Bernulijeva jednačina

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Cev promanljivog preseka.gif
Strujna cev promenljivog poprečnog
preseka, kroz koju protiče fluid.
Disambig.svg
Za ostale upotrebe, pogledajte članak Bernulijeva jednačina (višeznačna odrednica).

Bernulijeva jednačina je jedna od osnovnih matematičkih definicija, u delu fizike, koja se zove dinamika fluida. Opisuje Bernulijev princip, odnosno definiše međusobnu vezu između pritiska ili potencijalne energije fluida i njegove brzine ili njegove kinetičke energije, u strujnoj cevi (strujnom polju). Bernulijev princip je dobio ime po dansko-švajcarskom naučniku Danijelu Bernuliju, koji je opisao ovaj princip u svojoj knjizi Hidrodinamica 1738. godine. Bernulijeva jednačina služi upravo za opisivanje ovog principa i izračunavanje parametara vezanih za protok fluida.

Postoji više oblika Bernulijeve jednačine koje opisuju razne vrste protoka fluida. Najjednostavniji oblik Bernulijeve jednačine se odnosi na slučaj kada se gustina fluida može uzeti kao nepromenljiva (kod tečnosti i kod zanemarivanja stišljivosti gasa na malim brzinama). Postoji i jednačina za protok fluida kada se gustina ne može uzeti kao konstantna. Kod većih brzina gasova, kada se mora uzimati u obzir njihova stišljivost, tada se uvodi u jednačinu Mahov broj, kao ekvivalent brzine. Bernulijeva jednačina se dodatno usložnjava ako se radi o viskoznom strujanju.

Bernulijev princip se može izvesti iz zakona o održanju energije. Naime, iz ovog zakona sledi da u mirnom toku fluida suma svih oblika mehaničkih energija, u celom strujnom toku, mora biti jednaka u svima tačkama toga polja. Drugim rečima, suma kinetičke i potencijalne energije mora biti međusobno jednaka u svima tačkama strujnog polja.

Čestice fluida su pod uticajem sopstvene težine i pritiska, kreću se između tačaka sa različitim statičkim pritiskom, od većeg prema manjem. Ako se fluid kreće horizontalno, kroz strujnu cev, brzina će se povećavati ako se ta razlika statičkog pritiska povećava između dve tačke, odnosno između dva preseka cevi. Brzina fluida se smanjuje ako se ta razlika statičkog pritiska smanjuje. Najveća brzina je tamo gde je pritisak najmanji, a najmanja je tamo gde je pritisak najveći.[1][2][3]

Protok nestišljivih fluida[uredi]

Dejstvo sila na delić fluida, u strujnom polju.

U slučaju većine tečnosti, i gasova sa malim mahovim brojem, gustina fluida se može smatrati konstantnom (odatle ‘’nestišljivih’’), bez obzira na varijacije u pritisku. U ovom slučaju Bernulijeva jednačina ima oblik:

{v^2 \over 2}+gz+{p\over\rho}=\text{const}

Gde je:

v\, je Brzina protoka u nekoj tački toka,
g\, je gravitaciono ubrzanje,
z\, je visina po z-osi(pozitivan deo z-ose je usmeren prema gore, dakle suprotno od smera delovanja gravitacije)
p\, je pritisak, i
\rho\, je gustina fluida u svim tačkama fluida.

Važne napomene:

  • fluid mora biti nestišljiv-uprkos promenjivom pritisku, gustina mora ostati ista da bi jednačina važila
  • Ovaj oblik Bernulijeve jednačine važi za slučaj kada su viskozne sile zanemarljive

Ako se gornja jednačina pomnoži sa gustinom dobija se sledeća jednačina:


\tfrac12\, \rho\, v^2\, +\, \rho\, g\, z\, +\, p\, =\, \text{const}\,

ili:


q\, +\, \rho\, g\, h\, 
  =\, p_0\, +\, \rho\, g\, z\, 
  =\, \text{const},

Gde je:

q\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2 dinamički pritisak.

U pojednostavljenom posmatranju (pogotovo ako je fluid gas), pritisak je usled težine stuba fluida u posmatranom malom deliću, zanemarljivo je mali. Na osnovu toga je realno usvojiti: ρ gz = 0. Tada Bernulijeva jednačina dobija jednostavniji oblik:

\ p + \frac {\rho\,\ v^2 }{2} =\, \text{constant}\,\quad \longmapsto \quad \ p + \ q =\, \text{const}\,

Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u svim tačkama strujne cevi je konstantan broj. Ova jednačina se još naziva i jednačinom o održanju energije.[1][4][3]

Protok stišljivih fluida[uredi]

Gornje jednačine važe za nestišljive fluide, međutim moguće je, koristeći fundamentalne fizičke zakone, doći do jednačina koji su slične njima ali su primenjive i na stišljive (barotoropne) fluide. Postoji mnogo oblika Bernulijeve jednačine i sve su one analogne osnovnoj Bernulijevoj jednačini i oslanjaju se na fundamentalne zakone poput Njutnovih zakona i prvog zakona termodinamike. Jedna od najčešće korišćenih jednačina za stišljive fluide je:[1]

\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}\ + \Psi = \text{const}

Gde je:

p pritisak
ρ gustina tečnosti
v brzina protoka
Ψ gravitacioni potencijal.

Vidi još[uredi]

Reference[uredi]

  1. ^ a b v Bernulijeva jednačina, Pristupljeno 15. 12. 2010. g.
  2. ^ Bernuli i Njutn, Pristupljeno 15. 12. 2010. g.
  3. ^ a b Bernulijev princip, Pristupljeno 15. 12. 2010. g.
  4. ^ Dinamički pritisak,, Pristupljeno 15. 12. 2010. g.

Spoljašnje veze[uredi]