Bolcmanova konstanta

Bolcmanov nadgrobni spomenik na kojem je uklesana formula (na vrhu) koja povezuje verovatnoću i entropiju. Bolcmanova konstanta ima centralnu ulogu u povezivanju ta dva naizgled nezavisna koncepta.

Bolcmanova konstanta (k ilik_B) je fizička konstanta kojom se povezuju temperatura i energija.

Ime je dobila po austrijskom fizičaru Ludvigu Bolcmanu, koji je značajno doprineo razvoju statističke mehanike u kojoj ova konstanta ima centralnu ulogu. Njena eksperimentalno određena vrednost u SI jedincama je (2002. godine CODATA) iznosi:

  $k=\ 1,3806505(24)\cdot 10^{-23}$ J/K

$=\ 8,617343(15)\cdot 10^{-5}$ eV/K.

Cifre u zagradi predstavljaju neizvesnost, standardnu devijaciju na poslednje dve saopštene cifre. Faktor konverzije između vrednosti saopštenih u različitim jedinicama je naelektrisanje elektrona:

q = 1,602 176 53(14) x 10^-19 kulona po elektronu.

Fizički značaj

Bolcmanova konstanta k uspostavlja vezu između makroskopske i mikroskopske fizike. Makroskopski može se uspostaviti gasna temperaturska skala koja se menja proporcionalno proizvodu pritska P i zapremine V izvesne količine idealnog gasa:

$PV\propto T$

Uvođenje Bolcmanove konstante pretvara ovo u formulu o mikroskopskim osobinama molekula,

$PV=NkT\,$

gde je N broj gasnih molekula u posmatranom uzorku idealnog gasa a k je Bolcmanova konstanta. Odavde sledi da je kT karakteristična veličina mikroskopske fizike vezana za jedan molekul a sa dimenzijama energije. Može se shvatiti i kao proizvod pritiska i zapremine jednog molekula.

Numerička vrednost konstante k nema neki poseban značaj jer zavisi od načina načina na koji smo izabrali da merimo temperaturu - u kelvinima, jedinici koja je zasnovana na makroskopskim fizičkim osobinama vode. Međutim, fundamentalni značaj ima karakteristična energija, kT na određenoj temperaturi. Numeričkom vrednošću konstante k utvrđuje se faktor konverzije za mapiranje te karakteristične mikroskopske energije E u makroskopski definisanu temperaturku skalu T = E/k. Da smo za izražavanje sobne temperature umesto 300 K (27 °C ili 80 °F), izabrali da kažemo da je tada kT 4,14 h 10^-21 J, ili 0,026 eV, tada bi Bolcmanova konstanta bila jednostavno neimenovani broj 1.

U principu, vrednost Bolcmanove konstante proporcionalnosti u džulima po kelvinima bi mogla da se izračuna od nule, a ne da se meri, korišćenjem definicije kelvina u smislu fizičkih svojstava vode. Međutim, ovo izvođenje i izračunavanje nije trivijalno.

(Beleška: jednačina stanja idealnog gasa može takođe da se napiše kao

$PV=nRT\,$

gde je n = N / N_A, broj molekula podeljen Avogadrovim brojem, dakle, količina materije merena u molovima, a R = N_A × k, Bolcmanova konstanta pomnožena Avogadrovim brojem, koja se naziva univerzalna gasna konstanta. Baratati molovima je mnogo praktičnije kada se radi o svakodnevnim kloičinama supstance u laboratoriji.)

Uloga u ekviparticiji energije

Princip ekviparticije energije tvrdi da se energija ravnomerno (ekvi-) razdeljuje (-particija) među svim oblicima kretanja (tačnije stepenima slobode). Dakle, u termodinamičkom sistemu na apsolutnoj temperaturi T, toplotna energija svakog stepena slobode je reda veličine kT/2 (t. j, oko 2,07 x 10^-21 J, ili 0,013 eV na sobnoj temperaturi.

Primena u jednostavnoj termodinamici gasova

U klasičnoj statističkoj mehanici, predviđa se da ovaj prosek važi za homogene idealne gasove. Monatomični idealni gasovi imaju 3 stepena slobode po atomu, što odgovara trima prostornim pravcima, što daje termalnu energiju od 1,5kT po atomu. Ovo vrlo dobro odgovara eksperimentalnim podacima. Termalna energija može da se koristi za izračunavanje kvadratne srednje vrednosti brzine atoma, koja je obrnuto proporcionalna kvadratnom korenu atomske mase. Kvadratne srednje vrednosti brzina na sobnoj temperaturi ovo tačno oslikavaju, jer vrednosti idu od 1.370 m/s za helijum, do 240 m/s za ksenon.

Iz kinetičke teorije može da se pokaže da je za idealni gas prosečan pritisak P dat kao:

$P={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}$

Zamenom da je prosečna translaciona kinetika

${\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}kT$

se dobija

$P={\frac {N}{V}}kT$

i tako se opet dobija jednačina stanja idealnog gasa.

Jednačina stanja idealnog gasa takođe prilično dobro važi i za molekularne gasove; ali je forma toplotnog kapaciteta komplikovanija, jer molekuli poseduju unutrašnje stepene slobode, kao i tri stepena slobode za kretanje molekula kao celine. Diatomični gasovi, na primer, poseduju ukupno oko 5 stepeni slobode po molekulu.

Uloga u Bolcmanovom faktoru

Opštije, sistemi u ekvilibrijumu sa rezervoarom toplote na temperaturi T imaju verovatnoće zauzimanja stanja sa energijom E uz težinski faktor koji odgovara Bolcmanovom faktoru:

$p\propto \exp {\frac {-E}{kT}}$

Ponovo, energijska veličina kT ovde ima centralni značaj.

Posledice ovoga uključuju (osim dodatka rezultatu za idealne gasove), na primer Arenijusovu jednačinu jednostavne hemijske kinetike.

Uloga u definiciji entropije

U statističkoj mehanici, entropija S izolovanog sistema u termodinamičkom ekvilibrijumu je definisana kao prirodni logaritam od W, broja različitih mikroskopskih stanja dostupnih sistemu uz data makroskopska ograničenja (kao što je fiksirana ukupna energija, E):

$S=k\,\ln W.$

Ova jednačina koja povezuje mikroskopske detalje sistema (preko Ω) sa njegovim makroskopskim stanjem (preko entropije, S), je centralna ideja statističke mehanike. Od takve je važnosti da je ugravirana na Bolcmanovom grobu.

Konstanta proporcionalnosti, k se javlja da bi učinila statističku mehaničku entropiju jednaku klasičnoj termodinamičkoj entropiji Klauzija:

$\Delta S=\int {\frac {dQ}{T}}$

Umesto toga bi mogla da se izabere drugačije skalirana entropija u mikroskopskom smislu, tako da

${S^{\,'}=\ln \Omega }\;;\;\;\;\Delta S^{\,'}=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.$

Ovo bi bila prirodnija forma; i ovako skalirana entropija tačno odgovara Šenonovoj informacionoj entropiji, što bi odstranilo mnogo nepotrebne konfuzije između ove dve.

Karakteristična energija, kT bi onda bila toplota neophodna da poveća skaliranu entropiju za jedan nat.

Uloga u fizici poluprovodnika

Kod poluprovodnika, odnos između toka električne struje i elektrostatičkog potencijala duž p-n raskrsnica zavisi od karakteristične voltaže koja se naziva termalnom voltažom, u oznaci V_T. Termalna voltaža zavisi od apsolutne temperature T (u kelvinima):

$V_{T}={kT \over q}$

gde je q veličina električnog naelektrisanja (u kulonima) na elektronu. Na sobrnoj temperaturi (T ≈ 300 K), vrednost termalne voltaže iznosi približno 26 milivolti.

Bolcmanova konstanta u Plankovim jedinicama

Plankov sistem prirodnih jedinica je sistem konstruisan tako da je Bolcmanova konstanta jednaka 1. To daje:

${E={\frac {1}{2}}T}\$

kao prosečnu kinetičku energiju molekula gasa po stepenu slobode; i čini da se definicija termodinamičke entropije poklapa sa definicijom informacione entropije:

$S=-\sum p_{i}\ln p_{i}$

Vrednost izabrana za Plankovu jedinicu temperature je ona koja odgovara energiji Plankove mase –a zapanjujućih 1.41679×10³² K.

Istorija

Bolcmanova konstanta je dobila ime po svom austrijskom otkrivaču iz 19. veka, Ludvigu Bolcmanu. Iako je Bolcman prvi put povezao entropiju i verovatnoću 1877. godine, relacija nikada nije bila izražena specifičnom konstantom sve dok Maks Plank nije prvi put uveo k i dao precizniju vrednost za nju (6977134600000000000♠1,346×10⁻²³ J/K, oko 2,5% niže od današnje vrednosti), u svom izvođenju zakona o zračenju crnog tela 1900–1901. Pre 1900. godine, jednačine koje su uključivale Bolcmanove faktore nisu bile napisane korišćenjem energija po molekulu i Bolcmanove konstante, već korišćenjem oblika gasne konstante R, i makroskopskih energija za makroskopske količine supstance. Ikonični sažeti oblik jednačine S = k ln W na Bolcmanovom nadgrobnom spomeniku je zapravo Plankova zasluga, a ne Bolcmanova. Plank je zapravo predstavio ovu konstantu u istom delu kao i njegovu eponimnu h.

Godine 1920, Plank je napisao u svom Nobelovom predavanju:

Ova konstanta se često naziva Bolcmanovom konstantom, iako je, koliko ja znam, sam Bolcman nikada nije uveo – neobično stanje stvari, koje se može objasniti činjenicom da Bolcman, kako se vidi iz njegovih povremenih izjava, nikada nije razmišljao o mogućnosti sprovođenja tačnog merenja konstante.

Ovo „neobično stanje stvari“ ilustrovano je pozivanjem na jednu od velikih naučnih rasprava tog vremena. U drugoj polovini devetnaestog veka bilo je velikih neslaganja oko toga da li su atomi i molekuli stvarni ili su jednostavno heurističko sredstvo za rešavanje problema. Nije bilo saglasnosti da li su hemijski molekuli, mereni atomskim težinama, isti kao fizički molekuli, mereni kinetičkom teorijom. Plankovo predavanje iz 1920. dalje navodi:

Ništa ne može bolje da ilustruje pozitivan i užurban tempo napretka koji je umetnost eksperimentatora ostvarila u proteklih dvadeset godina, od činjenice da je od tada otkriven ne samo jedan, već veliki broj metoda za merenje mase molekula sa praktično istom tačnošću kao što je postignuta za planetu.

Godine 2017, najtačnije mere Bolcmanove konstante dobijene su akustičnom gasnom termometrijom, kojom se pomoću mikrotalasne i akustične rezonancije određuje brzina zvuka jednoatomnog gasa u triaksijalnoj elipsoidnoj komori. Ovaj decenijski napor preduzet je različitim tehnikama u nekoliko laboratorija; to je jedan od kamena temeljaca redefinisanja osnovnih jedinica SI iz 2019. Na osnovu ovih merenja, CODATA je preporučio 6977138064900000000♠1,380649×10⁻²³ J/K kao konačnu fiksnu vrednost Bolcmanove konstante koja će se koristiti za Međunarodni sistem jedinica.

Vrednost u različitim jedinicama

Vrednost k	Jedinice	Komentari
6977138064900000000♠1,380649×10−23	J/K	SI po definiciji, J/K = m2⋅kg/(s2⋅K) u SI osnovnim jedinicama
6995861733326200000♠8,617333262×10−5	eV/K
7010208366191200000♠2,083661912×1010	Hz/K	(k/h)
6984138064900000000♠1,380649×10−16	erg/K	CGS sistem, 1 erg = 6993100000000000000♠1×10−7 J
6976329762348299999♠3,297623483×10−24	cal/K	1 kalorija = 7000418680000000000♠4,1868 J
6976183201304599999♠1,832013046×10−24	cal/°R
6976565730246599999♠5,657302466×10−24	ft lb/°R
6999695034800000000♠0,695034800	cm−1/K	(k/(hc))
6994316681156300000♠3,166811563×10−6	Eh/K	(Eh = hartri)
6997198720425900000♠1,987204259×10−3	kcal/(mol⋅K)	(kNA)
6997831446261800000♠8,314462618×10−3	kJ/(mol⋅K)	(kNA)
2997771400832800000♠−228,5991672	dB(W/K/Hz)	10 log10(k/(1 W/K/Hz)), koristi se za proračune toplotnog šuma
6960153617918699999♠1,536179187×10−40	kg/K	k/c2, gde je c brzina svetlosti

Prirodne jedinice

Bolcmanova konstanta obezbeđuje mapiranje od karakteristične mikroskopske energije E na makroskopskoj temperaturnoj skali T = E/k. U fundamentalnoj fizici, ovo preslikavanje se često pojednostavljuje korišćenjem prirodnih jedinica za postavljanje k na jedinicu. Ova konvencija znači da temperature i količine energije imaju iste dimenzije. Konkretno, SI jedinica kelvin postaje suvišna, jer se definiše u smislu džula kao 1 K = 6977138064900000000♠1,380649×10⁻²³ J. Sa ovom konvencijom, temperatura je uvek data u jedinicama energije, a Bolcmanova konstanta nije eksplicitno potrebna u formulama.

Literatura

• Peter J. Mohr, and Barry N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998", Rev. Mod. Phys., Vol 72, No. 2, April 2000

Spoljašnje veze

• Draft Chapter 2 for SI Brochure, following redefinitions of the base units (prepared by the Consultative Committee for Units)
• Big step towards redefining the kelvin: Scientists find new way to determine Boltzmann constant
• Boltzmann's constant CODATA value at NIST