Apsolutna vrednost

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Skoči na: navigacija, pretraga
Grafik funkcije apsolutne vrednosti

U matematici, apsolutna vrednost (ili moduo) realnog broja je njegova numerička vrednost ne uzimajući u obzir znak tog broja.

Npr. brojevi 3 i −3 imaju apsolutnu vrednost 3, apsolutna vrednost broja 5 je 5, broja −4 je 4, dok je 0 apsolutna vrednost samo za broj 0.

Definicija[uredi]

Za bilo koji realan broj a, apsolutna vrednost, označava se |a|, je jednaka broju a ako je a ≥ 0, i −a ako je a < 0. |a|=\left\{\begin{matrix}
a, & a \ge 0 \\
-a, & a < 0
\end{matrix}\right.

|a| ne može biti negativan broj jer je apsolutna vrednost uvek ili pozitivan broj ili 0. Drugim rečima, nejednačina |a| < 0 nema rešenja. Takođe, ne mora važiti |−a| = a, pošto a može biti negativno.

Apsolutna vrednost se može razumeti kao udaljenost datog broja od nule.

Svojstva[uredi]

Apsolutna vrednost broja a ima sledeća svojstva:

  1. |a| ≥ 0
  2. |a| = 0 ako i samo ako a = 0.
  3. |ab| = |a||b|
  4. |a/b| = |a| / |b| (ako je b ≠ 0)
  5. |a+b| ≤ |a| + |b| (nejednakost trougla)
  6. |ab| ≥ ||a| − |b||
  7. \left| a \right| = \sqrt{a^2}
  8. |a| ≤ b ako i samo akobab
  9. |a| ≥ b ako i samo ako a ≤ −b ili ba


Poslednja dva svojstva su korisna pri rešavanju nejednanačina, npr:

|x − 3| ≤ 9
−9 ≤ x−3 ≤ 9
−6 ≤ x ≤ 12.

Za realnu vrednost argumenta, funkcija f(x) = |x| je neprekidna svuda, a diferencijabilna svuda osim za x = 0. Ukoliko je argument kompleksna promenljiva, funkcija je neprekidna svuda, ali nije nigde holomorfna (odnosno diferencijabilna; jedan način da se to vidi je da se dokaže da ne zadovoljava Koši-Rimanove jednačine).

Za kompleksni broj z = a + ib, definiše se moduo kompleksnog broja kao |z| = √(a2 + b2) = √ (z z*) (pogledati kvadratni koren i Konjugovan kompleksan broj). Ovako definisan moduo kompleksnog broja zadovoljava svojstva 1–6 data iznad. Opet se moduo kompleksnog broja, kao i za realne brojeve, može razumeti kao udaljenost od koordinatnog početka.

Često je korisno izraz |xy| posmatrati kao rastojanje između x i y (na realnoj brojevnoj pravoj ukoliko su x i y realni brojevi, ili, pak, u kompleksnoj ravni, ukoliko su x i y kompleksni brojevi). Korišćenjem ovakve definicije, i skup realnih, i skup kompleksnih brojeva postaju metrički prostori.

Funkcija nije invertibilna jer se svakom broju a i njegovom opozitu −a dodeljuju iste vrednosti.

Apsolutna vrednost kompleksnog broja[uredi]

Apsolutna vrednost kompleksnog broja (takođe zvana i moduo kompleksnog broja) c\in\mathbb C je data kao |c| = \sqrt{c\,\overline c}, gde je \overline c konjugovana vrednost broja c. Pisanjem c kao c = a + b\,i za a, b\in\mathbb R, gornja jednačina se svodi na |c| = \sqrt{a^2 + b^2}.

Apsolutna vrednost vektora[uredi]

Apsolutna vrednost vektora v = (x1, x2,..., xn) u Euklidskom prostoru Rn data je kao

\left | \mathbf{v} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}.

|v| se može smatrati dužinom vektora v.

Algoritam[uredi]

U C programskom jeziku, abs(), labs(), llabs() (u C99), fabs(), fabsf(), i fabsl() funkcije računaju apsolutnu vrednost njihovog argumenta. Kodiranje apsolutne vrednosti kada je argument ceo broj je lako:

int abs(int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}