дату природну фреквенцију и фактор пригушења:

$\tau _{1}={\frac {K_{p}K_{v}}{\omega _{n}^{2}}}$

$\tau _{2}={\frac {2\zeta }{\omega _{n}}}-{\frac {1}{K_{p}K_{v}}}$

Реални филтар може бити прилично сложенији, као у случају када користимо високопропусне филтре за сузбијање извора фазног шума.

Види још

• Фракциона Н фазно затворена петља