Georg Kantor

Georg Kantor
Georg Kantor
Lični podaci
Datum rođenja	(1845-03-03)3. mart 1845.
Mesto rođenja	Petrograd, Rusija
Datum smrti	6. januar 1918.(1918-01-06) (72 god.)
Mesto smrti	Hale, Nemačka
Obrazovanje	ETH Cirih
Naučni rad
Polje	matematika
Institucija	Univerzitet u Haleu
Mentori	Ernst Kumer Karl Vajerštras
Poznat po	teorija skupova
Nagrade	Silvester medalja

Georg Kantor (nem. Georg Cantor; Petrograd, 3. mart 1845 — Hale, 6. januar 1918) bio je nemački matematičar i utemeljivač teorije skupova. Igrao je ključnu ulogu u stvaranju teorije skupova, koja je postala fundamentalna teorija u matematici. Kantor je utvrdio važnost korespondencije jedan prema jedan između članova dva skupa, definisao beskonačne i dobro uređene skupove i dokazao da su realni brojevi brojniji od prirodnih brojeva. U stvari, Kantorov metod dokazivanja ove teoreme implicira postojanje beskonačnosti beskonačnosti. Definisao je kardinalni i redni broj i njihovu aritmetiku. Kantorovo delo je od velikog filozofskog interesovanja, činjenice koje je on bio dobro svestan.

Prvi je numeričke sisteme, poput racionalnih i stvarnih brojeva, istraživao sistematično, kao zaokružene entitete ili skupove. To pregnuće dovelo ga je do iznenaćujućeg otkrića da nisu svi beskrajni skupovi iste veličine. Dokaz za ovo je Kantorov dijagonalni postupak.

Pokazao je da racionalnih brojeva ima isto koliko i prirodnih brojeva, to jest da ova dva skupa ($\mathbb {Q}$ i $\mathbb {N}$) imaju istu kardinalnost (dokaz da racionalnih brojeva ima prebrojivo mnogo je Kantorovo prebrojavanje skupa Q). Dokazao je, takođe, da takve podudarnosti nema kod znatno većeg skupa iracionalnih brojeva, te su otuda oni poznati kao skup koji se ne može prebrojati.

Istraživanja je krunisao klasifikacijom transfinitnih brojeva koji, laički govoreći, predstavljaju stepene beskonačnosti, i označavaju se simbolima $\aleph _{0}$, $\aleph _{1}$, ... (alef nula, alef jedan, ...).

Oštre kritike su praćene kasnijim pohvalama. Godine 1904. Kreljevsko društvo ga je nagradilo Silvester medaljom, što je najviša čast koja se može dodeliti za matematički rad. Pretpostavlja se da je Kantor verovao da ga je njegova teorija o transfinitnim brojevima povezivala sa Bogom. Dejvid Hilbert ga je branio od kritika poznatom izjavom "Niko nas ne može proterati iz raja koji je Kantor stvorio".

Biografija

Mladost i studije

Georg Kantor 1870.

Kantor je rođen u zapadnom trgovačkom naselju u Petrogradu u Rusiji i odrastao je u tom gradu do svoje jedanaeste godine. Bio je najstariji od šestoro dece i bio je smatran za izvanrednog violinistu. Njegov deda Franc Bem (1788—1846) je bio poznati muzičar i solista u carskom orkestru u Ruskom carstvu. Kantorov otac je bio član Petrogradske berze, a kad se on razboleo, porodica se preselila u Nemačku 1856. godine, prvo u Visbaden a zatim u Frankfurt. Godine 1860. Kantor je završio školu u Darmštatu, gde su primećene njegove izuzetne matematičke veštine, a naručito trigonometrijske. U 1862. Kantor se upisao na Univerzitet u Cirihu, a nakon dobijanja značajnog nasledstva nakon smrti oca 1863. god, Kantor je studije nastavio na Berlinskom Univerzitetu pohađajući predavanja Leopolda Kronekera, Karla Vajerštrasa i Ernesta Kumera. Leto 1866. je proveo na Univerzitetu u Getingenu, centru matematičkog istraživanja.

Učitelj i istaživač

Završio je svoju disertaciju na temu teorija brojeva 1867. na Univerzitetu u Berlinu. Nakon što je kratko predavao u Berlinu u ženskoj školi, preuzeo je poziciju na Univerzitetu u Haleu gde je i proveo celu karijeru. Dobio je priznanje za svoju tezu na temu teorije brojeva koja je prezentovana 1869. na njegovom imenovanju u Haleu. Venčao se sa Veli Gutman 1874. i imali su šestoro dece. Bio je u mogućnosti da izdržava porodicu uprkos skromnoj akademskoj plati, zahvaljujući nasledstvu koje je nasledio od oca. Unapređen je u vanrednog profesora 1972. a u redovnog profesora 1879. godine. Biti redovni profesor u 34. godini je ogroman uspeh, ali Kantor nije bio zadovoljan. On je želeo mesto na prestižnijem univerzitetu kao što je Univerzitet u Berlinu, tada vodeći univerzitet u Nemačkoj. Međutim, njegov rad je naišao na previše protivljenja pa tako nešto nije bilo moguće.

Kasnije godine

Nakon hospitalizacije 1884. ne postoji zapis da je ponovo bio u nekom sanatorijumu do 1899. Ubrzo nakon te druge hospitalizacije, njegov najmlađi sin Rudolf je iznenada preminuo i ta tragedija je iscrpela Kantorovu strast za matematikom. Ponovo je hospitalizovan 1903. a godinu dana posle toga on je bio ogorčen i uznemiren zbog članka Juliusa Kuniga predstavljenom na Trećem Internacionalnom Kongresu Matematičara. Rad je pokušao da dokaze da su osnovna načela teorije skupova bila lažna. Pošto je članak bio pročitan pred njegovim ćerkama i kolegama, Kantor je sebe smatrao javno poniženim. Iako je Ernst Zarmelo za manje od jednog dana dokazao da Kunig nije imao dokaze, Kantor je ostao uzdrman. Kantor je patio od hronične depresije do kraja svog života, zbog toga je i nekoliko navrata bio izuzet iz nastave i više puta je bio zatvaran u raznim sanatorijumima. Od jednog univerziteta u Škotskoj je 1912. dobio počasni doktorat, ali zbog bolesti nije moga lično da preuzme diplomu. Penzionisao se 1913. živeo je u siromaštvu a jedno vreme je bio i neuhranjen. Javna proslava njegovog 70. rođendana je bila otkazana zbog rata. Umro je 6. januara 1918. u sanatorijumu gde je proveo poslednju godinu svog života.

Matematički rad

Ilustracija Kantorovog dijagonalnog argumenta za postojanje nebrojivih skupova

Jedan na jedan korespondencija.

Kantorov rad između 1874. i 1884. je vreme kada je nastala teorija skupova. Pre toga, koncept je bio prilično elementaran koji se posredno koristio od početka postojanja matematike, datira još od Aristotelovih ideja. Niko nije primetio da teorija skupova ima neki netrivijalni sadržaj. Pre Kantora postojali su samo konačni skupovi koji su bili lako razumljivi i beskonačni koji su bili tema više za filozofe nego sa matematičare. Teorija skupova je imala umala ulogu u temeljima teorije moderne matematike, u smislu da ona predstavlja tvrdnje o matematičkim objektima (npr. brojeve i funkcije) iz svih tradicionalnih oblasti matematike u jednoj teoriji i pruža standardni skup aksioma da ih dokaže ili opovrgne. Osnovni pojmovi teorije skupova se sada koriste u celoj matematici. U jednom od njegovih ranijih radova Kantor je dokazao da je skup realnih brojeva brojniji od skupa prirodnih brojeva. To je po prvi put pokazalo da postoje beskonačni skupovi različitih veličina. On je takođe bio prvi koji je cenio važnost jedan na jedan korespondencije u teoriji skupova. Koristio je ovaj koncept za definisanje konačnih i beskonačnih skupova, podelivši ih u brojne i nebrojne skupove. Kantor je razvio važne koncepte u topologiji i njenom povezanošću sa kardinalnosti. On je predstavio i osnovne konstrukcije u teoriji skupova, kao što je partitativni skup skupa A koji je skup svih mogućih podskupova od A. Kasnije je dokazao da je veličina električnog skupa A stogo veća od veličine A čak i kada je A beskonačan skup, ovaj rezultat je ubrzo bio poznat kao Kantorova teorema. Kantor je razvio čitavu teoriju i aritmetiku beskonačnih skupova nazvanu kardinali i ordinali što je produžilo aritmetiku prirodnih brojeva. Njegova oznaka za kardinalne brojeve je bilo hebrejsko slovo א sa indeksom prirodnog broja, za ordinale je uveo grčko slovo ω . Ovaj zapis je i danas u upotrebi.

Vidi još

• Kantorov skup
• Kantorova teorema

Literatura

• Joseph Dauben (1977), „Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite”, Journal of the History of Ideas, 38: 85—108 
• Dauben, Joseph W. (1977). „Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite”. Journal of the History of Ideas. 38 (1): 85—108. JSTOR 2708842. doi:10.2307/2708842. .
• Dauben, Joseph W. (1979). [Unavailable on archive.org] Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 978-0-691-02447-9. .
• Dauben, Joseph (2004) [1993]. Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory (PDF). Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, Calif.). str. 1—22. Arhivirano (PDF) iz originala 2018-01-23. g.  Internet version published in Journal of the ACMS 2004. Note, though, that Cantor's Latin quotation described in this article as a familiar passage from the Bible is actually from the works of Seneca and has no implication of divine revelation.
• Ewald, William B., ur. (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853271-2. .
• Grattan-Guinness, Ivor (1971). „Towards a Biography of Georg Cantor”. Annals of Science. 27 (4): 345—391. doi:10.1080/00033797100203837. .
• Grattan-Guinness, Ivor (2000). The Search for Mathematical Roots: 1870–1940. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05858-0. .
• Hallett, Michael (1986). Cantorian Set Theory and Limitation of Size. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853283-5. .
• Moore, Gregory H. (1982). Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence. Springer. ISBN 978-1-4613-9480-8. .
• Moore, Gregory H. (1988). „The Roots of Russell's Paradox”. Russell: The Journal of Bertrand Russell Studies. 8: 46—56. doi:10.15173/russell.v8i1.1732 . .
• Moore, Gregory H.; Garciadiego, Alejandro (1981). „Burali-Forti's Paradox: A Reappraisal of Its Origins”. Historia Mathematica. 8 (3): 319—350. doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7 . .
• Purkert, Walter (1989). „Cantor's Views on the Foundations of Mathematics”. Ur.: Rowe, David E.; McCleary, John. The History of Modern Mathematics, Volume 1. Academic Press. str. 49–65. ISBN 978-0-12-599662-4. .
• Purkert, Walter; Ilgauds, Hans Joachim (1985). Georg Cantor: 1845–1918. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-1770-7. .
• Suppes, Patrick (1972) [1960]. Axiomatic Set Theory. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61630-8. . Although the presentation is axiomatic rather than naive, Suppes proves and discusses many of Cantor's results, which demonstrates Cantor's continued importance for the edifice of foundational mathematics.
• Zermelo, Ernst (1908). „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I”. Mathematische Annalen. 65 (2): 261—281. S2CID 120085563. doi:10.1007/bf01449999. .
• Zermelo, Ernst (1930). „Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre” (PDF). Fundamenta Mathematicae. 16: 29—47. doi:10.4064/fm-16-1-29-47 . Arhivirano (PDF) iz originala 2004-06-28. g. .
• van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-32449-7. .
• Cantor, Georg (1955) [1915]. Philip Jourdain, ur. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1. .
• Cantor, Georg (1874). „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (PDF). Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1874 (77): 258—262. S2CID 199545885. doi:10.1515/crll.1874.77.258. Arhivirano (PDF) iz originala 2017-10-07. g. 
• Cantor, Georg (1878). „Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1878 (84): 242—258. doi:10.1515/crll.1878.84.242. .
• Georg Cantor (1879). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (1)”. Mathematische Annalen. 15 (1): 1—7. S2CID 179177510. doi:10.1007/bf01444101. 
• Georg Cantor (1880). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (2)”. Mathematische Annalen. 17 (3): 355—358. S2CID 179177438. doi:10.1007/bf01446232. 
• Georg Cantor (1882). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3)”. Mathematische Annalen. 20 (1): 113—121. S2CID 177809016. doi:10.1007/bf01443330. 
• Georg Cantor (1883). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (4)”. Mathematische Annalen. 21 (1): 51—58. S2CID 179177480. doi:10.1007/bf01442612. 
• Georg Cantor (1883). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)”. Mathematische Annalen. 21 (4): 545—591. S2CID 121930608. doi:10.1007/bf01446819.  Published separately as: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
• Georg Cantor (1891). „Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre” (PDF). Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75—78. Arhivirano (PDF) iz originala 2018-01-01. g. 
• Cantor, Georg (1895). „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)” (PDF). Mathematische Annalen. 46 (4): 481—512. S2CID 177801164. doi:10.1007/bf02124929. Arhivirano iz originala (PDF) 23. 4. 2014. g. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Cantor, Georg (1897). „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)”. Mathematische Annalen. 49 (2): 207—246. S2CID 121665994. doi:10.1007/bf01444205. 
• Cantor, Georg (1932). Ernst Zermelo, ur. „Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts”. Berlin: Springer. Arhivirano iz originala 3. 2. 2014. g. CS1 održavanje: Format datuma (veza). Almost everything that Cantor wrote. Includes excerpts of his correspondence with Dedekind (p. 443–451) and Fraenkel's Cantor biography (p. 452–483) in the appendix.
• Aczel, Amir D. (2000). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity. New York: Four Walls Eight Windows Publishing. ISBN 0-7607-7778-0. . A popular treatment of infinity, in which Cantor is frequently mentioned.
• Dauben, Joseph W. (jun 1983). „Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory”. Scientific American. 248 (6): 122—131. Bibcode:1983SciAm.248f.122D. doi:10.1038/scientificamerican0683-122. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Ferreirós, José (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 3-7643-8349-6.  Contains a detailed treatment of both Cantor's and Dedekind's contributions to set theory.
• Halmos, Paul (1998) [1960]. Naive Set Theory. New York & Berlin: Springer. ISBN 3-540-90092-6. 
• Hilbert, David (1926). „Über das Unendliche”. Mathematische Annalen. 95: 161—190. S2CID 121888793. doi:10.1007/BF01206605. 
• Hill, C. O.; Rosado Haddock, G. E. (2000). Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics. Chicago: Open Court. ISBN 0-8126-9538-0.  Three chapters and 18 index entries on Cantor.
• Meschkowski, Herbert (1983). Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, Life, Work and Influence, in German). Vieweg, Braunschweig. 
• Newstead, Anne (2009). "Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind"[1], American Catholic Philosophical Quarterly, 83 (4): 532–553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444. With acknowledgement of Dauben's pioneering historical work, this article further discusses Cantor's relation to the philosophy of Spinoza and Leibniz in depth, and his engagement in the Pantheismusstreit. Brief mention is made of Cantor's learning from F.A.Trendelenburg.
• Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. Alfred A. Knopf. ISBN 0-679-77631-1.  Chapter 16 illustrates how Cantorian thinking intrigues a leading contemporary theoretical physicist.
• Rucker, Rudy (2005) [1982]. Infinity and the Mind. Princeton University Press. ISBN 0-553-25531-2.  Deals with similar topics to Aczel, but in more depth.
• Rodych, Victor (2007). „Wittgenstein's Philosophy of Mathematics”. Ur.: Edward N. Zalta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. .
• Leonida Lazzari, L'infinito di Cantor. Editrice Pitagora, Bologna, 2008.
• "Cantor infinities", analysis of Cantor's 1874 article, BibNum (for English version, click 'à télécharger'). There is an error in this analysis. It states Cantor's Theorem 1 correctly: Algebraic numbers can be counted. However, it states his Theorem 2 incorrectly: Real numbers cannot be counted. It then says: "Cantor notes that, taken together, Theorems 1 and 2 allow for the redemonstration of the existence of non-algebraic real numbers …" This existence demonstration is non-constructive. Theorem 2 stated correctly is: Given a sequence of real numbers, one can determine a real number that is not in the sequence. Taken together, Theorem 1 and this Theorem 2 produce a non-algebraic number. Cantor also used Theorem 2 to prove that the real numbers cannot be counted. See Cantor's first set theory article or Georg Cantor and Transcendental Numbers.

Spoljašnje veze

• Georg Kantor na sajtu Internet Archive (jezik: engleski)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Georg Kantor”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „A history of set theory”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.  Mainly devoted to Cantor's accomplishment.
• Georg Cantor, britannica.com
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Set theory by Thomas Jech. The Early Development of Set Theory by José Ferreirós.