Bramagupta

Bramagupta
Lični podaci
Datum rođenja	598.
Mesto rođenja	Binmal Udžajin ,
Datum smrti	670.
Naučni rad
Polje	matematika, astronomija

Bramagupta (ब्रह्मगुप्त; 589—668) je bio indijski matematičar i astronom. Rođen je 598. godine u gradu Binmal u državi Radžastan u severozapadnoj Indiji. Verovatno je veći deo života proveo u Bilamali (današnji Binmal) u carstvu Harša. Zbog ovoga, Bramaguptu često nazivaju Bilamalakarja, učitelj iz Bilamale. Bio je upravnik astronomske upservatorije u Udžainu, i za to vreme je napisao četiri matematička i astronomska teksta: Bramasputasidanta 628. godine, Kadamekela 624. godine, Durkeminarda 672. godine, i Kandakadjaka 665. godine.

Bramagupta je bio privi matematičar koji je dao pravila računanja sa nulom. Tekstovi koji je Bramagupta sastavio su bili napisani u eliptičnim stihovima u Sanskritu, što je bila uobičajena praksa kod indijskih matematičara. Dokazi nisu dati, te nije poznato kako su Bramaguptini rezultati izvedeni.

Život i karijera

Bramagupta je rođen 598. prema njegovoj sopstvenoj izjavi. On je živeo u Bilamali (modernom Binmalu) tokom vladavine vladara iz Čavda dinastije, Vjagrahamuka. On je bio sin Jišnugute i šajvista po religiji. Mada većina naučnika podrazumeva da je Bramagupta rođen u Bilamali, za to nema dokaza. Međutim, on je živeo i radio tamo tokom znatnog dela svog života. Pritudaka Svamin, komentator iz kasnijeg perioda, nazivao ga je Bilamalačarja, učitelj iz Bilamale. Sociolog G. S. Gurje smatra da je on verovatno bio iz Multana ili Abu regiona.

Bilamala, pi-lo-mo-lo po Sjuencangu, bila je poput prestonice Gurjaradesa, drugog po veličini kraljevstva zapadne Indije, koje se sastojalo od južnog Radžastana i severnog Gudžarata u današnjoj Indiji. Ona je isto tako bila centar učenja za matematiku i astronomiju. Bramagupta je postao astronom škole Bramapakša, jedne od četiri glavne škole indijske astronomije tokom tog perioda. On je studirao pet tradicionalnih siddhanthas o indijskoj astronomiji, kao i radove drugih astronoma uključujući Arjabata I, Latadeva, Pradjumna, Varahimihire, Sima, Srisena, Vijajanandina i Višnučandra.

Godine 628, u svojoj 30 godini, on je napisao delo s naslovom Brāhmasphuṭasiddhānta (poboljšana studija Brame) za koje se smatra da je redukovana verzija prihvaćene sidanet Bramapakšine škole. Naučnici kažu da je on svojoj reviziji inkorporirao značnu količinu originalnog sadržaja. Knjiga se sastojala od 24 poglavlja. Znatan deo knjige se bavio astronomijom, ali ona isto tako sadrži ključna poglavlja o matematici, uključujući algebru, geometriju, trigonometriju i algoritmiku, za koje se smatra da sadrže nove uvide, koji su Bramaguptin originalni doprinos.

Kasnije se Bramagupta preselio u Udžajin, koji je isto tako bio značajan centar za astronomiju. On je u svojoj 67. godini napisao svoj sledeći dobro poznati rad Khanda-khādyaka, praktični priručnik indijske astronomije u karana kategoriji namenjen studentima.

Kontroverze

Bramagupta je bio veoma kritičan prema radu rivalskih astronoma, i njegova Bramasfutasidanta prikazuje jedan od najranijih raskolova među njima indijskim matematičarima. Podela je prvenstveno u primeni matematike u fizičkom svetu, a ne u samoj matematici. U Bramaguptinom slučaju, neslaganja su proisticala uglavnom iz izbora astronomskih parametara i teorija. Kritika rivalskih teorija se pojavljuje tokom prvih deset astronomskih poglavlja, a jedanaesto poglavlje je u potpunosti posvećeno kritici ovih teorija, dok se u dvanaestom i osamnaestom poglavlju ne pojavljuju kritike.

Prijem

Istoričar nauke Džordž Sarton nazivao ga je „jednim od najvećih naučnika svoje rase i najvećim u svom vremenu”.

Bramaguptini matematički napreci su nastavljeni u delu Baskara II, njegovog direktnog naslednika u Udžajinu, koji je opisao Gramaguptu kao ganaka-chakra-chudamani (dragulj kruga matematičara). Pritudaka Svamin je napisao komentare na oba dela, prerađujući teške delove u jednostavniji jezik i dodajući ilustracije. Lala i Batotpala su u 8. i 9. veku napisali su kometare o delu Kanda-kadjaka. Dodatni komentari su se pojavili u 12. veku.

Nekoliko dekada nakon Bramaguptine smrti, Sind je pao pod arapski Kalifat 712. godine. Ekspedicije su bile poslate u Gurjaradesu. Kraljevstvo Bilamala je bilo uništeno, ali je Udžajin odbio napade. Dvor kalif El Mansura (754–775) primio je predstavnike iz Sinda, uključujući astrologa pod imenom Kanaka, koji je doneo (verovatno memorisane) astronomske tekstove, uključujući radove Bramagupte. Bramaguptini tekstovi su prevedeni u arapski zaslugom astronoma na El Mansurovom dvoru Muhameda el-Fazarija pod naslovima Sindind i Arakand. Neposredni ishod je bio širenje decimalnog brojnog sistema koji se koristio u tekstovima. Matematičar Muhamed el Horezmi (800–850) napisao je tekst nazvan al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind („Dodavanje i oduzimanje u indijskoj aritmetici”), koji je bio preveden u latinski u 13. veku kao Algorithmi de numero indorum. Putem ovih tekstova, decimalni brojni sistem i Bramaguptini aritmetički algoritmi su se proširili širom sveta. El Horezmi je isto tako napisao svoju sopstvenu verziju Sindida, baziranu na el-Fazarijevoj verziji i inkorporaciji Ptolemijskih elementa. Indijski astronomski materijal je vekovima kružio, i čak je dospeo do srednjovekovnih latinskih tekstova.

Matematika

Algebra

Sabiranje, oduzimanje, deljenje i druge fundamentalne operacije sa hindu arapskim brojevima se prvi put pojavljuju u Bramasputa Sidanta, (u arapskom prevodu Sindhind). Bramaputra je imao običaj da izostavlja reči i korake u svojim matematičkim delima, kako bi mogao da ih predstavi na poetskiji način.

Pa ipak, njegov rad je od velikog značaja za matematiku. Bramagupta je popularizovao važan koncept u matematici: broj nula. Bramaguptasidanta je najstariji poznati tekst koji nulu tretira kao broj po sebi, umesto samo kao cifru u predstavljanju drugog broja. Štaviše, u ovom delu se ide dalje, i navode se pravila za aritmetiku sa negativnim brojevima i nulom, koja su vrlo blizu današnjih shvatanja. Glavna razlika je u tome što je Bramagupta pokušao da definiše deljenje nulom, koje je ostalo nedefinisano u modernoj matematici. Njegova definicija nule kao broja je bila ispravna osim što je smatrao da je 0/0 jednako 0, dok moderna matematik insistira da se ova vrednost ne može definisati.

Godine 628., Bramagupta je dao prvo opšte rešenje kvadratne jednačine:

$ax^{2}+bx=c$

Apsolutnom broju pomnoženim četiri puta [koeficijentom] kvadrata, dodaj kvadrat [koeficijenta] srednjeg člana; kvadratni koren ovoga, manje [koeficijent] srednjeg člana podeljen dvostrukim [koeficijentom] kvadrata je vrednost. (Brahmasphutasiddhanta (Colebrook translation. (1817). pp. 346)

Što je ekvivalentno sa:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

On ze zatim rešio sisteme simultanih neodređenih jednačina navodeći da željene promenljive moraju prvo da budu izolovane, i zatim jednačina mora da bude podeljena koeficijentom željene promenljive. Specifično, on je preporučio korišćenje „drobilice” za rešavanje jednačina sa višestrukim nepoznatama.

Poput algebre Diofanta, algebra Bramagupte je bila sinkopirana. Dodavanje je bilo označeno stavljanjem brojeve jednog pored drugog, oduzimanje stavljanjem tačke iznad umanjioca, i deljenje stavljanjem delioca ispod deljenog broja, slično našoj notaci ali bez crte. Množenje i nepoznati kvantiteti su bili predstavljeni skraćenicama podesnih termina. Veličina grčkog uticaja na ovu sinkopaciju, ako postoji, nije poznata i moguće je da su i grčka i indijska sinkopa izvedene iz zajedničkog vavilonskog izvora.

Aritmetika

Četiri fundamentalne operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) bile su poznate mnogim kulturama pre Bramagupte. Ovaj sadašnji sistem zasniva se na hindu-arapskom brojnom sistemu, i prvi put se pojavio u delu Bramasfutasidanta. Bramagupta opisuje množenje ovako: „Množilac se ponavlja u nizu poput marve, toliko često koliko ima integralnih delova u multiplikatoru i ponavljivo je pomnožen njime i produkti se sabiraju zajedno. To je množenje. Ili se multiplikator ponavlja koliko god sastavnih delova ima u množiocu.” Indijska aritmetika je bila poznata u srednjovekovnoj Evropi kao „Modus Indoram”, sa značenjem metod Indijaca. U Bramasfutasidanti, množenje se zvalo gomutrika. Na početku dvanaestog poglavlja ovog njegovog dela, naslovljenog Račun, Brahmagupta daje detalje operacija na razlomcima. Od čitaoca se očekuje da zna osnovne aritmetičke operacije kao što je vađenje kvadratnog korena, mada on objašnjava dizanje na treći stepen i kubni koren celog broja, i kasnije daje pravila koja olakšavaju izračunavanje kvadrata i kvadratnih korena. On zatim daje pravila za rešavanje pet vrsta kombinovanja razlomaka: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; and a/c − b/d × a/c = a(d − b)/cd.

Serije

Bramagupta zatim daje sumu kvadrata i kubova prvih n celih brojeva.

12.20. Suma kvadrata je ta [suma] pomnožena sa dvostrukim [brojem] korak[a] uvećana za jedan [i] podeljena sa tri. Suma kubova je kvadrat te [sume].

Ovde je Bramagupta našao rezultat u smislu sume prvih n celih brojeva, a ne u smislu n kako se to čini u današnjoj praksi.

On daje sumu kvadrata prvih n prirodnih brojeva kao n(n + 1)(2n + 1)/6, i sumu kubova prvih n prirodnih brojeva kao (n(n + 1)/2)2
.

Astronomija

U oblasti astronomije, Bramagupta je prvi koristio algebru u rešavanju astronomskih problema. Kroz delo Bramasputasidanta su se Arapi upoznali sa indijskom astronomijom. Čuveni abasidski halif, El Mansur (712—775) je osnovao Bagdad, i učinio ga centrom nauke. On je pozvao učenjaka po imenu Kankah iz Udžaina 770. godine. On je koristio knjigu Bramasputasidanta da objasni hindu sistem aritmetičke astronomije. Al-Fazari je preveo ovo delo na arapski po zahtevu halifa.

Bramagupta je kritikovao viđenje da je Zemlja ravna ili šuplja. On je primetio da su Zemlja i nebesa sfernog oblika i da se zemlja kreće.

Literatura

• Hitti, Philip Khuri (2002). History of the Arabs. Palgrave Macmillan. ISBN 9781137039828. 
• Hill, Fred James; Awde, ‎Nicholas (2003). A History of the Islamic World. Hippocrene Books. ISBN 9780781810159. 
• Avari, Burjor (2013). Islamic Civilization in South Asia: A history of Muslim power and presence in the Indian subcontinent. Routledge. ISBN 978-0-415-58061-8. 
• Teresi, Dick (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science. Simon and Schuster. str. 135. ISBN 978-0-7432-4379-7. 
• Bose, D. M.; Sen, S. N.; Subbarayappa, B. V. (1971), A Concise History of Science in India, New Delhi: Indian National Academy of Science, str. 95—97, Arhivirano iz originala 8. 12. 2015. g., Pristupljeno 27. 8. 2018 
• Filliozat, Pierre-Sylvain (2004). „Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature”. Ur.: Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al. History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science). Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pages. str. 360—375. ISBN 978-1-4020-2320-0. 
• Bhattacharyya, R. K. (2011). „Brahmagupta: The Ancient Indian Mathematician”. Ur.: B. S. Yadav; Mohan, Man. Ancient Indian Leaps into Mathematics. Springer Science & Business Media. str. 185—192. ISBN 978-0-8176-4695-0. 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-18082-1. 
• Gupta, Radha Charan (2008). Selin, Helaine, ur. Brahmagupta. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer. ISBN 978-1-4020-4559-2. 
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00659-8. 
• O'Leary, De Lacy (2001) [first published 1948]. How Greek Science Passed to the Arabs (2nd izd.). Goodword Books. ISBN 978-81-87570-24-0. 
• Plofker, Kim (2007). „Mathematics in India”. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9. 
• Stillwell, John (2004). Mathematics and its History (Second izd.). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 978-0-387-95336-6. 
• Hockey, Thomas, ur. (2007). „Brahmagupta”. Biographical Encyclopedia of Astronomers. Springer Science & Business Media. str. 165. ISBN 978-0-387-30400-7. 
• Hayashi, Takao (1995). The Bakhshali Manuscript, An ancient Indian mathematical treatise. Groningen: Egbert Forsten, 596 pages. ISBN 978-90-6980-087-5. 
• Ikeyama, Seturo (2003). Brāhmasphuṭasiddhānta of Brahmagupta with Commentary of Pṛthūdhaka, critically edited with English translation and notes. INSA. 
• Pingree, David. Census of the Exact Sciences in Sanskrit (CESS). American Philosophical Society. A4. pp. 254. 
• Hayashi, Takao (1997), „Aryabhata's Rule and Table of Sine-Differences”, Historia Mathematica, 24 (4): 396—406, doi:10.1006/hmat.1997.2160 
• Hayashi, Takao (2003). „Indian Mathematics”. Ur.: Grattan-Guinness, Ivor. Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. 1. Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages. str. 118—130. ISBN 978-0-8018-7396-6. 
• Hayashi, Takao (2005). „Indian Mathematics”. Ur.: Flood, Gavin. The Blackwell Companion to Hinduism. Oxford: Basil Blackwell, 616 pages. str. 360—375. ISBN 978-1-4051-3251-0. 
• Sharma, Shashi S. Mathematics & Astronomers of Ancient India. Pitambar Publishing. ISBN 9788120914216. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Brahmagupta”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 

Spoljašnje veze

• Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta
• Algebra, with Arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara na sajtu Internet Archive, translated by Henry Thomas Colebrooke. [1]