Kardioida

Kardioida

Kardioida (od grč. καρδία-srce i grč. εἶδος-oblik ) je kriva, koju iscrtava tačka na kružnici, koja se kotrlja bez klizanja oko druge kružnice istoga poluprečnika. Kardioida je specijalni slučaj epicikloide kada su obe kružnice istoga poluprečnika.

Jednačine

U slučaju da se ishodište koordinatnoga sistema postavi na desni dijametar nepokretne kružnice to je upravo na mestu gde se vidi šiljak kardioide. Tada kardioida može da se predstavi pomoću parametarskih jednačina:

$x=a\cos t(1+\cos t)$

$y=a\sin t(1+\cos t)$

U polarnim koordinatama oblik je:

$r=a(1-\cos \varphi )$

Četiri moguće kardioide

U Dekartovom sistemu oblik je:

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2ax(x^{2}+y^{2})-a^{2}y^{2}\,=\,0$ ili

$(x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})\,$

Svojstva

• Kardioida je algebarska kriva četvrtoga reda.
• Ima samo jedan šiljak
• Dužina jednoga kraka kardioide zadane formulom $r=a(1-\cos \varphi )$ data je sa:

$l={8a}$.

Dokaz:

$x(\theta )=\rho (\theta )cos(\theta )$

$y(\theta )=\rho (\theta )sin(\theta )$

$\int ||{\dot {\gamma }}(\theta )||d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}d\theta$, pa onda sledi:

${\sqrt {2}}a\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1+cos\theta }}d\theta =2a\int _{0}^{2\pi }|cos{\frac {\theta }{2}}|d\theta =8a\left[sin{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{\pi }=8a$

• Površina jednoga dela kardioide je:

$S={3 \over 2}\pi a^{2}$.

Dokaz:

$\int dxdy=\int \rho d\rho d\theta$

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}a^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-cos\theta )^{2}d\theta ={\frac {3}{2}}a^{2}\pi$

Optika

Kardioida, koja se dobija refleksijom

U optici se kardioida dobija prilikom refleksije na površini kružnoga oblika.

Literatura

• Kardioida