Krug

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Krug sa svojim osnovnim elementima — centrom (O), poluprečnikom (r), prečnikom (D) i kružnicom

Krug je u euklidskoj planimetriji geometrijsko mesto tačaka u ravni koje se nalaze na rastojanju manjem ili jednakom nekoj zadatoj dužini od neke date tačke u istoj toj ravni. Pomenuta tačka se zove centrom a pomenuta dužina poluprečnikom kruga. Krug je oivičen linijom koja se zove kružnica i deli ravan na unutrašnjost kruga, samu sebe i spoljašnjost kruga. Sama kružnica pripada krugu koga oivičava.

Dvostruka dužina poluprečnika se naziva prečnikom kruga, a obim kruga je dužina njegove kružnice. Drugi nazivi sa poluprečnik i prečnik su, tim redom, radijus i dijametar.

Definicija[uredi]

  • Krug s centrom O i poluprečnikom (radijusom) r je geometrijsko mesto tačaka ravni čija rastojanja od tačke О nisu veća od r, tj. to je skup tačaka M ravni za koje važi OM \leq r. Krug je zatvoren skup tačaka ravni, čija je granica periferija kruga, tj. kružnica.
    • Veliki krug lopte (sfere) je krug koji se dobija presekom lopte sa ravni koja prolazi kroz njen centar. Poluprečnik V. k. l. je jednak poluprečniku lopte. Kroz svake dve tačke lopte koje nisu krajevi njenog prečnika prolazi samo jedan V. k. l. Bilo koja dva V. k. l. seku se u dvema dijametralno suprotnim tačkama lopte.
    • U našoj matematičkoj terminologiji se pod pojmom krug ponekad podrazumeva i kružnica (dakle kriva).
    • Krug krivine (diferencijalna geometrija) je isto što i oskulatorni krug, tj. oskulatorna kružnica.

Ostale definicije[uredi]

  • Krug konvergencije stepenog reda:
a_0 + a_1(z-c) + a_2(z-c)^2 + ... + a_n(z-c)^n + ...\,

je krug poluprečnika R s centrom u tački z-c kompleksne ravni u čijim svim unutrašnjim tačkama z-a|<R) stepeni red apsolutno konvergira. Poluprečnik R kruga konvergencije se naziva poluprečnik konvergencije stepenog reda. Na rubu kruga konvergencije stepenog reda postoji singularna tačka. Može se desiti da poluprečnik konvergencije stepenog reda bude nula ili beskonačan. Kad je on beskonačan, stepeni red konvergira u svakoj tački kompleksne ravni. Za svaki stepeni red oblast konvergencije je uvek krug iz kojeg se eventualno isključuje neki skup tačaka na njegovom rubu.

Analitička geometrija[uredi]

U x-y koordinatnom sistemu, krug sa centrom (p, q) i poluprečnikom r je skup svih tačaka (x, y) tako da

\left(x - p \right)^2 + \left(y - q \right)^2 \leq r^2.

Ako je krug sa centrom u koordinatnom početku, tj. (0, 0), onda se ova formula može uprostiti do

x^2 + y^2 \leq r^2.\,

Krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom 1 se zove jedinični krug.

Izražen u polarnim koordinatama (r,Θ), krug poluprečnika rk sa centrom u tački (rc,φ) može da se definiše kao:

r^2 - 2r\cdot r_c \cos(\theta - \varphi) + {r_c}^2 \leq {r_k}^2.\,
\theta \in \left [ 0,2\pi \right), r \geq 0

Nagib kruga može da se izrazi sledećom formulom:

y' = - \frac{x}{y}.

Svi krugovi su slični; kao posledica, obim kruga i njegov poluprečnik su proporcionalni, kao što su njegova površina i kvadrat poluprečnika. Konstanta proporcionalnosti je 2π i π, redom. Drugim rečima:

  • Obim kruga = 2\pi r.\,
  • Površina kruga = \pi r^2.\,

Formula za površinu kruga može da se izvede iz formula za obim kruga i površinu trougla na sledeći način. Zamislite pravilni šestougao podeljen na jednake trouglove, sa njihovim vrhovima u centru šestougla. Površina šestougla može da se nađe u formuli površine trougla, tako što se sabiraju dužine osnovica svih trouglova, množe se dužinom visine trouglova (dužina od sredine osnovice do centra) i dele sa 2. Ovo je aproksimacija površine kruga. Onda zamislite istu situaciju, ali sa osmouglom i aproksimacija će biti malo bliža površini kruga. Kako se pravilni mnogougao sa sve više stranica deli na trouglove, to se i površina mnogougla sve više bliži površini kruga. U limesu, zbir svih osnovica se približava obimu 2πr, a visina trouglova se približava poluprečniku r. Kada se pomnože obim i poluprečnik i podele sa dva, dobija se površina πr².

Osobine[uredi]

Tetiva, sečica i tangenta kruga
Luk, isečak i odsečak kruga

Linija koja seče kružnicu u dve tačke je sečica ili sekanta, a linija koja dodiruje krug u jednoj tački je tangenta. Tangentne linije su uvek pod pravim uglom sa poluprečnicima, segmentima koji spajaju centar sa tačkom na kružnici, čija se dužina poklapa sa definicijom od iznad. Deo sečice ograničen krugom se zove tetiva, a najduža tetiva je ona koje prolazi kroz centar i zove se prečnik ili dijametar i čine ga dva poluprečnika. Površina dela kruga odsečenog tetivom se naziva kružni odsečak.

Moguće je naći najveći broj jedinstvenih odsečaka koje stvaraju tangente između tačaka na kružnici.

Ako je poznat samo krug (ili njegov deo), onda njegov centar može da se konstruiše na sledeći način: uzmu se dve ne-paralelne tetive, konstruišu se kružne linije na njihovim središtima i pronađe se presečna tačka tih linija. Poluprečnik takvog parcijalnog kruga može da se izračuna iz dužine (L) tetive i udaljenosti (D) od središta tetive do najbliže tačke na krugu po raznim formulama, uključujući:
(iz matematičkog izvođenja)

r= \frac {(L/2)^2+D^2} {2D}

(iz matematičkog izvođenja)

{\mbox{r}}={{L}\over{\sin\pi-2\tan^{-1}({{L}\over{D}})}}.

Ilustracija tetive

Deo obima ograničen sa dva poluprečnika se zove luk (geometrija), a površina (tj. kriška diska) u okviru tih poluprečnika i luka se zove kružni isečak. Odnos dužine luka i poluprečnika definiše ugao između dva poluprečnika u radijanima.

Formula za dužinu kružnog luka (gde je α centralni ugao nad lukom):

l={{r \pi \alpha}\over{180^\circ}}

Formula za površinu kružnog isečka:

P={{r^2 \pi \alpha}\over{360^\circ}}

Svaki trougao može da ima više krugova: opisani krug koji sadrži sva tri temena trougla, upisani krug koji je unutar trougla i dodiruje sve tri stranice, tri spoljašnja kruga koji su van trougla i dodiruju jednu stranicu i nastavke druge dve i krug devet tačaka koji sadrži razne važne tačke trougla. Talesova teorema navodi da ako se tri temena trougla nalaze na krugu gde je jedna strana trougla prečnik kruga, onda je suprotni ugao od te stranice prav.

Za svake tri različite tačke koje leže y ravni, a istovremeno ne leže na pravoj, postoji tačno jedan krug čija kružnica sadrži te tačke (to je zapravo opisani krug trougla kojeg definišu te tačke). Za tri određene tačke <(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)>, jednačina ovog kruga je prikazana na jednostavan način koristeći matričnu determinantu:


\det\begin{bmatrix}
x   & y   & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.

Krug je vrsta preseka kupe, sa nultim ekscentricitetom. U topologiji sve proste zatvorene krive su homeomorfne krugovima, a reč krug se često primenjuje na njima kao posledica. Trodimenzionalni analog krugu je lopta (telo) ili sfera (površ).

Kvadratura kruga se odnosi na (nemogući) zadatak konstruisanja, za dati krug, kvadrata sa jednakom površinom koristeći samo lenjir i šestar. Kvadratura kruga Tarskog je, nasuprot, zadatak deljenja kruga na konačno mnogo delova i spajanja tih delova da bi se sačinio kvadrat iste površine. Zbog aksiome izbora, ovo je zaista moguće.

Trodimenzionalna tela čiji su preseci u nekim ravnima krugovi uključuju lopte, sferoide, valjkove i kupe.

Vidi još[uredi]

Spoljašnje veze[uredi]