Vajlov zakon

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

U matematici, Vajlov zakon je opšti naziv za asimptotsku formulu koja opisuje gustinu spektra date Rimanove mnogostrukosti. Nosi ime nemačkog matematičara Hermana Vajla, koji ju je dokazao za slučaj domena u euklidskoj ravni.

Uvod[uredi | uredi izvor]

U osnovnom obliku, Vajlov zakon se odnosi na kompaktne Rimanove mnogostrukosti. U harmonijskoj analizi, funkcije definisane na takvoj mnogostrukosti M razlažemo na komponente na kojima izvesni diferencijalni operatori imaju posebno jednostavno, „čisto“ dejstvo. Najjednostavniji primer ovakvog rasuđivanja imamo u Furijeovoj analizi, u kojoj periodične realne funkcije ("signale") razlažemo na elementarne sinusne i kosinusne komponente ("proste oscilacije"):

f(x) = a0 + ∑n≥1 ( an cos(nx) + bn sin(nx) ).

Trigonometrijske funkcije su ovde svojstvene funkcije diferencijalnog operatora Δ = d2 / dx2 na prostoru L2. Ali ne pojavljuju se sve takve svojstvene funkcije u gornjem razvoju, već samo one kod kojih je indeks n ceo broj. Ovo odslikava prirodu prostora na kojem je f definisana: za funkciju perioda (recimo) 2π, možemo smatrati da je definisana na intervalu [0,2π] pri čemu se krajnje tačke 0 i 2π identifikuju: drugim rečima, na krugu (koji je, pak, kompaktna Rimanova mnogostrukost S1 dimenzije 1).

Na Rimanovim mnogostrukostima, Laplas-Beltramijev operator ΔM, diferencijalni operator drugog reda, se definiše kao divergencija gradijenta. Laplas-Beltramijev operator je simetričan i može se iskazati u lokalnim koordinatama (ui) koristeći metrički tenzor (gij) i Kristofelove simbole Γkij kao

Laplasijan sadrži u sebi važne informacije o geometriji mnogostrukosti M, i njegove svojstvene funkcije, dakle funkcije φ ∈ L2(M) takve da je

ΔMφ = λφ

su elementarni blokovi za harmonijsku analizu na ovom prostoru. Kao i u jednostavnom primeru M = S1, svaka funkcija u L2(M) se može razložiti u zbir svojih prostih komponenti. Shvatanje o važnosti svojstvenih funkcija za razumevanje geometrije prostora M popularisao je Mark Kac u svom poznatom memoaru „Možemo li čuti oblik bubnja?". Njihove odgovarajuće svojstvene vrednosti λ čine spektar Spec(ΔM) prostora M. Ako je M kompaktna mnogostrukost, svojstvenih vrednosti ima prebrojivo mnogo i one čine diskretan rastući niz

0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn ≤...→+∞.

Iskaz[uredi | uredi izvor]

Vajlov zakon je asimptotska formula za tzv. brojačku funkciju spektra

N(λ) = # { λj ∈ Spec(ΔM) : λj ≤ λ }.

Ona nam govori koliko svojstvenih vrednosti možemo očekivati u nekom intervalu velikih vrednosti ("visoke energije"). Najpoznatiji Vajlov zakon je teorema Hermandera, koja za broj svojstvenih vrednosti Laplasijana na kompaktnoj Rimanovoj mnogostrukosti M dimenzije n daje asimptotsku formulu

N(λ) = cn vol(M) λn/2 + O( λ(n-1)/2 ),

gde je cn konstanta koja zavisi jedino od dimenzije n.

Prvi zakon ove vrste dokazao je Herman Vajl za domene u euklidskoj ravni. Činjenicu da je vodeći član proporcionalan zapremini površi predviđali su još ranije fizičari polazeći od odnosa klasične i kvantne mehanike!

Asimptotska formula za N(λ) je utoliko kvalitetnija ukoliko je O-ocena za ostatak R(λ) = N(λ) - cnvol(Mn/2 bolja. U punoj opštosti, Hermanderova ocena se ne može poboljšati kao što pokazuje primer sfere Sn. Pitanje optimalne ocene (odnosno, stvarne stope rasta) za R(λ) još uvek nije u potpunosti shvaćeno i zavisi od svojstava geodezijskog toka na (jediničnom tangentnom snopu) mnogostrukosti M. Na primer, mnogostrukosti sa kompletno integrabilnim tokom i one kod kojih je geodezijski tok ergodički imaju potpuno drugačiju prirodu.

Primer[uredi | uredi izvor]

Na primer, ako je M torus T2 = R2 / Z2, Laplasov operator Δ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 deluje na funkcije na T2, odnosno (sa identifikacijom analognom kao u slučaju intervala) na funkcije dva realna argumenta periodične sa periodom 1 po svakoj promenljivoj. Svojstvene funkcije su standardne eksponencijalne funkcije e2πi(mx+ny), sa odgovarajućom svojstvenom vrednošću 4π2(m2+n2). U ovom slučaju, N(λ) predstavlja broj „celobrojnih“ tačaka (tj. čije su obe koordinate celi brojevi) unutar kruga poluprečnika λ1/2 / 2π, i pitanje nalaženja asimptotske formule za N(λ) sa optimalnom ocenom ostatka jeste klasični Gausov problem kruga.

Uopštenja i varijante[uredi | uredi izvor]

Asimptotske formule za veličinu

Nx(λ) = ∑λj ≤ λ |φj(x)|2

nazivaju se lokalnim Vajlovim zakonom (gde svojstvene funkcije φj čine ortonormirani sistem). Pritom je ∫M Nx(λ) dx = N(λ). Vajlov zakon i lokalni Vajlov zakon su osnovne alatke u spektralnoj analizi na M.

Varijante Vajlovog zakona poznate su i za neke ne-kompaktne Rimanove mnogostrukosti, konkretno lokalno simetrične prostore ranga 1 i konačne zapremine. Na primer, ako je h hiperbolička gornja poluravan i Γ diskretna grupa izometrija na h izvesnog tipa (tzv. Fuksova grupa prve vrste), tada je M = Γ \ h hiperbolička površ konačne zapremine, i spektar Laplasijana ima osim diskretnog i neprekidni deo. Vajlov zakon u ovom kontekstu glasi

gde φ (determinanta „matrice rasejanja"), h (broj šiljaka) i cΓ zavise jedino od grupe Γ, i parametru 1/2+it odgovara svojstvena vrednost 1/4+t2, što objašnjava granice integracije. U opštem slučaju diskretni i neprekidni deo spektra uvek doprinose zajedno. Međutim, ako je Γ aritmetička grupa, φ se može izraziti preko L-funkcija i pokazuje se da glavu težinu u gornjoj asimptotskoj formuli zaista nosi diskretni deo spektra. Odgovarajuće svojstvene funkcije su Masove šiljkaste forme, ključan objekat moderne analitičke teorije brojeva.