Braunovo kretanje

Primer Braunovog kretanja: svetloplavom bojom je prikazano Braunovo kretanje u 2048 koraka, tamno plavom bojom je prikazan svaki osmi korak, te je ista putanja predstavljena u 256 i crnom bojom je putanja ponovo redukovana 8 puta i prikazana je u 32 koraka. Prikazano je da Braunovo kretanje izgleda samoslično na različitim skalama veličine.

Braunovo kretanje je način kretanja malog tela zaronjenog u fluid, gde telo ima manju specifičnu težinu od sredine u kojoj se nalazi. Pod takvim uslovima, doći će do haotičnog kretanja tela, uzrokovanim sudarima sa molekulima sredine. Ovakvo kretanje se opisuje molekulsko-kinetičkom teorijom gasova i moguće ga je posmatrati pod mikroskopom. Vinerov proces se u literaturi takođe često poistovećuje sa Braunovim kretanjem. Vinerov proces je zapravo matematička formulacija Braunovog kretanja, dok se formalno pod Vinerovim procesom smatra standardno Braunovo kretanje.

Dvodimenzionalni slučajni hod srebrnog adatoma na površini Ag(111)

Ovaj obrazac kretanja se obično sastoji od nasumičnih fluktuacija u položaju čestice unutar fluidnog domena, nakon čega sledi premeštanje u drugi domen. Svaka relokacije je praćena sa više fluktuacija unutar nove zatvorene zapremine. Ovaj obrazac opisuje tečnost u termalnoj ravnoteži, definisanoj datom temperaturom. Unutar takvog fluida ne postoji preferencijalni pravac strujanja (kao u transportnim fenomenima). Tačnije, ukupni linearni i ugaoni momenti tečnosti ostaju jednaki nuli tokom vremena. Kinetičke energije molekularnih Braunovskih kretanja, zajedno sa molekularnim rotacijama i vibracijama, sumiraju se u kalorijsku komponentu unutrašnje energije fluida (teorema o ekviparticiji).

Ovo kretanje je nazvano po botaničaru Robertu Braunu, koji je prvi opisao ovaj fenomen 1827. godine, dok je kroz mikroskop gledao polen biljke Clarkia pulchella uronjen u vodu. Godine 1905, skoro osamdeset godina kasnije, teorijski fizičar Albert Ajnštajn je objavio rad u kome je modelovao kretanje čestica polena koje pokreću pojedinačni molekuli vode, dajući jedan od svojih prvih velikih naučnih doprinosa. Pravac sile atomskog bombardovanja se stalno menja, a u različito vreme čestica je pogođena više na jednoj strani nego na drugoj, što dovodi do naizgled nasumične prirode kretanja. Ovo objašnjenje Braunovskog kretanja poslužilo je kao ubedljiv dokaz da atomi i molekuli postoje, a dalje ga je eksperimentalno potvrdio Žan Peren 1908. Peren je dobio Nobelovu nagradu za fiziku 1926. „za svoj rad na diskontinuiranoj strukturi materije“.

Interakcije više tela koje daju Braunov obrazac ne mogu se rešiti modelom koji uzima u obzir svaki uključeni molekul. Posledica toga je da se samo modeli verovatnoće primenjeni na molekularne populacije mogu koristiti da se to ovaj vid kretanja opiše. U nastavku su predstavljena dva takva modela statističke mehanike, prema Ajnštajnu i Smoluhovskom. Druga, čisto probabilistička klasa modela je klasa modela stohastičkih procesa. Postoje nizovi jednostavnijih i komplikovanijih stohastičkih procesa koji konvergiraju (u limitima) u Braunovom kretanju (pogledajte nasumično hodanje i Donskerovu teoremu).

Istorija

Ovo je simulacija Braunovog kretanja 5 čestica (žutih) koje se sudaraju sa velikim skupom od 800 čestica. Žute čestice ostavljaju 5 plavih tragova (pseudo) nasumičnog kretanja i jedna od njih ima crveni vektor brzine.

Ovo je simulacija Braunovog kretanja velike čestice (čestice prašine) koja se sudara sa velikim skupom manjih čestica (molekula gasa) koje se kreću različitim brzinama u različitim nasumičnim pravcima.

Reprodukovano iz knjige Žan Batiste Perena, Les Atomes, prikazana su tri traga kretanja koloidnih čestica radijusa 0,53 µm, kako se vidi pod mikroskopom. Uzastopne pozicije svakih 30 sekundi spajaju se pravim segmentima (veličina mreže je 3,2 µm).

Naučna pesma rimskog filozofa-pesnika Lukrecija „O prirodi stvari“ (oko 60. p. n. e.) ima izvanredan opis kretanja čestica prašine u stihovima 113–140 iz Knjige II. On ovo koristi kao dokaz postojanja atoma:

Posmatrajte šta se dešava kada sunčevi zraci uđu u zgradu i obasjaju njena mesta u senci. Videćete mnoštvo sićušnih čestica koje se mešaju na mnogo načina... njihov ples je stvarna indikacija osnovnih kretanja materije koja su skrivena od našeg pogleda... Ona potiče od atoma koji se kreću sami od sebe [i.e. spontano]. Tada se ta mala kompaktna tela koja su najmanje udaljena od impulsa atoma pokreću njihovim nevidljivim udarcima i zatim ona udaraju o nešto veća tela. Dakle, kretanje se diže od atoma i postepeno izlazi na nivo naših čula, tako da su u pokretu ona tela koja vidimo u sunčevim zracima, pokretana udarcima koji ostaju nevidljivi.

Iako je mešanje čestica prašine uglavnom uzrokovano vazdušnim strujama, svetlucavo, prevrćuće kretanje malih čestica prašine uzrokovano je uglavnom istinskom Braunovom dinamikom; Lukrecije „pogrešnim primerom savršeno opisuje i objašnjava Braunovo kretanje“.

Dok je Jan Ingenhauz opisao nepravilno kretanje čestica ugljene prašine na površini alkohola 1785. godine, otkriće ovog fenomena se često pripisuje botaničaru Robertu Braunu 1827. Braun je proučavao zrna polena biljke Clarkia pulchella suspendovana u vodi pod mikroskopom kada je posmatrao sitne čestice koje izbacuju polenova zrnca, pri čemu one vrše cimajuće pokrete. Ponavljajući eksperiment sa česticama neorganske materije, uspeo je da isključi da je kretanje životno, iako je njegovo poreklo tek trebalo da bude objašnjeno.

Prva osoba koja je opisala matematiku iza Braunovog kretanja bio je Torvald N. Tiel u radu o metodi najmanjih kvadrata objavljenom 1880. Ovo je nezavisno pratio Luj Bačeler 1900. godine u svojoj doktorskoj tezi „Teorija spekulacije”, u kojoj je predstavio stohastičku analizu tržišta akcija i opcija. Često se citira Braunov model kretanja na berzi, mada je Benoa Mandelbrot je odbacio njegovu primenljivost na kretanja cena akcija delimično zato što su one diskontinuirne.

Primena

Ova pojava je prvi put uočena kada je pod mikroskopom posmatran polen cveća u kapljici vode. Braunovo kretanje takođe predstavlja jedan od načina kretanja bakterija.

Formalna definicija

Vinerov proces ili standardno Braunovo kretanje je niz slučajnih promenljivih $B(t)$ gde je $B(0)=0$ i za koje važi da je za sve vrednosti $t'<t$ razlika $B(t)-B(t')$ distribuirana po Gausovoj raspodeli sa varijansom $t-t'$, i ne zavisi od $B(t'')$ za $t''\leq t'$.

Vinerov proces je Gausov, Markovljev i nestacionaran stohastički proces. Kao takav, kao vrsta Gausovog procesa, Vinerov proces $x(t)$ se može definisati preko prva dva kumulativna momenta kao: $\langle x(t)\rangle =0$ i $\langle x(t)x(t')\rangle ={\tilde {\sigma }}\min(t,t')$.

Vidi još

• Braunovo drvo

Literatura

• Brown, Robert (1828). „A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies” (PDF). Philosophical Magazine. 4 (21): 161—173. doi:10.1080/14786442808674769.  Also includes a subsequent defense by Brown of his original observations, Additional remarks on active molecules.
• Chaudesaigues, M. (1908). „Le mouvement brownien et la formule d'Einstein” [Brownian motion and Einstein's formula]. Comptes Rendus (na jeziku: francuski). 147: 1044—6. 
• Clark, P. (1976). „Atomism versus thermodynamics”. Ur.: Howson, Colin. Method and appraisal in the physical sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0521211109. 
• Cohen, Ruben D. (1986). „Self Similarity in Brownian Motion and Other Ergodic Phenomena” (PDF). Journal of Chemical Education. 63 (11): 933—934. Bibcode:1986JChEd..63..933C. doi:10.1021/ed063p933. 
• Dubins, Lester E.; Schwarz, Gideon (15. 5. 1965). „On Continuous Martingales”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 53 (3): 913—916. Bibcode:1965PNAS...53..913D. JSTOR 72837. PMC 301348 . PMID 16591279. doi:10.1073/pnas.53.5.913 . CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Einstein, A. (1956). Investigations on the Theory of Brownian Movement. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60304-9. Pristupljeno 6. 1. 2014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Henri, V. (1908). „Études cinématographique du mouvement brownien” [Cinematographic studies of Brownian motion]. Comptes Rendus (na jeziku: francuski) (146): 1024—6. 
• Lucretius, On The Nature of Things, translated by William Ellery Leonard. (on-line version, from Project Gutenberg. See the heading 'Atomic Motions'; this translation differs slightly from the one quoted).
• Nelson, Edward, (1967). Dynamical Theories of Brownian Motion. (PDF version of this out-of-print book, from the author's webpage.) This is primarily a mathematical work, but the first four chapters discuss the history of the topic, in the era from Brown to Einstein.
• Pearle, P.; Collett, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D.; Samuels, S. (2010). „What Brown saw and you can too”. American Journal of Physics. 78 (12): 1278—1289. Bibcode:2010AmJPh..78.1278P. S2CID 12342287. arXiv:1008.0039 . doi:10.1119/1.3475685. 
• Perrin, J. (1909). „Mouvement brownien et réalité moléculaire” [Brownian movement and molecular reality]. Annales de chimie et de physique. 8th series. 18: 5—114. 
  • See also Perrin's book "Les Atomes" (1914).
• von Smoluchowski, M. (1906). „Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen”. Annalen der Physik. 21 (14): 756—780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405. 
• Svedberg, T. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen. 
• Theile, T. N.
  • Danish version: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
  • French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.

Spoljašnje veze

• Einstein on Brownian Motion
• Discusses history, botany and physics of Brown's original observations, with videos
• "Einstein's prediction finally witnessed one century later" : a test to observe the velocity of Brownian motion
• Large-Scale Brownian Motion Demonstration