Gausov zakon

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu

U fizici, Gausov zakon, poznat i kao Gausova teorema o fluksu, je zakon koji se odnosi na raspodelu naelektrisanja do postignuća električnog polja.

Zakon je formulisao Karl Fridrih Gaus u 1835, ali nije objavljen do 1867.[1] Gausov zakon je je jedna od četiri Maksvelove jednačine koji čine osnovu klasične elektrodinamike, ostala tri su Gausov zakon magnetizma, Faradejev zakon indukcije i Amperov zakon sa korekcijom Maksvelove. Gausov zakon se može koristiti za izvođenje Kulonovog zakona,[2] i obrnuto.

Kvalitativni opis zakona[uredi]

Rečima, Gausov zakon navodi da:

Mrežni izvor normalnog električnog fluksa putem bilo koje zatvorene površine je proporcionalan ukupnom naelektrisanju. [3]

Gausov zakon ima bliske matematičke sličnosti sa nekoliko zakona u drugim oblastima fizike, kao što su Gausov zakon magnetizma i Gausov zakon gravitacije. U stvari, bilo koji "inverzno-kvadratni zakon" može da se formuliše na način sličan Gausovom zakonu: Na primer, sam Gausov zakon je u suštini jednaka inverznom-kvadratu Kulonovog zakona, i Gausov zakon gravitacije je u suštini jednaka inverznom-kvadratu Njutnovog zakona gravitacije.

Gausov zakon je nešto kao električna analogija Amperovog zakona, koja se bavi magnetizmom.


Zakon se može izraziti matematički korišćenjem vektorskih formula u Integral formama i diferencijalne forme, oba su ekvivalentni, jer su one vezane u divergenciji teorema, taođe nazivan Gausova teorema. Svaki od ovih oblika zauzvrat može se izraziti na dva načina: u pitanju odnos između električnog polja E, i ukupanog naelektrisanja, ili u smislu električno varijabilno polje D i slobodanog naelektrisanje.[4]

Jednačine koje uključuju E polje[uredi]

Gausov zakon se može konstatovati pomoću ili električnog polja E ili električnog varijabilnog polja D. Ovaj deo pokazuje neke od oblika sa E, oblik sa D ispod, kao i drugi oblici sa E.

Integralni oblik[uredi]

Gausov zakon se može izraziti kao: :[4]

\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}

gde je Φ E je električni fluks kroz zatvorenu površinu S zagrađujući bilo koji zvuk V, Q je ukupn naelektrisanje zatvorena u S, i ε0 je električna konstanta. Električni fluks ΦE se definiše kao integralna površina od električnog polja:

{{preintegral=\Phi_E = |intsubscpt={\scriptstyle S}|integrand=\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} }}

gde je E električno polje, dA je vektor koji predstavlja beskonačni element područja, [5] i predstavlja tačku proizvoda dva vektora.

Pošto je fluks definisan kao integral električnog polja, ovaj izraz Gausovog zakona se zove integralnim oblikom.

Primena integralnog oblika[uredi]

Ako je električno polje poznato svuda, Gausov zakon ga čini prilično lakim, teoretski, da pronađe raspodelu naelektrisanja: punjenje u svakom regionu se može zaključiti integrisanjem električno polje za nalaženje fluksa.

Međutim, mnogo češće, to je obrnuti problem koji treba rešiti: poznato je raspodela naelektrisanja, dok električno polje treba izračunati. To je mnogo teže, jer ako znate ukupan fluks kroz datu površinu, koja daje skoro nikakve informacije o električnom polju, koja (koliko znate) može da ulazi i izlazi na površinu u proizvoljno komplikovanom obrazacu.

Izuzetak je ako ima neke simetrije u situaciji, koji propisuje da električno polje prolazi kroz površinu na jedinstven način. Zatim, ako je ukupan fluks poznat, samo polje se može izvesti u svakom trenutku. Uobičajeni primeri simetrije koji su pogodni za Gausov zakon obuhvata cilindričnu simetriju, planarnu simetriju, i sfernu simetriju. Pogledajte članak Gausova površina za primere gde se ove simetrije koriste da se izračuna električno polje.

Diferencijalna forma[uredi]

Do divergentnoj teoremi Gausov zakon može alternativno biti napisan u diferencijalnoj formi:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

gde ∇ • E je divergencija električnog polja, ε0 je električna konstanta, i ρ je ukupana gustina električnog naelektrisanja.

Jednakost integralnog i diferencijalog oblika[uredi]

Integralni i diferencijali oblici su matematički ekvivalentni, u teoremi divergencije. Evo i konkretnijeg arguenta.

Integralni oblik Gausovog zakona je:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

za bilo koje zatvorene površine S koja sadrži naelektrisanje Q. po divergentnoj teoremi, ova jednačina je jednaka ovoj:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \frac{Q}{\varepsilon_0}

za bilo koji jačinu V koji sadrži naelektrisanje Q. Od odnosa između naelektrisanja i gustine naelektrisanja, ova jednačina je jednaka ovoj:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \iiint\limits_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ \mathrm{d}V

za bilo koji jačinu V. Da bi ova jednačine bila 'istovremeno važeća' u svakoj mogućoj jačini V, potrebno je (a i dovoljna) da integracija budu jednaki svuda. Dakle, ova jednačina je jednaka ovom:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

Tako su integralni i diferencijalni oblici ekvivalentni.


Jednačina koja uključuje D polja[uredi]

Besplatano, vezano i ukupno naelektrisanje[uredi]

Naelektrisanje koje se postavlja u najjednostavnijim situacijama moglo bi se klasifikovati kao „besplatno“, na primer, naboj koji se prenosi u statički elektricitet, ili je naelektrisanje na kondenzatorskoj ploči. Nasuprot tome, „granično naelektrisanje“ se javlja samo u kontekstu dielektričnih materijala. (Svi materijali su polarizovani donekle.) Kada su ti materijali smešteni u spoljašnjem električnom polju, elektroni i dalje ostaju vezani za svoj atom, ali pomere mikroskopsko rastojanje u odgovoru na teren, tako da su oni više na jednoj strani atoma. Sva ova mikroskopska pomeranja u gore datoj makroskopskoj mrežoj raspodeli naelektrisanja, a to predstavlja „vezano naelektrisanje“.

Iako mikroskopske, sve naelektrisanja su u osnovi ista, često postoje praktični razlozi koji žele da se vezano naelektrisanje tretira drugačije od besplatnog naelektrisanja. Rezultat je da je više „osnovni“ Gausov zakon, u smislu E (gore), se ponekad stavlja u formu ekvivalentna ispod, što je samo u odnosu na D i besplatnog naelektrisanja.

Integralni oblik[uredi]

Ova formulacija Gausovog zakona navodi analogno ukupnom obliku naelektrisanja:

\Phi_D = Q_\text{free}\!

gde je ΦD D-polja fluks kroz površinu S koji obuhvata zapreminu V, i Qfree je besplatno naelektrisanje koje se sadrži u V. Fluks ΦD analogno se definiše na fluks ΦE električnog polja E kroz S:

{{preintegral=\Phi_{D} = |intsubscpt={\scriptstyle S}|integrand=\mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} }}

Diferencijalni oblik[uredi]

Diferencijalni oblik Gausovog zakona, uključući sao besplatno naelektrisanje, daje:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_\text{free}

gde ∇ • D je divergencija električnog polja pomeranja, a ρfree je gustina besplatanog naelektrisanja.

Jednakost ukupnog i besplatnog iskaza naelektrisanja[uredi]

Dokaz da formulisanje Gausovog zakona u okviru slobodnog naelektrisanja ju ekvivalentne formulisanje koje obuhvata ukupno naelektrisanje.

U ovoj dokaza, mi ćemo pokazati da jednačina

\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0

je ekvivalentna jednačini

\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

Imajte na umu da se samo bavimo diferencijalnim oblikom, ne integralnim oblikom, ali to je dovoljno, jer diferencijalni i integralni oblici su jednaki u svakom slučaju, po divergencijskoj teoremi.

Uvodimo gustinu polarizacije P, koja ima sledeći odnos prema E i D:

\mathbf{D}=\epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}

i sledeći odnos na vezano naelektrisanje:

\rho_{\mathrm{bound}} = -\nabla\cdot \mathbf{P}

Sada, ijamte u vidu tri jednačine:

\rho_{\mathrm{bound}} = \nabla\cdot (-\mathbf{P})
\rho_{\mathrm{free}} = \nabla\cdot \mathbf{D}
\rho = \nabla \cdot(\epsilon_0\mathbf{E})

Ključni uvid je da je zbir prve dve jednačine treća jednačina. Ovim se završava dokaz: Prva jednačina je istina po definiciji, i stoga druga jednačina važi ako i samo ako je treća jednačina istinita. Dakle, druga i treća jednačina su ekvivalentne, što je ono što smo želeli da dokažemo.

Jednačina za linearne materijale[uredi]

U homogenim, izotropnim, Disperzivnim, linearnim materijalima, postoji jednostavan odnos između E i D:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}

gde je ε dielektrična konstanta materijala. U slučaj vakuuma (tj slobodanog prostora), ε = ε0. Pod ovim okolnostima, Gausov zakon se menja u

\Phi_E = \frac{Q_\text{free}}{\epsilon}

u integralnom obliku, i

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_\text{free}}{\varepsilon}

u diferencijalnom obliku.

Odnos prema Kulonovom zakonu[uredi]

Podsticanje Gausovog zakon iz Kulonovog zakona[uredi]

Gausov zakon se može izvesti iz Kulonovog zakona.

Kulonov zakon navodi da je električno polje zbog stacionarne tačka naelektrisanja:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{e_r}}{r^2}

gde je

er je radijalna vektorska jedinica,
r je radijus, |r|,
\epsilon_0 je električna konstanta,
q je naelektrisanje čestice, za koji se pretpostavlja da se nalazi u koordinatnom početku.

Koristeći izraz iz Kulonovog zakona, dobijamo ukupnu polje u r koristeci integral za sabiranje polja u r zbog premalog naelektrisanja na svakom drugom mestu s u prostoru, da daje:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} \,  d^3 \mathbf{s}

gde je \rho gustina naelektrisanja. Ako uzmemo divergentnost obe strane ove jednačine u odnosu na r, i iskoriste poznatu teoremu [6]

\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{r})

gde je δ(r) Dirakova delta funkcija, rezultat je

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\, d^3 \mathbf{s}

Korišćenje "tranzlacionog pomeranja"iz Dirakove delta funkcije, stižemo u

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0},

što je diferencijalni oblik Gausovg zakon, kao sto je i trženo.

Podsticanje Kulonovog zakon od Gausovg zakona[uredi]

Strogo govoreći, Kulonov zakon se ne može izvesti sama iz Gausovg zakona, jer Gausov zakon ne daje nikakve informacije u vezi sa Rotorovim (matematika) E (vidi Helmholcovo raspadanje i Faradejev zakon). Međutim, Kulonov zakon može da se dokaže Gausovim zakonom ako se pretpostavi, kao dodatak, da je električno polje od tačke naelektrisanja sferno-simetrično (ova pretpostavka, kao i sam Kulonov zakona, je potpuno istinit ako je naelektrisanje stacionarno, a približno tačno ako je naelektrisanje u pokretu).

Uzimajući S u integralnom obliku Gausovog zakona da bude sferična površina poluprečnika r, centriran u tački naelektrisanja Q, imamo

\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Po pretpostavci sferne simetrije, integrand je konstanta koja se može izneti iz integrala. Rezultat je

4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Gde je \hat{\mathbf{r}} jedinični vektor koji ukazuje radijalno od naelektrisanja. Opet po sfernoj simetriji, E tačke u radijalnom pravcu, i tako dobijamo

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

što je u suštini jednaka Kulonovom zakonu. Prema inverznao-kvadratnim zakonom zavisnost električnog polja u Kulonovom zakonu sledi iz Gausovog zakona.

Vidi još[uredi]

Reference[uredi]

  1. ^ Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
  2. ^ Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc. стр. 452-53. 
  3. ^ Serway, Raymond A. (1996). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 4th edition. стр. 687. 
  4. ^ a b I.S. Grant, W.R. Phillips (2008). Electromagnetism (2nd ed.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. 
  5. ^ Matthews, Paul (1998). Vector Calculus. Springer. ISBN 978-3-540-76180-8. 
  6. ^ See, for example, Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. стр. 50. ISBN 978-0-13-805326-0. 

Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics, 3rd ed., New York: Wiley. ISBN 978-0-471-30932-1.

Spoljašnje veze[uredi]