Euklidova geometrija

Detalj iz Rafaelove Atinske škole sa grčkim matematičarem – koji možda predstavlja Euklida ili Arhimeda – koristeći šestar za crtanje geometrijske konstrukcije.

Euklidova geometrija je geometrija izgrađena na aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovom aksiomu („petom postulatu“) o paralelnim pravama: kroz tačku A koja ne leži na pravoj a, u ravni koja je određena tačkom A i pravom a, može se povući samo jedna prava koja ne seče pravu a. Iako su mnogi Euklidovi rezultati već ranije bili navedeni, Euklid je bio prvi koji je organizovao ove tvrdnje u logički sistem u kome se svaki rezultat dokazuje iz aksioma i prethodno dokazanih teorema.

Euklidovu geometriju često nazivaju elementarna geometrija. Geometriju koja se izučava u srednjoj školi takođe nazivaju Euklidova geometrija i to je u vezi s činjenicom da je njenu prvu sistematsku izgradnju izložio starogrčki geometar Euklid u 3. veku p. n. e. u svojoj knjizi Elementi (v. Euklidovi Elementi). Elementi počinju geometrijom ravni, koja se još uvek uči u srednjoj školi kao prvi aksiomatski sistem i prvi primeri matematičkih dokaza. Zatim se prelazi na čvrstu geometriju tri dimenzije. Veliki deo Elementa navodi rezultate onoga što se danas naziva algebra i teorija brojeva, objašnjene geometrijskim jezikom.

Prva geometrija različita od Euklidove geometrije bila je geometrija Lobačevskog, koju je izgradio veliki ruski matematičar Lobačevski. Više od dve hiljade godina, pridev „euklidski“ je bio nepotreban, jer su Euklidovi aksiomi izgledali toliko intuitivno očigledni (sa mogućim izuzetkom paralelnog postulata) da su se teoreme dokazane iz njih smatrale apsolutno tačnim, i stoga nijedna druga vrsta geometrije nije bila moguća. Danas su, međutim, poznate mnoge druge samodosledne neeuklidske geometrije, od kojih su prve otkrivene početkom 19. veka. Implikacija opšte teorije relativnosti Alberta Ajnštajna je da sam fizički prostor nije euklidski, a euklidski prostor je dobra aproksimacija za njega samo na malim udaljenostima (u odnosu na jačinu gravitacionog polja).

Površina sfere

Površina sfere je drugačija reprezentacija neeuklidske geometrije. Ako najveće krugove sfere smatramo pravama njihova geometrija će zadovoljavati sve aksiome kako Euklidove, tako i geometrije Lobačevskog osim aksiome paralelnosti. Veliki krugovi sfere se uvek seku.

Eliptički aksiom

Eliptički aksiom: Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj ne prolaze nijedna prava koja s datom pravom leži u istoj ravni i ne seče ovu pravu.

• Posledica 1: Tri tačke koje leže na pravama, velikim krugovima sfere, formiraju trougao čiji je zbir uglova veći od 180°.
• Posledica 2: Povećanjem trougla raste njegov zbir unutrašnjih uglova.
• Posledica 3: Odnos obima i prečnika kruga manji je od π.

Geometrije bez aksiome paralelnosti naziva se Rimanova geometrija, ili Apsolutna geometrija.

Logička osnova

Klasična logika

Euklid je često koristio metod dokazivanja protivrečnošću, te stoga tradicionalno predstavljanje Euklidove geometrije pretpostavlja klasičnu logiku, u kojoj je svaki iskaz bilo tačan ili netačan, tj. za bilo koji predlog P, predlog „P ili ne P” automatski je tačno.

Savremeni standardi rigoroznosti

Postavljanje euklidske geometrije na čvrstu aksiomatsku osnovu bila je preokupacija matematičara vekovima. Ulogu primitivnih pojmova, ili nedefinisanih koncepata, jasno je izneo Alesandro Padoa iz Peanove delegacije na konferenciji u Parizu 1900. godine:

... kad počnemo da formulišemo teoriju, možemo da zamislimo da su nedefinisani simboli potpuno lišeni značenja i da su nedokazani predlozi jednostavno uslovi nametnuti nedefinisanim simbolima.

Tada je sistem ideja koji smo u početku izabrali jednostavno jedno tumačenje nedefinisanih simbola; ali..ovo tumačenje čitatelj može zanemariti i slobodno ga u svom umu zameniti drugim tumačenjem .. koje zadovoljava uslove ...

Logična pitanja tako postaju potpuno nezavisna od empirijskih ili psiholoških pitanja ...

Tada se sistem nedefinisanih simbola može smatrati apstrakcijom dobijenom iz specijalizovanih teorija koje nastaju kada ... sistem nedefinisanih simbola sukcesivno zamenjuje svaka od interpretacija ...

— Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

Odnosno, matematika je znanje nezavisno od konteksta u hijerarhijskom okviru. Kao što je rekao Bertrand Rasel:

Ako se naša hipoteza odnosi na bilo šta, a ne na neku jednu ili više određenih stvari, onda naša zaključivanja čine matematiku. Dakle, matematika se može definisati kao predmet u kojem nikada ne znamo o čemu govorimo, niti da li je istina ono što govorimo.

— Bertrand Russell, Mathematics and the metaphysicians

Takvi se temeljni pristupi kreću između fundamentalizma i formalizma.

Vidi još

• Neeuklidska geometrija

Literatura

• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] izd.). New York: Dover Publications. str. 50-62. ISBN 978-0-486-20630-1. 
• Nagel, E. & Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press. 
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] izd.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman. 
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. 
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press. 
• Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics. Saunders. str. 141. ISBN 978-0-03-029558-4. 
• Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. str. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0. 
• Turner, Martin J.; Blackledge, Jonathan M.; Andrews, Patrick R. (1998). Fractal Geometry in Digital Imaging. Academic Press. str. 1. ISBN 978-0-12-703970-1. 
• Boyer, C. B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach izd.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Kappraff, Jay (2014). A Participatory Approach to Modern Geometry. World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4556-70-5. .
• Leonard Mlodinow, Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.
• Staal, Frits (1999), „Greek and Vedic Geometry”, Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105—127, doi:10.1023/A:1004364417713 
• Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development. Chicago: Open Court. 
• {{cite book|author-link1=Marvin Greenberg|last1=Greenberg|first1=Marvin Jay|title=Euclidean and non-Euclidean geometries: development and history|url=https://archive.org/details/euclideannoneucl00gree_304%7Curl-access=limited%7Cdate=2003%7Cpublisher=Freeman%7Clocation=New York|isbn=0716724464|page=177|edition=3rd|quote=Out of nothing I have created a strange new universe. JÁNOS BOLYAI}
• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, doi:10.4171–105.
• Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
• Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt, ur. Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 
• Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
• Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
• Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697. 
• Samuels, David, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer (2005) ISBN 1-85233-934-9
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.

• Alexanderson, Gerald L.; Greenwalt, William S. (2012), „About the cover: Billingsley's Euclid in English”, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 49 (1): 163—167, doi:10.1090/S0273-0979-2011-01365-9  
• Artmann, Benno: Euclid – The Creation of Mathematics. New York, Berlin, Heidelberg: Springer (1999) ISBN 0-387-98423-2
• Ball, Walter William Rouse (1915) [1st ed. 1888]. A Short Account of the History of Mathematics (6th izd.). MacMillan. 
• Boyer, Carl B. (1991). „Euclid of Alexandria”. A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-54397-7. 
• Dodgson, Charles L.; Hagar, Amit (2009). „Introduction”. Euclid and His Modern Rivals. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-00100-7. 
• Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond (2nd izd.). New York, NY: Springer. ISBN 9780387986500. 
• Heath, Thomas L. (1956a). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 1. Books I and II (2nd izd.). New York: Dover Publications. OL 22193354M. 
• Heath, Thomas L. (1956b). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 2. Books III to IX (2nd izd.). New York: Dover Publications. OL 7650092M. 
• Heath, Thomas L. (1956c). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 3. Books X to XIII and Appendix (2nd izd.). New York: Dover Publications. OCLC 929205858. 
• Heath, Thomas L. (1963). A Manual of Greek Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43231-1. 
• Ketcham, Henry (1901). The Life of Abraham Lincoln. New York: Perkins Book Company. 
• Nasir al-Din al-Tusi (1594). Kitāb taḥrīr uṣūl li-Uqlīdus [The Recension of Euclid's "Elements"] (na jeziku: arapski). 
• Reynolds, Leighton Durham; Wilson, Nigel Guy (9. 5. 1991). Scribes and scholars: a guide to the transmission of Greek and Latin literature (2nd izd.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-872145-1. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Russell, Bertrand (2013). History of Western Philosophy: Collectors Edition. Routledge. ISBN 978-1-135-69284-1. 
• Sarma, K.V. (1997). Selin, Helaine, ur. Encyclopaedia of the history of science, technology, and medicine in non-western cultures. Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9. 
• Servít, František (1907). Eukleidovy Zaklady (Elementa) [Euclid's Elements] (PDF) (na jeziku: češki). 
• Sertöz, Ali Sinan (2019). Öklidin Elemanlari: Ciltli [Euclid's Elements] (na jeziku: turski). Tübitak. ISBN 978-605-312-329-3. 
• Toussaint, Godfried (1993). „A new look at euclid's second proposition”. The Mathematical Intelligencer. 15 (3): 12—24. ISSN 0343-6993. S2CID 26811463. doi:10.1007/BF03024252. 
• Waerden, Bartel Leendert (1975). Science awakening. Noordhoff International. ISBN 978-90-01-93102-5. 
• Wilson, Nigel Guy (2006). Encyclopedia of Ancient Greece. Routledge. 
• Euklid (1999). Elementi I-VI. Prevod: Hudoletnjak Grgić, Maja. KruZak. ISBN 953-96477-6-2. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Euclidean geometry”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound Архивирано на сајту Wayback Machine (26. октобар 2011) (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)