Vektor

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Skoči na: navigacija, pretraga
Disambig.svg
Ukoliko ste tražili prenosioce bolesti, pogledajte članak Vektor (infekcije).
Disambig.svg
Ukoliko ste tražili formalno matematički gledano, ispravan način za definisanje vektora, pogledajte članak Vektorski prostor.

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primeri vezani za geometriju u prostoru gde se vektor određuje pravcem, smerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, impuls, moment impulsa... Skalarne su masa, temperatura, zapremina...

Fizičke veličine čija vektorska vrednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3×3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorske veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks prelamanja itd ...

Definicija[uredi]

Vektor može biti definisan uređenim parom tačaka. Recimo da su to A i B iz Rn. Tada je:

\overrightarrow{AB} = \left (B_1 - A_1, B_2 - A_2, \dots, B_n - A_n \right ), a
\overrightarrow{BA} = \left (A_1 - B_1, A_2 - B_2, \dots, A_n - B_n \right )

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smer i intenzitetom:

\overrightarrow{AB} = A + ||AB|| \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||}

Ako ovde ||AB|| zamenimo sa λ koje može biti bilo koji broj iz R definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku A a za vektor pravca ima vektor AB. Ukoliko je λ samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački A.

Ukoliko je λ neki broj različit od ||AB||, rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB' ovo znači da važi:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{0}

Nula-vektor[uredi]

Nula-vektor a0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obeležava se kao nula sa naznakom za vektor.

\overrightarrow{a_0} = \overrightarrow{0}, \;|\overrightarrow{a_0}| = 0

Jedinični vektor[uredi]

Jedinični vektor (ort) je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor a se može odrediti odgovarajući jedinični vektor v istog pravca i smera.

\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}, \; \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

Operacije nad vektorima[uredi]

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primer:

a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n), \; a_i \in K, i = 1, ... ,n

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva Kn, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vektora. Na primer a1 je prva koordinata vektora, a2 je druga koordinata vektora itd.

Slede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora[uredi]

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni koren zbira kvadrata njegovih koordinata.

\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
|a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}

Množenje vektora skalarom[uredi]

Množenje vektora \overrightarrow{a} \in K^n nekim skalarom \alpha \in K je definisano kao množenje svake koordinate tok vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

\alpha \cdot \overrightarrow{a} = \alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n) = :(\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).

Sabiranje vektora[uredi]

Sabiranje vektora
Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora a, b \in K^n\,:

\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)
\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)

Njihovo sabiranje se definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},
c_i = a_i + b_i\,, gde je i=1,...,n\,

Pri čemu će vektor c biti iz prostora K^n\,. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

Pri čemu -\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n).

Skalarno množenje vektora[uredi]

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz Kn u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz Kn bi proizvod k izgledao ovako:

\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K
k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} , k \in K
k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}, gde je i=1, \, \ldots \, ,n

Ovde treba primetiti da je skalarni proizvod vektora takođe jednak

k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot \cos \omega ,

pri čemu je ω ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod[uredi]

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (E3) je vektorski proizvod. Definiše se na sledeći način:

\times : (E^3,E^3) \rightarrow E^3\,

\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in E^3
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =
\overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)= \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Jer su \overrightarrow{i}=(1,0,0), \overrightarrow{j}=(0,1,0) i :\overrightarrow{k}=(0,0,1) vektori kanonske baze E3.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti sledeće osobine:

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \omega, gde je :\omega ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =  - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}), tj. vektorski proizvod nije komutativan.
(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}), gde je \alpha \in E. Tj. vektorski proizvod se lepo ponaša prema množenju skalarom sleva.

Mešoviti proizvod[uredi]

Mešoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E3 preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa

[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]

A po definiciji je:

[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix},  :\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \in E^3

Što znači da je vrednost mešovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda konstruisanog nad njima. Slede neka osnovna svojstva mešovitog proizvoda:

  • [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = [\vec{b},\vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]
  • [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = -[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}] = -[\vec{c}, \vec{b}, \vec{a}]
  • [\alpha \vec{a}, \vec{b}, \vec{z}] = \alpha [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]
  • [\vec{a_1}+\vec{a_2},\vec{b},\vec{c}] = [\vec{a_1}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a_2},\vec{b},\vec{c}]

Vidi još[uredi]

Literatura[uredi]

  • Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje škole. Zavod za udžbenike. Beograd. 2008.

Spoljašnje veze[uredi]

Vikiostava
Vikimedijina ostava ima još multimedijalnih datoteka vezanih za: Vektor