Algebra

Za drugu upotrebu, pogledajte stranicu Algebra (teorija grupa).

Kvadratna formula je rešenje jednačine drugog stepena ax² + bx + c = 0, gde je a različit od nule, izraženo u vidu koeficijenata a, b i c.

Algebra (arap. الجبر „al-gebr“ ponovno sastavljanje razdvojenih delova, sjedinjavanje) je grana matematike koja istražuje odnose i svojstva brojeva pomoću znakova. Geneza naziva vodi do knjige arapskog matematičara Al Horezmija Hisab al džabr val mukabala što se u slobodnijem prevodu može biti Knjiga o svođenju i dvostrukom oduzimanju. Postupak se prvo odnosio na uređivanje leve i desne strane kod jednačina ali je kasnije, razvojem matematike, značajno proširen.

Izvorno se pod „algebrom“ podrazumevala teorija „algebarskih“ jednačina, u kojima su pomoću „algebarskih“ računskih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje itd.) povezane poznate i nepoznate veličine. Algebra je ujedinjavajuća nit skoro svih oblasti matematike. Kao takva, ona obuhvata sve od rešavanja elementarnih jednačina do studiranja apstrakcija kao što su grupe, prstenovi, i polja. Osnovni delovi algebre se nazivaju elementarnom algebrom; apstraktniji delovi se nazivaju apstraktnom algebrom ili modernom algebrom. Elementarna algebra se generalno smatra neophodnim za svako istraživanje matematike, nauke ili inženjerstva, kao i za primene u oblastima poput medicine i ekonomije. Apstraktna algebra je glavna oblast napredne matematike, koju uglavnom proučavaju profesionalni matematičari. Danas pojam algebre označava i opštiju teoriju matematičkih struktura, u kojoj se posebno istražuju strukturne jednakosti između tako različito usmerenih oblasti kao što su teorija brojeva, geometrija ili algebra u tradicionalnom smislu.

Elementarna algebra se razlikuje od aritmetike po upotrebi apstrakcija, kao što je korištenje slova za označavanje brojeva koji su bilo nepoznati ili mogu da imaju mnoge vrednosti. Na primer, u $x+2=5$ slovo $x$ je nepoznata, ali se zakon inverzija može koristiti za otkrivanje te vrednosti: $x=3$. U E = mc², slova $E$ i $m$ su promenljive, a slovo $c$ je konstanta, brzina svetlosti u vakuumu. Algebra daje metode za rešavanje jednačina i izražavanje formula koje su mnog lakše (za one koji znaju kako da ih koriste) od starijeg metoda pisanja svega rečima.

Važne algebarske strukture su, recimo, grupe, prsteni, tela i asocijacije. Sve tvorevine koje pokazuju neku određenu strukturu nazivaju se „modeli“ ove strukture. Rezultati na koje se smera istraživanjima apstraktnih struktura pokatkad važe i za njihove modele. Nadovezujući se na Mathematical Analysis of Logic (1847) Džordž Bula, algebarska istraživanja su postala značajna i za formalnu logiku. Važnu ulogu tu igraju posebno „bulovske asocijacije“ ili „bulovske algebre“. Pored algebarskih struktura, govori se još i ο „strukturama uređenja“ i „topološkim strukturama“.

Reč algebra se isto tako koristi na nekoliko specijalizovanih načina. Specijalna vrsta matematičkog objekta u apstraktnoj algebri se naziva „algebra“, i ta reč se koristi, na primer, u frazama linearna algebra i algebarska topologija. Matematičar koji se bavi istraživanjem algebre se naziva algebrista.

Etimologija

Reč algebra potiče od arapske reči arap. الجبر (al-jabr sa značenjem „ponovno sastavljanje razdvojenih delova“) od naslova knjige Ilm al-jabr wa'l-muḳābala persijskog matematičara i astronoma el Horezmija. Reč je ušla u engleski jezik tokom petnaestog veka, iz bilo španskog, italijanskog, ili srednjovekovnog latinskog. Ona se originalno odnosila na hiruršku proceduru postavljanja polomljenih ili dislociranih kostiju. Matematičko značenje je prvi put zapisano u šesnaestom veku.

Različita značenja reči „algebra“

Reč „algebra“ ima nekoliko srodnih značenja u matematici, kao pojedinačna reč ili sa kvalifikatorima.

• Kao pojedinačna reč „algebra“ označava široku oblast matematike.
• Kao pojedinačna reč u jednini ili množini ona označava specifične matematičke strukture, čija precizna definicija zavisi od autora. Obično struktura obuhvata dodavanje, množenje, i skalarno množenje (vidi algebru nad poljem). Kad neki autori koriste termin „algebra“, oni čine podskup sledećih dodatnih pretpostavki: asocijativnost, komutativnost, postojanje elementa identičnosti, i/ili konačnu-dimenzionalnost. U univerzalnoj algebri, reč „algebra“ se odnosi na generalizaciju gornjeg koncepta, što omogućava n-arne operacije.
• Sa kvalifikatorom, postoji ista distinkcija.

Algebra kao grana matematike

Algebra počinje sa izračunavanjima koja su slična onima u aritmetici, pri čemu slova označavaju brojeve. Time se omogućava dokazinje svojstava koja su istinita nezavisno od toga koji se brojevi koriste. Na primer, u kvadratnoj jednačini

$ax^{2}+bx+c=0,$

$a,b,c$ mogu da budu bilo koji brojevi (izuzev da $a$ ne može da bude $0$), i kvadratna formula se može koristiti za jednostavno i lako nalaženje vrednosti nepoznatog kvantiteta $x$ koji zadovoljava jednačinu. Drugim rečima, tom formulom se mogu naći sva rešenja jednačine.

Istorijski, i u sadašnjoj nastavi, proučavanje algebre počinje rešavanjem jednačina kao što je gore prikazana kvadratna jednačina. Zatim se opštija pitanja, kao što su „da li jedna jednačina ima rešenje?“, „koliko rešenja ima jedna jednačina?“, „šta se može reći o prirodi rešenja?“ razmatraju. Ova pitanja dovode do ideja o obliku, strukturi i simetriji. Ovaj razvoj je omogućio algebri da poprimi proširenu formu i da razmatra nenumeričke objekte, kao što su vektori, matrice, i polinomi. Strukturna svojstva tih nenumeričkih objekata su zatim apstrahona tako da definišu algebarske strukture, kao što su grupe, prsteni, i polja.

Pre 16. veka, matematika je bila podeljena u samo dva potpolja, aritmetiku i geometriju. Iako se neke metode, koje su razvijene mnogo ranije, mogu danas razmatrati kao algebra, pojava algebre i, ubrzo nakon toga, infinitezimalnog računa kao potpolja matematike datira iz 16. ili 17. veka. Od druge polovine 19. veka pojavilo se mnoštvo novih polja matematike, od kojih je većina koristila i aritmetiku i geometriju, a gotovo sva su koristila algebru.

Klasifikacija

Algebra može grubo da se podeli u sledeće kategorije:

• Elementarna algebra, u kojoj se proučavaju svojstva operacija nad realnim brojevima, kao i pravila koja se tiču matematičkih izraza i jednačina. U ovu svrhu se koriste slovni simboli za predstavljanje konstanti i promenljivih.
• Apstraktna algebra, koja se naziva još i modernom algebrom, u kojoj se aksiomatski definišu i proučavaju algebarske strukture poput grupa, prstena i polja.
• Linearna algebra, u kojoj se proučavaju specifična svojstva vektorskih prostora (uključujući matrice).
• Univerzalna algebra, u kojoj se proučavaju svojstva zajednička svim algebarskim strukturama.
• Algebarska teorija brojeva, u kojoj se svojstva brojeva proučavaju pomoću algebarskih sistema. Teorija brojeva je inspirisala značajan deo razvoja apstrakcije u algebri.
• Algebarska geometrija, u kojoj se geometrijskim problemima prilazi sa algebarskog aspekta.
• Algebarska kombinatorika, u kojoj se koriste apstraktni algebarski metodi za proučavanje kombinatornih pitanja.

U nekim oblastima naprednog izučavanja, aksiomatski algebarski sistemi kao što su grupe, prsteni, polja i algebre nad poljima, se proučavaju u prisustvu geometrijske strukture (metrika ili topologija) koja je u skladu sa tom algebarskom strukturom. Ovaj spisak uključuje razne oblasti funkcionalne analize:

• Normirani linearni prostori
• Banahovi prostori
• Hilbertovi prostori
• Banahove algebre
• Normirane algebre
• Topološke algebre
• Topološke grupe

Istorija

Glavni članci: Istorija algebre i Hronologija algebre

Rana istorija algebre

Stranica iz el Horezmijeve knjige al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

Koreni algebre mogu se pratiti od drevnih Vavilonjana, koji su razvili napredni aritmetički sistem sa kojim su mogli da izvrše proračune na algoritamski način. Vavilonci su razvili formule za izračunavanje rešenja za probleme koji se danas tipično rešavaju korišćenjem linearnih jednačina, kvadratnih jednačina i neodređenih linearnih jednačina. Nasuprot tome, većina Egipćana te ere, kao i Grci i Kinezi u 1. milenijumu p. n. e., obično su rešavali takve jednačine geometrijskim metodama, kao što su one opisane u Rindovom matematičkom papirusu, Euklidovim Elementima i Devet poglavlja o matematičkoj umjetnosti. Geometrijski rad Grka, čiji tipičan primer su „Elementi“, pružio je okvir za generalizaciju formula izvan rešenja specifičnih problema u opštije sisteme navođenja i rešenja jednačina, iako se to nije ostvarilo sve do matematičkog razvoja u srednjovekovnom islamu.

Do vremena Platona, grčka matematika je doživela drastične promene. Grci su kreirali geometrijsku algebru u kojoj su članovi bili predstavljeni stranama geometrijskih objektata, obično linijama, koje su imale slova asocirana s njima. Diofant (3. vek) je bio Aleksandrijski grčki matematičar i autor serije knjiga zvane Arithmetica. Ti tekstovi se bave rešavanjem algebarskih jednačina, i vodili su u teoriju brojeva u modernoj notaciji Diofantske jednačine.

Ranije tradicije koje su gore diskutovane su imale direktan uticaj na Persijanca Muhameda el Horezmija (c. 780–850). On je napisao Knjiga o svođenju i dvostrukom oduzimanju, koja je uspostavila algebru kao matematičku disciplinu koja je nezavisna od geometrije i aritmetike.

Helenistički matematičari Heron i Diofant kao i Indijski matematičari kao što je Bramagupta nastavili su tradicije Egipta i Vavilona, kroz Diofantovo delo Arithmetica i Bramaguptinu knjigu Brāhmasphuṭasiddhānta na višem nivou. Na primer, prvo kompletno aritmetičko rešenje (uključujući nulto i negativna rešenja) kvadratne jednačine je opisao Bramagupta u svojoj knjizi Brahmasphutasiddhanta. Kasnije su persijski i arapski matematičari razvili metode sa znatno višim stepenom sofistikacije. Dok su Diofant i Vavilonci koristili uglavnom specijalne ad hoc metode za rešavanje jednačina, el Horezmijev doprinos je bio fundamentalan. On je rešio linearne i kvadratne jednačine bez algebarskog simbolizma, negativnih brojeva ili nule, stoga je on morao da napravi razliku između nekoliko tipova jednačina.

U kontekstu gde se algebra poistovećivala sa teorijom jednačina, grčki matematičar Diofant je tradicionalno bio poznat kao „otac algebre“ ali u skorije vreme je bilo dosta debata o tome da li el Horezmi, koji je zasnovao disciplinu al-jabr, umesto njega zaslužuje tu titulu. Oni koji podržavaju Diofanta ukazuju na činjenicu da je algebra prisutna u Al-Jabr u nekoj meri elementarnija od algebre prisutne u delu Arithmetica, i da je Arithmetica koncizna, dok je Al-Jabr potpuno retoričan. Oni koji podržavaju el Horezmija napominju činjenicu da je on uveo metode „redukcije“ i „balansiranja“ (transpozicije oduzetih članova na drugoj strani jednačine, drugim rečima, poništavanje jednakih članova na suprotnim stranama jednačine) na šta se termin al-jabr originalno odnosio, i da je on dao izdašno objašnjenje za rešavanje kvadratnih jednačina, što je podržano geometrijskim dokazima, dok je algebra tretirana kao nezavisna disciplina. Njegova algebra se isto tako više ne bavi „serijom problema koje treba rešiti, nego izlaganjem koje počinje sa primitivnim članovima u kojem kombinacije moraju da daju sve moguće prototipe jednačina, koji zatim eksplicitno konstituišu istinski predmet izučavanja“. On je takođe izučavao jednačinu samu po sebi i „na generički način, na koji se ne nailazi jednostavno tokom rešavanja problema, već se konkretno poziva na definisanje beskonačne klase problema“.

Još jednom persijskom matematičaru, Omaruu Hajamu, pripadaju zasluge za polaganje temelja algebarske geometrije i nalaženje opšteg geometrijskog rešenja kubne jednačine. Njegova knjiga Rasprava o demonstracijama problema algebre (1070), koja je položila principe algebre, je deo tela persijske matematike koja je konačno preneta u Evropu. Jedan drugi persijski matematičar, Šaraf el Din el Tusi, našao je algebrska i numerička rešenja raznih slučajeva kubnih jednačina. On je isto tako razvio koncept funkcije. Indijski matematičari Mahavira i Baskara II, persijski matematičar Al-Karadži, i kineski matematičar Džu Šiđe, rešili su razne slučajeve kubnih, kvadratnih, kvintetnih i polinomnih jednačina višeg reda koristeći numeričke metode. U 13. veku, rešenje kubne jednačine koje je dao Fibonači je reprezentativni primer početka oživljavanja evropske algebre. Kako su doprinosi islamskig sveta počeli da jenjavaju, tako se evropski svet našao na uzlaznom putu, i tu je algebra dalje razvijena.

Literatura

• Cajori, Florian (2010). A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching. str. 34. ISBN 978-1-4460-2221-4. 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Gattengo, Caleb (2010). The Common Sense of Teaching Mathematics. Educational Solutions Inc. ISBN 978-0878252206. 
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press. .
• Meri, Josef W. (2004). Medieval Islamic Civilization. Psychology Press. str. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Pristupljeno 25. 11. 2012. 
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Borin Van Loon (1999). Introducing Mathematics. Totem Books. .
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index. In MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• Herstein, I. N. Topics in Algebra. ISBN 978-0-471-02371-5. 
• R.B.J.T. Allenby. Rings, Fields and Groups. ISBN 978-0-340-54440-2. 
• L. Euler (2006). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Arhivirano iz originala 13. 04. 2011. g. Pristupljeno 10. 09. 2017. 
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 

Spoljašnje veze

• Zlatno doba nauke: Algebra, Al Džazira Balkan - Zvaniči kanal
• Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
• Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures
• Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
• 4000 Years of Algebra
• Pratt, Vaughan. „Algebra”. Ur.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy.