Atraktor

Vizuelni primer atraktora

Atraktor je skup u koji dinamički sistem evoluira nakon dovoljno vremena. To jest, tačke koje se nađu dovoljno blizu atraktora ostaju blizu čak i ako dođe do blagih pomeranja. Geometrijski, atraktor može da bude tačka, kriva, mnogostrukost, ili čak komplikovani skup sa fraktalnom strukturom, poznat kao neobični atraktor. Opisivanje atraktora haotičnih dinamičkih sistema je jedno od postignuća teorije haosa.

Trajektorija dinamičkog sistema u atraktoru ne mora da zadovolji nikakva posebna ograničenja osim ostajanja na atraktoru. Trajektorija može da bude periodična, haotična ili bilo kog drugog tipa.

Motivacija

Dinamički sistem se često opisuje pomoću diferencijalnih jednačina koje predstavljaju njegovo ponašanje u kratkom vremenskom periodu. Da bi se odredilo ponašanje sistema tokom dužeg vremenskog perioda, neophodno je integraliti jednačine, bilo analitičkim sredstvima, bilo iterativno, često uz pomoć računara.

Dinamički sistemi u fizičkom svetu teže da budu disipativni (gube energiju): ako ne postoji neka pokretačka sila, kretanje prestaje. (Disipacija može da potiče od unurašnje frikcije, termodinamičkih gubitaka, ili gubitaka materijala, kao i od drugih uzroka.) Disipacija i pokretačka sila teže da u sadejstvu prekinu početne oscilacije i prevedu sistem u njegovo tipično ponašanje.

Invarijantni skupovi i granični skupovi su slični pojmu atraktora. Invarijantan skup je skup koji usled dinamike evoluira u sebe. Atraktori mogu da sadrže invarijantne skupove Granični skup je skup tačaka, takav da postoji neko početno stanje koje teži proizvoljno blizu graničnom skpu (to jest svakoj tački skupa) kada vreme teži beskonačnosti. Atraktori su granični skupovi, ali nisu svi granični skupovi atraktori: Moguće je da postoje neke tačke sistema koje konvergiraju graničnom skupu, ali kada se druge tačke blago pomere sa graničnog skupa, mogu da budu izbačene, i da se nikada ne vrate u blizinu graničnog skupa.

Na primer, klatno (koje se zaustavlja vremenom) ima dve invarijantne tačke; $x_{0}$ minimalne visine, i $x_{1}$, maksimalne visine. Tačka $x_{0}$ je takođe granični skup, jer trajektorije konvergiraju ka njoj; tačka $x_{1}$ nije granični skup. Usled disipacije, tačka $x_{0}$ je takođe atraktor. Da nema disipacije, $x_{0}$ ne bi bila atraktor.

Matematička definicija

Neka je f(t, •) funkcija koja opisuje dinamiku sistema. To znači, ako je s element faznog prostora, to jest, s u potpunosti određuje stanje sistema u nekom trenutku, onda je f(0, s) = s a za t > 0, f(t, s) evoluira s za t jedinica vremena. Na primer, ako je posmatrani sistem izolovana tačkasta čestica u jednoj dimenziji, onda je njena pozicija u faznom prostoru data preko (x, v) gde je x položaj čestice, a v je njena brzina. Ako na česticu ne deluje neka sila (kreće se slobodno) onda je dinamika data preko f(t,(x,v)) = (x+t*v,v).

Atraktor je podskup A faznog prostora takav da:

• A je invarijantan u odnosu na f; to jest, ako je s element A, onda je i f(t, s), element A za svako t.
• Postoji okolina A, B(A) koja se naziva basen atrakcije za A, takva da je B(A) = { s | za sve okoline N od A postoji T takvo da je za svako t > T, f(t, s) ∈ N }.
• Ne postoji pravi podskup od A sa prethodna dva svojstva.

Kako je basen atrakcije u bliskoj okolini A, to jest, sadrži otvoren skup koji sadrži A, svako stanje 'dovoljno blisko' A biva privučeno ka A. Tehnički, pojam atraktora zavisi od topologije na faznom prostoru, ali obično se podrazumeva standardna topologija na ℝⁿ.

Ponekad se koriste i druge definicije atraktora. Na primer, neke definicije zahtevaju da atraktor ima pozitivnu meru (što sprečava da tačka bude atraktor), dok druge na primer olabavljuju zahtev da B(A) mora da bude okolina.