Inverzne trigonometrijske funkcije

Inverzne trigonometrijske funkcije su arcsin x (arkus sinus iks), arccos x (arkus kosinus), arctg x (arkus tangens), arcctg x (arkus kotangens).^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sin x (sinus iks), cos x (kosinus), tg x (tangens), ctg x (kotangens).^[6]^[7]^[8]^[9] Prefiks arkus im dolazi od latinske reči arcus - luk, ugao. Nazivaju se i ciklometrijske funkcije. U nekim zemljama pišu ih na uobičajen, opšti način za inverzne funkcije: sin^-1x, cos^-1x, tg^-1x, ctg^-1x.^[10]^[11]

Pored ovih postoje i inverzne trigonometrijske funkcije arkus sekans (arcsec x) i arkus kosekans (arccsc x). One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sekans (sec x) i kosekans (csc x), koje se malo ređe upotrebljavaju. Njihove osobine su detaljije opisane uz pojam: Ravninska trigonometrija.

Notacija[uredi | uredi izvor]

Postoji nekoliko zapisa za inverzne trigonometrijske funkcije. Najčešća konvencija je da se inverzne trigonometrijske funkcije imenuju pomoću prefiksa arc: $arcsin(x)$ , $arccos(x)$ , $arctan(x)$ , etc.^[10]^[6] (Ova konvencija se koristi u celom ovom članku.) Ova oznaka proizlazi iz sledećih geometrijskih odnosa: pri merenju u radijanima, ugao od θ radijana će odgovarati luku čija je dužina rθ, gde je r poluprečnik kruga. Tako je u jediničnom krugu „luk čiji je kosinus x“ isti kao „ugao čiji kosinus je x“, jer je dužina luka kruga u radijusima ista kao i merenje ugla u radijanima.^[12] U programskim jezicima za računare, inverzne trigonometrijske funkcije često se nazivaju skraćenim oblicima asin, acos, atan.^[13]

Oznake $sin -1 (x)$ , $cos -1 (x)$ , $tan -1 (x)$ , etc, koje je uveo Džon Heršel 1813. godine,^[14]^[15] često se koriste i u izvorima na engleskom jeziku^[6] - konvencije konzistentne sa zapisom inverzne funkcije. Ovo bi moglo izgledati logički u suprotnosti sa uobičajenom semantikom izraza kao što je $sin 2 (x)$ , koji se odnose na numeričku moć, a ne na sastav funkcije, te stoga može dovesti do zabune između multiplikativne inverzne ili recipročne i kompoziciono inverzne.^[16] Zabunu donekle ublažava činjenica da svaka od recipročnih trigonometrijskih funkcija ima svoje ime - na primer, $(cos(x)) -1$ = $sec(x)$ . Ipak, neki autori ne savetuju da se koristi zbog njene dvosmislenosti.^[6]^[17] Još jedna konvencija koju koristi nekoliko autora je da se koristi veliko prvo slovo, zajedno sa $-1$ superskriptom: $Sin -1 (x)$ , $Cos -1 (x)$ , $Tan -1 (x)$ , etc.^[18] Ovo potencijalno izbegava zabunu sa multiplikativnom inverzijom, koja bi trebalo da bude predstavljena sa $sin -1 (x)$ , $cos -1 (x)$ , etc.

Od 2009. godine standard ISO 80000-2 navodi samo prefiks „arc” za inverzne funkcije.

Osnovni koncepti[uredi | uredi izvor]

Glavne vrednosti[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcija nisu uzajamno injektivne, i stoga se moraju ograničiti da bi imale inverzne funkcije. Prema tome, rasponi rezultata inverznih funkcija su pravi podskupovi domena izvornih funkcija.

Na primer, korišćenje funkcije u smislu višeznačnih funkcija, baš kao što bi se mogla definisati funkcija kvadratnog korena $y={\sqrt {x}}$ od $y^{2}=x,$ , funkcija $y=\arcsin(x)$ je definisana tako da je $\sin(y)=x.$ Za dati realni broj $x,$ sa $-1\leq x\leq 1,$ postoji više (zapravo, prebrojiva beskonačnost) brojeva $y$ takvih da je $\sin(y)=x$ ; na primer, $\sin(0)=0,$ ali je i $\sin(\pi )=0,$ $\sin(2\pi )=0,$ itd. Kada se želi samo jedna vrednost, funkcija može biti ograničena na njenu glavnu granu. Sa ovim ograničenjem, za svako $x$ u domenu, izraz $\arcsin(x)$ će se proceniti samo na jednu vrednost, koja se naziva njegova glavna vrednost. Ova svojstva se primenjuju na sve inverzne trigonometrijske funkcije.

Glavne inverzne vrednosti su navedene u sledećoj tabeli.

Naziv	Uobičajena oznaka	Definicija	Domen od $x$ za realan rezultat	Opseg uobičajene glavne vrednosti (radians)	Opseg uobičajene glavne vrednosti (stepeni)
arcsine	$y=\arcsin(x)$	$x = sin (y)$	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }$
arccosine	$y=\arccos(x)$	$x = cos (y)$	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }$
arctangent	$y=\arctan(x)$	$x = tan (y)$	svi realni brojevi	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
arccotangent	$y=\operatorname {arccot}(x)$	$x = cot (y)$	svi realni brojevi	$0<y<\pi$	$0^{\circ }<y<180^{\circ }$
arcsecant	$y=\operatorname {arcsec}(x)$	$x = sec (y)$	$x\leq -1{\text{ or }}x\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ or }}90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }$
arccosecant	$y=\operatorname {arccsc}(x)$	$x = csc (y)$	$x\leq -1{\text{ or }}x\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ or }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }$

(Napomena: Neki autori definišu opseg arcsecant da je ( $0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}$ ), jer je tangentna funkcija na ovom domenu neonegativna. Ovo čini neke proračune doslednijim. Na primer, koristeći ovaj opseg, $\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},$ dok je u opsegu ( $0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$ ), se zapisuje kao $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},$ jer je tangenta nenegativna na $0\leq y<{\frac {\pi }{2}},$ ali nepozitivna na ${\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .$ Iz slično razloga, isti autori definišu opseg funkcije arccosecant kao $-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}$ ili $0<y\leq {\frac {\pi }{2}}.$ )

Ako je $x$ kompleksan broj, onda je opseg $y$ primenljiv samo na njen realni deo.

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Taczanowski, Stefan (1978-10-01). „On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis”. Nuclear Instruments and Methods. ScienceDirect. 155 (3): 543—546. Bibcode:1978NucIM.155..543T. doi:10.1016/0029-554X(78)90541-4.
^ Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Encyclopaedia of Mathematics (unabridged reprint izd.). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. ISBN 978-155608010-4.
^ Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 izd.). Department of Physics, University of Konstanz. Arhivirano (PDF) iz originala 2017-07-26. g. Pristupljeno 2017-07-26.
^ Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF) (1 izd.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. Arhivirano iz originala (PDF) 2017-07-26. g. Pristupljeno 2017-07-26.
^ Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 izd.). Ediciones UC. str. 88. ISBN 978-956141314-6.
^ ^a ^b ^v ^g Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (januar 1909). „Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions”. Napisano na Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. str. 15. Pristupljeno 2017-08-12. „[…] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin^-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […]” CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Klein, Christian Felix (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (na jeziku: nemački). 1 (3rd izd.). Berlin: J. Springer.
^ Klein, Christian Felix (2004) [1932]. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Prevod: Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (Translation of 3rd German izd.). Dover Publications, Inc. / The Macmillan Company. ISBN 978-0-48643480-3. Pristupljeno 2017-08-13.
^ Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik. Prevod: Antin, David. Dover Publications. str. 69. ISBN 978-0-486-61348-2.
^ ^a ^b „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-25. Pristupljeno 2020-08-29.
^ Weisstein, Eric W. „Inverse Trigonometric Functions”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-29.
^ Beach, Frederick Converse; Rines, George Edwin, ur. (1912). „Inverse trigonometric functions”. The Americana: a universal reference library. 21.
^ John D. Cook (2021-02-11). „Trig functions across programming languages”. Pristupljeno 2021-03-10.
^ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 izd.). New York, NY: The Macmillan Company. str. 272.
^ Herschel, John Frederick William (1813). „On a remarkable Application of Cotes's Theorem”. Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8. doi:10.1098/rstl.1813.0005 .
^ „Inverse Trigonometric Functions | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-29.
^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. „21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions”. Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 izd.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. str. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.
^ Bhatti, Sanaullah; Nawab-ud-Din; Ahmed, Bashir; Yousuf, S. M.; Taheem, Allah Bukhsh (1999). „Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions”. Ur.: Ellahi, Mohammad Maqbool; Dar, Karamat Hussain; Hussain, Faheem. Calculus and Analytic Geometry (na jeziku: engleski) (1 izd.). Lahore: Punjab Textbook Board. str. 140.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Weisstein, Eric W. „Inverse Tangent”. MathWorld.

[Taczanowski_1978-1] Taczanowski, Stefan (1978-10-01). „On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis”. Nuclear Instruments and Methods. ScienceDirect. 155 (3): 543—546. Bibcode:1978NucIM.155..543T. doi:10.1016/0029-554X(78)90541-4.

[Hazewinkel_1994-2] Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Encyclopaedia of Mathematics (unabridged reprint izd.). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. ISBN 978-155608010-4.

[Ebner_2005-3] Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 izd.). Department of Physics, University of Konstanz. Arhivirano (PDF) iz originala 2017-07-26. g. Pristupljeno 2017-07-26.

[Mejlbro_2010-4] Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF) (1 izd.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. Arhivirano iz originala (PDF) 2017-07-26. g. Pristupljeno 2017-07-26.

[Duran_2012-5] Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 izd.). Ediciones UC. str. 88. ISBN 978-956141314-6.

[Hall_1909-6] v ^g Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (januar 1909). „Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions”. Napisano na Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. str. 15. Pristupljeno 2017-08-12. „[…] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin^-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […]” CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[Klein_1924-7] Klein, Christian Felix (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (na jeziku: nemački). 1 (3rd izd.). Berlin: J. Springer.

[Klein_2004-8] Klein, Christian Felix (2004) [1932]. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Prevod: Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (Translation of 3rd German izd.). Dover Publications, Inc. / The Macmillan Company. ISBN 978-0-48643480-3. Pristupljeno 2017-08-13.

[Dörrie_1965-9] Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik. Prevod: Antin, David. Dover Publications. str. 69. ISBN 978-0-486-61348-2.

[:0-10] „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-25. Pristupljeno 2020-08-29.

[11] Weisstein, Eric W. „Inverse Trigonometric Functions”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-29.

[Americana_1912-12] Beach, Frederick Converse; Rines, George Edwin, ur. (1912). „Inverse trigonometric functions”. The Americana: a universal reference library. 21.

[13] John D. Cook (2021-02-11). „Trig functions across programming languages”. Pristupljeno 2021-03-10.

[Cajori-14] Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 izd.). New York, NY: The Macmillan Company. str. 272.

[Herschel_1813-15] Herschel, John Frederick William (1813). „On a remarkable Application of Cotes's Theorem”. Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8. doi:10.1098/rstl.1813.0005 .

[16] „Inverse Trigonometric Functions | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-29.

[Korn_2000-17] Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. „21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions”. Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 izd.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. str. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.

[Bhatti_1999-18] Bhatti, Sanaullah; Nawab-ud-Din; Ahmed, Bashir; Yousuf, S. M.; Taheem, Allah Bukhsh (1999). „Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions”. Ur.: Ellahi, Mohammad Maqbool; Dar, Karamat Hussain; Hussain, Faheem. Calculus and Analytic Geometry (na jeziku: engleski) (1 izd.). Lahore: Punjab Textbook Board. str. 140.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

p r u Trigonometrijske i hiperboličke funkcije
Grupe	Trigonometrijske Sinus i kosinus Inverzna trigonometrija Hiperbolična Inverzne hiperbolična
Ostalo	Versus Exsecant Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā atan2