Zakon velikih brojeva

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Ilustracija zakona velikih brojeva na primeru bacanja kocke. Ako se broj bacanja povećava, prosečna vrednost ishoda se približava vrednosti 3,5.

Zakon velikih brojeva je fundamentalna teorema iz oblasti teorije verovatnoće i statistike.

U svome najjednostavnijem obliku ovaj zakon tvrdi da se relativna verovatnoća slučajnog događaja približava verovatnoći ovog događaja kada se slučajni eksperiment ponavlja veliki broj puta. Formalnije, radi se o konvergenciji slučajne promenljive u „jakom“ (skoro sigurna konvergencija) i „slabom“ smislu (konvergencija verovatnoće).

Primer: bacanje novčića[uredi]

Verovatnoća da bačeni novčić pokaže pismo ili glavu iznosi ½. Što se više ponavlja ovaj eksperiment, to će biti verovatnije da će broj ishoda kada „padne glava“ (relativna verovatnoća ishoda „glava“), biti blizak vrednosti ½. Sa druge strane, vrlo je verovatno da će apsolutna razlika između broja ishoda „glava“ i polovine broja bacanja novčića rasti.

Postoji i ukorenjeno pogrešno shvatanje zakona velikih brojeva. Ovaj zakon ne tvrdi da će oni ishodi koji se do sada nisu pojavljivali, od sada pojavljivati češće da bi uravnotežili raspodelu verovatnoća. To je česta greška igrača ruleta i lotoa.

Neka je niz ishoda bacanja novčića: glava, grb, glava, glava. Ishod „glava“ se pojavio tri puta, a ishod „grb“ jedanput. „Glava“ se dakle pojavljivala sa relativnim učešćem ¾, dok je ova vrednost za „grb“ ¼. Posle novih 96 bacanja novčića ishod je bio 49 „grbova“ i 51 „glava“. Apsolutna razlika glava i grbova je posle 100 bacanja ostala ista i kao posle 4, ali je relativna razlika znatno smanjena. Tako dolazimo do definicije Zakona velikih brojeva – vrednost relativnog učešća \textstyle\frac{51}{100} = 0{,}51 teži očekivanoj vrednosti 0,5.

Praktične implikacije[uredi]

  • Industrija osiguranja: Zakon velikih brojeva ima veliki praktični značaj za industriju osiguranja. On omogućava da se naprave dugoročne prognoze iznosa odštetnih zahteva. Što je veći broj osiguranih osoba i dobara, i ako se podrazumeva da su svi izloženi jednakom riziku, to je manji uticaj slučaja. Ovaj zakon, ipak, ne može da da nikakvu prognozu o tome ko će konkretno uložiti odštetni zahtev.
  • Medicina: Kada se proučava efikasnost medicinskih tretmana, pomoću ovog zakona se mogu eliministai slučajni sporedni faktori.
  • Prirodne nauke: Uticaj nesistematskih greški u merenju se smanjuje ponavljanjem merenja.
  • Informatika: Postoje informatičke tehnike kod kojih se primenjuje ovaj zakon. Primer je Cloud Computing.

Slabi zakon velikih brojeva[uredi]

Za niz slučajnih promenljivih X_1, X_2, X_3, \dots u \mathcal{L}^1 kaže se da zadovoljava slabi zakon velikih brojeva, kada za \overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}(X_i-E ({X}_i))/n i sve pozitivne brojeve \varepsilon važi:

\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n\right|>\varepsilon\right)=0.

Postoji mnoštvo situacija u kojima se može primeniti Slabi zakon velikih brojeva. Na primer, on važi za niz slučajnih promenljivih X_1, X_2, X_3, \dots koje imaju konačne varijanse \sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\dots, koje su ograničene zajedničkom gornjom granicom, i nisu međusobno korelisane: \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = 0 za i\neq j.[1]

Jaki zakon velikih brojeva[uredi]

Kaže se da niz slučajnih promenljivih X_1, X_2, X_3, \dots u \mathcal{L}^1 zadovoljava jaki zakon velikih brojeva, kada za \overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}(X_i-E ({X}_i))/n važi:

\operatorname{P}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}|\overline{X}_n|=0\right)=1.

Jaki zakon velikih brojeva implicira slabi zakon velikih brojeva. Jaki zakon velikih brojeva važi za, na primer, niz stohastički nezavisnih slučajnih promenljivih koje imaju jednaku raspodelu verovatnoće. Jedan oblik ovog zakona za nezavisne slučajne promenljive je ergodičnost.

Reference[uredi]

  1. ^ H.-O. Georgii: Stochastik, 2. Auflage, de Gruyter, 2004, S. 120 Satz (5.6) Schwaches Gesetz der großen Zahlen, \mathcal L^2-Version.

Vidi još[uredi]