Beskonačnost

Za druge upotrebe, pogledajte Beskonačno (višeznačna odrednica).

Znak za beskonačno u raznim fontovima.

Beskonačnost (od lat: infinitas - neograničeno; simbol: $\infty$) je bitan pojam u matematici, filozofiji i teologiji. Ovaj pojam nije iskustven, jer ga nije moguće videti, opipati ili na bilo koji čulni način spoznati; on se obrađuje isključivo misaonim metodama.

U filozofiji, beskonačno je ono što je bez početka i svršetka, čemu se ne mogu odrediti granice, niti se može umski do kraja shvatiti. U teologiji, beskonačnost je temeljna oznaka vrhovnog bića (Boga), za razliku od stvorenih bića koja su nužno konačna i ograničena. U matematici je to količina koja nije konačna.

U matematici, „beskonačnost” se obično tretira kao broj (tj., njime se prebrojavaju ili mere stvari: „beskonačan broj pojmova”) ali to nije ista vrsta broja kao prirodni ili realni broj.

Georg Kantor je formalizovao mnoge ideje vezane za beskonačnost i beskonačne skupove tokom kasnog 19. i ranog 20. veka. U teoriji koju je on razvio, postoje beskonačni skupovi različitih veličina (zvanih kardinalnosti). Na primer, skup celih brojeva je prebrojivo beskonačan, dok je beskonačni skup realnih brojeva neprebrojiv.

Beskonačnost u filozofiji

Uroboros, simbol beskonačnosti u alhemiji.

U filozofiji, beskonačno je ono što je neoganičeno, što ide izvan bilo koje utvrđene granice. Istraživanje ovog pojma ide unazad barem do Zenona iz Eleje, a matematički pristup počinje sa Eudoksom iz Knida (4. vek p. n. e.).

U filozofiji prostora i vremena problemi se pojavljuju sa beskrajno malom i sa beskrajno velikom ili neograničenom prirodom. Kant je u antinomijama tvrdio da je nemoguće konzistentno posmatranje prostora ili vremena kao konačnog ili beskonačnog, a to je ključni element u njegovoj idealističkoj teoriji vremena i prostora kao nametnutih nepoznatoj prirodi od strane naših formi čulnosti.

Beskonačnost u matematici

Matematika se bavi veličinama i koristi se simbolima. Stoga je u matematici beskonačnost povezana sa veličinama (i ima svoj simbol). U matematici postoji beskonačno velika veličina, ali takođe i beskonačno mala veličina (što je skoro isto što i nula). U prirodi beskonačnost nije realna pretpostavka. Čak i kada se govori o vasioni, govori se o dimenzijama odnosno o nekakvim granicama. Kada se govori o superprovodnosti, nije u pitanju beskonačno mala otpornost već toliko mala da nije merljiva (ali ipak postoji i može se ispisati brojkama). Kada se govori o beskonačnosti vremena, upotrebljava se izraz večnost.

Beskonačnost je jedan od „težih“ pojmova filozofije, ali u matematici isti pojam i nije tako spekulativan. Nešto što je beskonačno u matematici bi trebalo biti u relaciji poretka, ne sme biti konačno i ne sme biti kontradiktorno. I to je sve. Konačni su prirodni, celi, racionalni i iracionalni broj, dakle svaki realan broj je konačan, a za kompleksne ne važi relacija poretka i tu negde završava spekulacija.

Postoje dve vrste beskonačnosti u matematici danas: potencijalna i aktuelna. Potencijalnu beskonačnost su uveli u matematiku Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic kada su otkrili infinitezimalni račun, a aktuelnu beskonačnost su otkrili Georg Kantor i Julijus Vilhelm Ričard Dedekind sa otkrićem teorije skupova.

Potencijalna beskonačnost

Isak Njutn je u 17. veku otkrio da možemo računati na niz veličina koje postaju veće od svakog unapred datog broja, i da pri tome ne upadnemo u kontradikcije; svoje otkriće je nazvao račun fluksija. Negde u isto vreme, slično otkriće imao je i Gotfrid Lajbnic. Obojica su primetili da se tački O na H-osi možemo približavati sa desne strane, uzimajući redom brojeve: 0,1 zatim 0,01 pa 0,001 itd. beskonačan niz koraka, sve manjih brojeva, a da za neko konačno vreme, tj. za neki konačan broj koraka ne možemo dostići tačnu vrednost nula. To je oblast infinitezimalnog računa, na engleskom kalkulus.

Aktuelna beskonačnost

Gavrilova truba, figura koja ima beskonačnu površinu, ali ograničenu zapreminu.

Aktuelna beskonačnost je u matematiku ušla sa G. Kantorom i Dedekindom krajem XIX i početkom XX veka. Osnivači teorije skupova su primetili da prebrojavati nešto znači uspostaviti funkciju bijekciju - obostrano jednoznačno preslikavanje, između skupa prirodnih brojeva i predmeta koje brojimo. Kada brojimo loptice u nekoj kutiji, odvojimo prvu i kažemo jedan, zatim odvojimo drugu i kažemo dva, odvojimo treću - tri, itd. dok ne izvadimo poslednju lopticu iz kutije. Poslednji izgovoreni broj je broj loptica u kutiji, jer smo napravili relaciju gde sa tačno jednim od brojeva ide tačno jedna od loptica iz kutije. Osnivači teorije skupova su otišli i dalje i uporedili su po veličini neke poznate skupove. Međusobno su uporedili veličine skupova prirodnih, celih, racionalnih i iracionalnih brojeva. Broj elemenata skupa nazvali su kardinalni broj tog skupa.

Prebrojavanje

U vreme kada je otkriveno prebrojavanje već je bila veoma razvijena matematička analiza, Njutn-Lajbnicov račun, i znalo se da ne postoji najveći prirodni broj (najmanji je broj 1).

1. Prvi od navedenih, skup prirodnih brojeva {1, 2, 3, ...}, označili su sa $\mathbb {N} \,$ i dodelili mu kardinalni broj alef nula $\aleph _{o}.\,$ Primetimo da sve što se može brojati redom: prvi, drugi, treći, ... u beskraj, na način da se u jedan takav niz mogu staviti svi njegovi elementi, može proglasiti skupom sa kardinalnim brojem alef nula. Za svaki takav skup kažemo da je prebrojiv skup.
2. Prebrojiv skup je skup celih brojeva $\mathbb {Z} ,\,$ jer ga celog možemo poređati u jedan niz, u kojem nema ponavljanja: 0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, .... Primetimo da se ovaj skup prebrojava sporije, ali da to nije bitno jer prirodnih brojeva ima dovoljno. Kardinalni broj skupa celih brojeva je takođe alef nula, tj. $kard(\mathbb {Z} )=\aleph _{o}.$
3. Prebrojiv je i skup racionalnih brojeva, tj. skup razlomaka $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}|m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.$
4. Nije prebrojiv skup iracionalnih brojeva $\mathbb {I} .$

Prema tome nije prebrojiv niti skup realnih brojeva $\mathbb {R} ,$ jer je on unija racionalnih i iracionalnih, koji nemaju međusobno jednakih elemenata. Drugi zaključak, osnivači teorije skupova su našli najmanje dve aktuelne beskonačnosti, prvu su nazvali alef nula, a druga je kontinuum.

Teoreme

Teorema 1

Unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiva.

Prebrojavanje prebrojivih skupova

Dokaz

Elemente prebrojivih skupova možemo redati u nizove. Elemente prvog skupa označimo sa $X_{11},X_{12},X_{13},...,$ drugog skupa sa $X_{21},X_{22},X_{23},...,$ trećeg sa $X_{31},X_{32},X_{33},...$ Složimo ove nizove u matricu, kao na slici desno, i krenimo ih prebrojavati po sporednim dijagonalama. U prvoj dijagonali, gore levo, imamo samo jedan elemenat $X_{11},$ u drugoj ih imamo dva $X_{21},X_{22},$ itd. u n-toj dijagonali imaćemo tačno n = 1, 2, 3, ... elemenata. U svakoj od ovih dijagonala zbir indeksa H-ova biće tačno n+1. Prema tome, ako je unapred dat proizvoljan elemenat, bilo kojeg od ovih skupova, npr. $X_{kj}$, pre svega on se nalazi u uniji, i sa druge strane, nalazi se u n=k+j+1-toj dijagonali, tj. u toku prebrojavanja doći će na red nakon konačno mnogo koraka. Prema tome, unija datih skupova je prebrojiva. Kraj dokaza.

Posebno, možemo lako izračunati redni broj elementa $X_{kj}$ iz prebrojavanja sa slike. Rbr. je

(broj svih elemenata u prethodnim dijagonalama) + (br. elemenata u poslednjoj dijagonali) =

(1 + 2 + 3 + ... + (k+j)) + j = ${\frac {(k+j)(k+j+1)}{2}}+j.$

Posledica ove teoreme je prebrojivost skupa racionalnih brojeva. Poređamo razlomke u redove matrice. Sleva udesno, odozgo nadole, stoje redovi: ${\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},...$, zatim ${\frac {2}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {2}{1}},...$, i tako dalje. Ovaj skup elemenata je prebrojiv. Zatim dodamu nulu, i za svakog od ovih razlomaka dodamo po još jedan razlomak iste apsolutne vrednosti ali suprotnog znaka. Elementi tako uvećanog skupa se takođe mogu opet poređati, naizmenično plus minus, u sličnu matricu. U toku tog prebrojavanja, preskačemo elemenat, razlomak čija se vrednost ponovi.

Teorema 2

Skup realnih brojeva iz intervala (0,1) nije prebrojiv.

Broj je u ovom intervalu, ako je veći od nule i manji od jedan.

Dokaz

Dokaz ćemo izvesti svođenjem na kontradikciju ( Kantorov dijagonalni postupak). Pretpostavimo da je moguće sve brojeve iz (0,1) poređati u niz, i označimo taj niz sa $(a_{n})$, tj. $a_{1},a_{2},a_{3}...$ Kako se svaki realan broj može napisati u obliku decimalnog broja (beskonačnog decimalnog razlomka), koji može završavati i beskonačnim brojem nula, to je niz:

$a_{1}=0,a_{11}a_{12}a_{13}...a_{1n}...$

$a_{2}=0,a_{21}a_{22}a_{23}...a_{2n}...$

$a_{3}=0,a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n}...$

...

$a_{m}=0,a_{m1}a_{m2}a_{m3}...a_{mn}...$

...

gde je $a_{kj}$ jedna od cifara 0, 1, 2, ..., 9. Formirajmo sada realan broj $b=0,b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n}...,$ gde su decimalne cifre $b_{n}$ takođe celi brojevi od 0 do 9, i koji je očigledno iz istog intervala (0,1). Po pretpostavci, ma kako mu birali cifre, ovaj broj bi svaki put morao biti jedan od brojeva iz niza $(a_{n})$. Međutim, biraćemo cifre broja $b$ tako da je $b_{n}=1,$ ako je $a_{nn}=0$ i $b_{n}=0,$ ako $a_{nn}\neq 0.$ Pogledajmo šta smo dobili. Dobili smo broj b koji nije jednak nijednom broju niza a, jer se od svakog (npr. k-tog u nizu) razlikuje bar u jednoj cifri (k-toj). To je kontradikcija sa pretpostavkom da su u datom nizu svi realni brojevi intervala (0,1). Kraj dokaza.

Kardinalni broj skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i označava sa s i $\aleph _{0}<c$. Pretpostavka da između alef nula i kontinuuma nema drugih kardinalnih brojeva poznata je kao hipoteza kontinuuma. Nakon Kantora, bilo je pokušaja da se ona dokaže, ili ospori, ali bez uspeha, sve do Gedela (Gödel) i Kohena (Cohen), koji su dokazali da je ona nezavisna od prethodne teorije skupova, te da se ona može prihvatiti kao aksioma, ili jednako odbaciti. Ako prihvatimo hipotezu kontinuuma, onda umesto s možemo koristiti oznaku alef jedan, tj. $\aleph _{1}.$

Primeri

Rekli smo da su dva skupa ekvivalentna ako se između njih može uspostaviti bijekcija, biunivoka korespondecnija, odnosno obostrano jednoznačno preslikavanje. Ako su skupovi ekvivalentni onda imaju isti kardinalni broj, tj. broj elemenata. Ako skup ima jednako elemenata kao skup prirodnih brojeva, onda za taj skup kažemo da je prebrojiv i da mu je kardinalni broj alef nula, tj. $\aleph _{0}$.

Primer 1

Skup prirodnih brojeva ekvivalentan je skupu parnih brojeva.

Jer niz 2, 4, 6, ..., 2n, ... možemo preslikati na niz 1, 2, 3, ..., n, ... bijektivno.

Primer 2

Svaki deo prebrojivog skupa je konačan ili prebrojiv.

Objašnjenje

Neka je A prebrojiv skup. Članovi skupa A mogu se poređati u niz $A_{1},A_{2},A_{3}...$. Neka je $B\subseteq A$ i neka su $b_{1},b_{2}...$ oni elementi niza A koji su ujedno elementi niza B. Ako među ovima ne postoji najveći elemenat skup B je konačan, u suprotnom on je prebrojiv.

Primer 3

(a) Skup tačaka u ravni $(\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )$ čije su koordinate racionalni brojevi je prebrojiv;

(b) Skup tačaka u k-dimenzionalnom prostoru $(\mathbb {Q} ^{k})$ je prebrojiv.

Primer 4

Svaki beskonačan skup sadrži jedan prebrojiv podskup.

Objašnjenje

Neka je A beskonačan skup i neka je njegov elemenat $a_{1}\in A.$ Tada, jer je A beskonačan, postoji prebrojiv niz elemenata $a_{2}\neq a_{1};a_{3}\neq a_{1},a_{2};...$

Međutim, među beskonačnim brojevima, kardinalima, poredak nije nešto što se podrazumeva po sebi.

Primer 5

(Kantor-Bernštajnova teorema) Ako je skup A ekvivalentan jednom delu skupa B, i ako je obratno, skup B ekvivalentan jednom delu skupa A, tada su skupovi A i B ekvivalentni.

Vidi još

• Skup
• Večnost
• Konačnost

Literatura

• O'Flaherty, Wendy Doniger (1986). Dreams, Illusion, and Other Realities. University of Chicago Press. str. 243. ISBN 9780226618555. Arhivirano iz originala 29. 6. 2016. g. 
• Toker, Leona (1989). Nabokov: The Mystery of Literary Structures. Cornell University Press. str. 159. ISBN 9780801422119. Arhivirano iz originala 09. 05. 2016. g. 
• Weyl, Hermann (2012). Pesic, Peter, ur. Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy. Dover. str. 17. ISBN 978-0-486-48903-2. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. str. 616. ISBN 978-0-691-11880-2. Arhivirano iz originala 03. 06. 2016. g.  Extract of pp. 616 Arhivirano 2016-05-01 na sajtu Wayback Machine
• Aljančić, Slobodan (1979). Uvod u realnu i funkcionalnu analizu. Građevinska knjiga, Beograd. 
• Cajori, Florian (1993) [1928 & 1929]. A History of Mathematical Notations (Two Volumes Bound as One). Dover. ISBN 978-0-486-67766-8. 
• Gemignani, Michael C. (1990). Elementary Topology (2nd izd.). Dover. ISBN 978-0-486-66522-1. 
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd izd.) 
• Maddox, Randall B. (2002). Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Academic Press. ISBN 978-0-12-464976-7. 
• Russell, Bertrand (1996) [1903]. The Principles of Mathematics. New York, NY: Norton. ISBN 978-0-393-31404-5. OCLC 247299160. 
• Swokowski, Earl W. (1983). Calculus with Analytic Geometry (Alternate izd.). Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-341-1. 
• Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company 
• Wallace, David Foster (2004). Everything and More: A Compact History of Infinity. Norton, W. W. & Company, Inc. ISBN 978-0-393-32629-1. 
• Aczel, Amir D. (2001). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. New York: Pocket Books. ISBN 978-0-7434-2299-4. 
• D. P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation.
• Bell, J. L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.
• Jain, L. C. (1982). Exact Sciences from Jaina Sources. 
• Jain, L. C. (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science.
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (2nd izd.). Penguin Books. ISBN 978-0-14-027778-4. 
• H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Maor, Eli (1991). To Infinity and Beyond. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7. 
• O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Arhivirano na sajtu Wayback Machine (16. septembar 2006), MacTutor History of Mathematics archive.
• O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. decembar 2008), MacTutor History of Mathematics archive.
• Pearce, Ian. (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• Rucker, Rudy (1995). Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00172-2. 
• Singh, Navjyoti (1988). Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers. Journal of Asiatic Society. 30. 

Spoljašnje veze

• Beskonačno: Kako je nastao najinteligentniji simbol (B92, 20. novembar 2016)
• „The Infinite”. Internet Encyclopedia of Philosophy. 
• Infinity on In Our Time at the BBC. (listen now)
• A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets Архивирано на сајту Wayback Machine (27. фебруар 2010)
• Infinite Reflections Архивирано на сајту Wayback Machine (5. новембар 2009)
• Grime, James. „Infinity is bigger than you think”. Numberphile. Brady Haran. Arhivirano iz originala 22. 10. 2017. g. Pristupljeno 27. 10. 2017. 
• Infinity, Principia Cybernetica
• Hotel Infinity
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Архивирано на сајту Wayback Machine (16. септембар 2006), MacTutor History of Mathematics archive.
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Архивирано на сајту Wayback Machine (20. децембар 2008), MacTutor History of Mathematics archive.
• Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• = 25. 10. 2009.+04:16:26 Source page on medieval and modern writing on Infinity
• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
• Dictionary of the Infinite