Aritmetika

Sabiranje je primer aritmetičke operacije

Aritmetičke tabele za decu, Lozana, 1835

Aritmetika (od grčkog ἀριθμός arithmos, "broj") grana je matematike koja beleži osnovne osobine određenih operacija sa brojevima. Aritmetika je elementarni deo teorije brojeva, i teorija brojeva se smatra jednim od osnovnih nivoa podele moderne matematike, zajedno sa algebrom, geometrijom, i analizom. Termina aritmetika i viša aritmetika su korišteni do početka 20. veka kao sinonimi za teoriju brojevi i ponekad se još uvek koriste kao naziv za širi deo teorije brojeva.

Postoje četiri operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje, iako se ponekad ovde uvrštavaju i naprednije operacije, kao što su dizanje na kvadrat (kvadriranje) i vađenje korena (korenovanje). U aritmetici postoji prvenstvo operacija gde množenje i deljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Stavljanjem u zagrade, koje imaju prednost u odnosu na druge operacije, je moguće promeniti redosled izračunavanja u izrazima.

Aritmetika prirodnih, celih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Tada se uči i procentni račun, odnosno predstavljanje brojeva pomoću postotaka. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse da bi izračunala aritmetičke operacije.

Pojam „aritmetika“ koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i Osnovna teorema aritmetike i aritmetičke funkcije.

Istorija

Preistorija aritmetike je ograničena na mali broj artefakata koji mogu da indicraju postojanje koncepata sabiranja i oduzimanja. Najpoznatiji je Išango kost iz centralne Afrike, koja potiče i perioda između 20.000 i 18.000 p. n. e, mada je njena interpretacija sporna.

Najraniji pisani rekordi indiciraju da su Egipćani i Vavilonci koristili sve elementarne aritmetičke operacije još pre 2000. p. n. e. Ovi artefakti ne otkrivaju uvek specifičan proces koji je korišten za rešavanje problema, mada karakteristike datog numeričkog sistema snažno utiču na kompleksnost metoda. Hijeroglifski sistem Egipatskih brojeva, kao i kasniji rimski brojevi, izvedeni su iz beleški korištenih za prebrojavanje. U oba slučaja, takvo poreklo je dovelo do vrednosti koje se koriste u decimalnoj osnovi, ali poziciona notacija nije obuhvaćena. Kompleksni proračuni sa rimskim ciframa se mogu sprovesti uz pomoć brojčanice ili rimskog abakusa.

Rani brojevni sistemi koji su obuhvatali pozicionu notaciju nisu bili decimalni. Primeri takvih sistema su seksagezimalni (osnova 60) sistem za vavilonske brojeve i vigezimalni (osnova 20) sistem koji su definisali majanski brojevi. Zahvaljujući konceptu mesta i vrednosti, mogućnost ponovne upotrebe istih cifara za različite vrednosti doprinela je razvoju jednostavnijih i efikasnijih metoda računanja.

Kontinualni istorijski razvoj moderne aritmetke započeo je sa Helenističkom civilizacijom antičke Grčke, mada ona potiče iz znatno kasnijeg perioda od Vavilonskih i Egipatskih primera. Pre radova Euklida oko 300 p. n. e, grčke studije matematike su se preklapale sa filozofiskim i mističkim verovanjima. Na primer, Nikomah je sumirao gledište ranijeg pitagorejskog pristupa brojevima, i njihovih međusobnih relacija, u svom radu Uvod u aritmetiku.

Grčke brojeve su koristili Arhimed, Diofantus i drugi u pozicionoj notaciji koja se puno ne razlikuje od današnje. Pošto je antičkim Grcima nedostajao simbol za nulu (do Helenističkog perioda), oni su koristili tri zasebna seta simbola. Jedan set za jedinično mesto, jedan za desetično mesto, i jedan za stotine. Zatim za mesto hiljada oni bi ponovo koristili simbole za jedinično mesto, i tako dalje. Njihov algoritam sabiranja je bio identičan današnjem, i njihov algoritam množenja se samo neznatno razlikovao. Njihov algoritam deljenja je bio isti, i algoritam kvadratnog korena, koji se nekad predavao u školama, je bio poznat Arhimedu, a moguće je i da ga je on izumeo. On ga je preferirao u odnosu na Heronov metod sukcesivnih aproksimacija zato što kad se jednom izračunaju cifre one se više ne menjaju, i kvadratni koreni perfektnih kvadrata, kao što je 7485696, bi se neposredno završavali, poput 2736. Za brojeve sa frakcionim delom, kao što je 546,934, oni su koristili negativni stepen od 60 umesto negativnog stepena od 10 za frakcioni deo 0,934.

Antički Kinezi su unapredili aritmetičke studije počevši od vremena dinastije Šang i tokom dinastije Tang, od osnovnih brojeva do napredne algebre. Antički Kinezi su koristili pozicionu notaciju sličnu onoj koju su koristili Grci. Pošto im je nedostajao simbol za nulu, oni su imali jedan set simbola za jedinično mesto, i drugi set za mesto desetica. Za mesto stotina oni su povovo koristili simbole jediničnog mesta, i tako dalje. Njihovi simboli su bili bazirani na drevnim brojevnim štapićima. Pitanje tačnog određivanja vremena kada su kinezi počeli da računaju sa pozicionom reprezentacijom je komplikovano, ali se zna da je to definitivno bilo pre 400. p. n. e. Antički Kinezi su prvi otkrili, razumeli i primenili negativne brojeve, kao što je objašnjeno u Devet poglavlja o matematičkoj veštini (Jiuzhang Suanshu), što je rad autora Lju Hui.

Postepenim razvojem hindu–arapskih brojeva nezavisno je razvijen vrednosno pozicioni koncept i poziciona notacija, koji kombinuju jednostavnije metode za računje sa decimalnom osnovom i upotrebom cifre za 0. Time je formiran sistem za konzistentnu reprezentaciju velikih i malih celih brojeva. Taj pristup je vremenom zamenio sve druge sisteme. U ranom 6. veku, indijski matematičar Arjabhata je inkorporirao postojeću verziju tog sistema u svoj rad, i eksperimentisao je sa različitim notacijama. U 7. veku, Bramagupta je uspostavio upotrebu simbola 0 kao zasebnog broja i utvrdio rezultat množenja, deljenja, sabiranja i oduzimanja nule i svih drugih brojeva, izuzev rezultata deljenja nulom. Njegov savremenik, sirijski episkop Severus Sebokht (650.) je izjavio, „Indijci poseduju metod računanja koji ni jedna reč ne može dovoljno pohvaliti. Njihov racionalni sistem matematike, ili njihov metod računanja. Mislim da sistem koristi devet simbola.” Arapi su isto tako znali za ovaj novi metod i nazivali su ga hesab.

Lajbnicova mašina je bila prvi kalkulator koji je mogao da izvodi sve četiri aritmetičke operacije.

Mada je Kodeks Vigilanus opisao jednu ranu formu arapskih brojeva (bez nule) do 976, Leonardo od Pize (Fibonači) je prvenstveno odgovoran za širenje njihove upotrebe u Evropi, nakon objavljivanja njegove knjige Liber Abaci 1202. godine. On je pisao, „Metod Indijaca (latinski Modus Indoram) prevazilazi bili koji drugi metod računanja. To je izvanredan metod. Oni vrše svoja izračunavanja koristeći devet cifara i simbol nulu”. U srednjem veku, aritmetika je bila jedna od sedam liberalnih umetnosti predavanih na univerzitetima.

Napredna algebra srednjovekovnog islamskog sveta i renesansne Evrope je proistekla iz enormnog pojednostavljenja računanja primenom decimalne notacije. Razni tipovi oruđa su izmišnjeni i široko korišteni kao pomagala u numeričkim proračunima. Pre renesanse, postojali su različiti tipovi abakusa. Primeri iz bliže prošlosti obuhvataju logaritmare, nomograme i mehaničke kalkulatore, kao što je paskalina. U današnje vreme, svi ti uređaji su zamenjeni elektronskim kalkulatorima i računarima.

Aritmetičke operacije

Vidi još: Algebarske operacije

Osnovne aritmetičke operacije su sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje, mada ovaj predmet obično obuhvata i naprednije operacije, kao što je manipulacija procentima, kvadratnim korenima, stepenovanje, i logaritamske funkcije. Aritmetika se izvodi u skladu sa redosledom operacija. Bilo koji set objekata na kome se sve četiri aritmetičke operacije (izuzev deljenja nulom) mogu izvršiti, i gde su te operacije podložne uobičajenim zakonima, naziva se polje.

Sabiranje

Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znaći naći broj $a+b$

Primeri

$2+2=4$

$3+5=8$

Mogu se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja $1$ s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja.

Sabiranjem broja $0$ i nekog broja dobijamo taj broj.

$5+0=5$

$0$ je neutralni element za sabiranje

Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.

$8+(-8)=0$

To je inverzan element za sabiranje.

Važi zakon komutacije

${\begin{cases}3+4=7\\4+3=7tj\\3+4=4+3=7\end{cases}}$

Važi zakon asocijacije

${\begin{cases}(2+3)+5=5+5=10\\2+(3+5)=2+8=10tj\\(2+3)+5=2+(3+5)=10\end{cases}}$

Sabrati se može i geometrijski, kao u sledećem primeru:

Ako postoje dva štapića dužine $2$ i $5$ i ako se stave jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića, dobija se štap čija je dužina

$2+5=7$.

Oduzimanje

Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj $b$ od broja $a$ znači naći broj $a-b$ odnosno znači naći zbir brojeva $a$ i $(-b)$. To se zapisuje sa

$a-b=a+(-b)$

Postoje sledeći slučajevi

• Ako je $a<b$, onda je $a-b<0,$
• Ako je $a>b$, onda je $a-b>0$
• Ako je $a=b$, onda je $a-b=0$

Za oduzimanje ne važi zakon komutacije, a ni asocijacije.

Množenje

Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj

$a*b$, a to je

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a}$

Primer

$3*4=4+4+4=12$

Za množenje važi zakon komutacije

${\begin{cases}2*6=6+6=12\\6*2=2+2+2+2+2+2=12tj\\2*6=6*2=12\end{cases}}$

i asocijacije

${\begin{cases}(2*3)*4=6*4=24\\*(3*4)=2*12=24tj\\(2*3)*4=2*12=24\end{cases}}$

Ako se broj $a$ pomnoži sa $1$ (neutalni element), dobija se broj $a$

$6*1=6$

Ako se broj $a$ pomnoži sa recipročnom vrednosti broja $a$, dobija se broj $1$.

$6*6^{-1}=1$

Ovo je inverzan broj.

Bilo koji broj može imati recipročnu vrednost osim $0$.

Tablica množenja

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60	63	66	69	72	75
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84	88	92	96	100
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100	105	110	115	120	125
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120	126	132	138	144	150
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140	147	154	161	168	175
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160	168	176	184	192	200
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180	189	198	207	216	225
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220	231	242	253	264	275
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240	252	264	276	288	300
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260	273	286	299	312	325
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280	294	308	322	336	350
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300	315	330	345	360	375
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320	336	352	368	384	400
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340	357	374	391	408	425
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360	378	396	414	432	450
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380	399	418	437	456	475
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400	420	440	460	480	500
21	21	42	63	84	105	126	147	168	189	210	231	252	273	294	315	336	357	378	399	420	441	462	483	504	525
22	22	44	66	88	110	132	154	176	198	220	242	264	286	308	330	352	374	396	418	440	462	484	506	528	550
23	23	46	69	92	115	138	161	184	207	230	253	276	299	322	345	368	391	414	437	460	483	506	529	552	575
24	24	48	72	96	120	144	168	192	216	240	264	288	312	336	360	384	408	432	456	480	504	528	552	576	600
25	25	50	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325	350	375	400	425	450	475	500	525	550	575	600	625

Deljenje

Deljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano deljenje brojem $0$. Podeliti dva broja znaći naći broj $a:b$ odnosno naći proizvod broja $a$ i recipročne vrednosti broja $b$.

To znači

$a:b=a*b^{-1}$

Postoje slučajevi

• Za $a>b=>a:b>1$
• Za $a<b=>a:b<1$
• Za $a=b=>a:b=1$

Ne važi zakon komutacije, a ni asocijacije. Za deljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.

Decimalna aritmetika

Sve vrste zapisa brojeva mogu se zapisati decimalnim zapisom. Na primer zapis broja $507,36$ je: $(507,36)_{10}=5*10^{3}+0*10^{2}+7*10+3*10^{-1}+6*10^{-2}$. Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija: $2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

Decimalna reprezentacija se ekskluzivno odnosi, u običnoj upotrebi, na pisani numerički sistem koji koristi arapske cifre kao brojeve sa osnovom 10 („decimalnom”) pozicione notacije; međutim, svaki numerički sistem baziran na stepenu od 10, e.g., grčki, ćirilični, rimski, ili kineski brojevi mogu konceptualno biti opisani kao „decimalna notacija” ili „decimalna reprezentacija”.

Moderne metode za četiri fundamentalne operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) je prvi je izmislio Bramagupta u Indiji. To je bilo poznato u srednjovekovnoj Evropi kao Modus Indoram ili metod Indusa. Poziciona notacija (takođe poznata kao „notacija mesta i vrednosti”) odnosi se na predstavljanje i kodiranje brojeva koristeći isti simbol za različite redove veličine (npr., „mesto jedinica”, „mesto desetica”, „mesto stotina”) i, sa radijskom tačkom, koristeći te iste simbole za predstavljanje frakcija (npr., „mesto desetih delova”, „mesto stotih delova”). Na primer, 507,36 označava 5 stotina (10²), plus 0 desetica (10¹), plus 7 jedinica (10⁰), plus 3 desetine (10⁻¹), plus 6 stotine (10⁻²).

Koncept 0 kao broja uporedivog sa drugim osnovnim ciframa je esencijalan za ovu notaciju, kao što je i koncept upotrebe nule za rezervisanje mesta, i definicija množenja i sabiranja sa nulom. Upotreba nule za rezervisanje mesta i stoga upotreba pozicione notacije je prvi put zabeležena u đainizanskom tekstu iz Indije sa naslovom Lokavibhaga, iz 458. godine i tek je ranom 13. veku ovaj koncept, prenet preko učenjaka arapskog sveta. U Evropu ga je uveo Fibonači koristeći indusko–arapski brojevni sistem.

Algorizam se sastoji od pravila za izvođenje aritmetičkih proračuna koristeći ovaj tip pisanih cifara. Na primer, sabiranje proizvodi sumu dava arbitrarna broja. Rezultat se izračunava ponavljanjem dodavanja pojedinačnih cifara iz svakog broja koje zauzimaju istu poziciju, idući zdesna nalevo. Tabela dodavanja sa deset redova i deset kolona prikazuje sve moguće vrednosti svih suma. Ako jedna individualna suma premaši vrednost 9, rezultat se predstavlja sa dve cifre. Cifra s desne strane je vrednost za trenutnu poziciju, a rezultat naknadnog dodavanja cifara s leve strane se povećava za vrednost druge (leve) cifre, koja je uvek jednaka jedinici. Ovo prilagođavanje se naziva prenošenjem vrednosti 1.

Proces množenja dva arbitrarna broja je sličan procesu sabiranja. Tabela množenja sa deset redova i deset kolona navodi rezultate za svaki par cifara. Ako jedan individualni proizvod para cifara premaši 9, prenosno podešavanje povećava rezultat svakod narednog množenja cifara na levoj strani za vrednost koja je jednaka drugoj (levoj) cifri, što može da bude bilo koja vrednost u opsegu od 1 do 8 (9 × 9 = 81). Dodatni koraci definišu finalni rezultat. Slične tehnike postoje za oduzimanje i deljenje.

Kreiranje korektnog procesa za množenje se oslanja na odnose između vrednosti susednih cifara. Vrednost bilo koje pojedinačne cifre broja zavisi od njene pozicije. Isto tako, svaka pozicija sa leve strane predstavlja vrednost koja je deset puta veća od date pozicije. U matematičkom smislu, eksponent za bazu od 10 se povećava za 1 (nalevo) i smanjuje za 1 (nadesno). Stoga je vrednost bilo koje arbitrarne cifre pomnožena vrednošću oblika 10ⁿ pri čemu je n ceo broj. Lista vrednosti koje korespondiraju svim mogućim pozicijama pojedinačnih cifri se piše kao {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻², ...}.

Ponovljeno množenje bilo koje vrednosti u ovoj listi sa 10 proizvodi drugu vrednost na listi. U matematičkoj terminologiji, ova karakteristika se definiše kao zatvorenost, i prethodna lista se opisuje kao zatvorena pod množenjem. Ovo je osnova za korektno nalaženje rezultata množenja koristeći prethodne tehnike. Ovaj ishod je jedan od primera upotrebe teorije brojeva.

Literatura

• Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th izd.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63446-5. 
• Rudman, Peter Strom (2007). How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-477-4. 
• Tapson, Frank (1996). The Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-914551-5. 
• Cunnington, Susan, The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development, Swan Sonnenschein, London, 1904
• Dickson, Leonard Eugene, History of the Theory of Numbers (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
• Euler, Leonhard, Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
• Fine, Henry Burchard (1858–1928), The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically, Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
• Karpinski, Louis Charles (1878–1956), The History of Arithmetic, Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
• Ore, Øystein, Number Theory and Its History, McGraw–Hill, New York, 1948
• Weil, André, Number Theory: An Approach through History, Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: Mathematical Reviews 85c:01004
• "Subtraction in the United States: An Historical Perspective", Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1.
• Browell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.

Spoljašnje veze

• MathWorld article about arithmetic
• The New Student's Reference Work/Arithmetic (historical)
• The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes – an early Western work on arithmetic at Convergence
•  Weyde, P. H. Vander (1879). „Arithmetic”. The American Cyclopædia. 
• "A Friendly Gift on the Science of Arithmetic"