Dualni prostor

Dualni prostor (V*) vektorskog prostora V je prostor linearnih funkcionala na V u oznaci $V^{*}={\hat {L}}(V,\mathbb {F} )$. Drugim rečima, dualni prostor je lineal svih linearnih funkcionala, tj. lineal operatora koji vektore iz V preslikava u skalare iz polja F.

Dualni prostor se preko pojma polilinearnih funkcionala može iskoristi za uvođenje i definiciju tenzora.

Osobine dualnih prostora

Dualni prostor kao vektorski prostor je definisan sa dve operacije, sabiranjem i skalarnim množenjem.

${\begin{aligned}&(\varphi +\psi )(x)=\varphi (x)+\psi (x)\\&(a\varphi )(x)=a\left(\varphi (x)\right)\end{aligned}}$

Dimenzije prostora V i V* su jednake, a oba prostora su i prostori nad istim poljem. Kako su svi konačnodimenzionalni vektorski prostori iste dimenzije nad istim poljem međusobno izomorfni, važi i $V\cong V^{*}$. Međutim, ne postoji neki unapred određeni prirodni izomorfizam između ta dva prostora. Veza između vektorskih prostora V i V* je dualizam, definisan Riž-Frišeovim teoremom. Dualizam između V i V* je antizomorfizam (antilinearna bijekcija) kada je F polje kompleksnih brojeva, a izomorfizam kada je dato polje realnih brojeva.

Dualni prostor V** dualnog prostora V* je prostor V. Uopštavanjm lanca dualnih prostora, parni stepeni dualnih prostora u lancu se mogu identifikovati sa V, a neparni sa V*. Posledica ove osobine dualnih prostora je da vektorski prostori V i V* formiraju sva linearna preslikavanja u polje F tenzorskih prostora.

Dualni prostor je moguće razmatrati i nezavisno od prostora V tako da se ne uzima u obzir činjenica da su njegovi vektori funkcionali prostora V. Potrebno je izabrati bazis u prostoru V* i svakom vektoru pridružiti kolonu po opštem postupku reprezentovanja n-dimenzionalnog vektora kolonom $\mathbb {F} ^{n}$.

Vidi još

• tenzor
• linearni funkcional