Kružnica

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu

Kružnica je matematički pojam koji se koristi u geometriji i nije sinonim za krug. Uobičajeno je da se kružnica zove linija koju opisuje šestar, a krug je površina unutar kružnice. Tako kružnica ima svoju dužinu, koja se često zove obim, a krug ima površinu.

Definicije[uredi]

Kružnica je zatvorena kriva u ravni čije sve tačke leže na istom odstojanju od neke tačke O u istoj ovoj ravni i koja se zove centar kružnice. Odstojanje svake tačke kružnice od njenog centra meri se segmentom prave koji se naziva poluprečnik (radijus) r. Kružnica k s centrom О i poluprečnikom r označava se k(O,r), ponekad sa O(r).

Kružnica sa centrom О i poluprečnikom r može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka u ravni na datom odstojanju r od date tačke О koja leži u istoj ravni.

Jednačina kružnice u pravouglim Dekartovim koordinatama glasi:

(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2\,,

gde su (p,q) koordinate centra, a r poluprečnik. Iz prethodne jednačine sledi da je kružnica kriva drugog reda. Prethodna jednačina kružnice se koristi u rešavanju konstruktivnih zadataka, u grafičkom rešavanju jednačina i nejednakosti.

U svakoj tački kružnice njena krivina je konstantna, jednaka \frac {1}{r}. Tangenta na kružnicu je normalna na poluprečnik u tački dodira.

Obim kružnice O(r) je 2r \pi \,, a kružnica se naziva i periferijom kruga.

Površina omeđena kružnicom je r^2 \pi\,.

Tetiva je duž koja spaja dve tačke na kružnici.

Centralni ugao je ugao iz centra kruga pod kojim se vidi data tetiva.

Periferni ugao je ugao iz tačke na kružnici pod kojim se vidi data tetiva.

Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu (u jednoj tački).

Ostale definicije[uredi]

Kružna transformacija ravni je transformacija u kojoj svaka kružnica ili prava prelazi u kružnicu ili pravu. Kružna transformacija je proizvod dve transformacije: inverzije i sličnosti. Primeri kružnih transformacija su: kretanje, sličnost, inverzija. Kružna transformacija je (jedno od) konformnih preslikavanja.

Kružni cilindar (elementarna geometrija) je cilindar, tj. valjak čija je direktrisa (vodilja) kružnica. Ako je izvodnica К. c. normalna na njegovu osnovu, К. c. se naziva pravi; ako je pak izvodnica kosa prema osnovi, К. c. je kos.

Obično, pod pojmom kružni cilindar podrazumeva se prav kružni cilindar. Prav kružni cilindar se može zamisliti kao figura obrazovana obrtanjem pravougaonika oko njegove stranice.

Kružni konus (u elementarnoj geometriji) je konus (kupa) čija je direktrisa (vodilja) kružnica. Vrh pravog kružnog konusa se u ortogonalnoj projekciji projektuje u centar njegove osnove. Prav kružni konus se dobije obrtanjem pravouglog trougla oko katete. Prav kružni konus se naziva jednostavno konus.

Vrh kosog kružnog konusa se u ortogonalnoj projekciji ne projektuje u centar osnove.

Ako se kružni konus preseče sa ravni koja nije paralelna osnovi, može se u preseku dobiti i krug.

Apolonijeva kružnica je geometrijsko mesto tačaka М ravni čiji je odnos odstojanja od dve date tačke A i B, koje leže u istoj ovoj ravni, konstantna veličina k (k \not= 0, k \not= 1): AM:BM = k. Apolonijeva kružnica se koristi u rešavanju geometrijskih konstruktivnih zadataka metodom geometrijskih mesta tačaka. Na primer: konstrukcija trougla ako je zadata stranica, visina na tu stranicu i odnos ostale dve stranice trougla; stranica, njeno teme datog trougla i odnos ostale dve stranice; kada je pored ostalih dat odnos dve visine trougla. Apolonijeva kružnica je nazvana po starogrčkom naučniku Apoloniju iz Perga, koji ju je izučavao u 3. veku p. n. e.

Kružnica devet tačaka je kružnica na kojoj leže sredine strana trougla, podnožja njegovih visina i sredine segmenata visina između temena i ortocentra. Centar kružnice devet tačaka se poklapa sa sredinom duži koja spaja ortocentar trougla s centrom opisane kružnice. Poluprečnik kružnice devet tačaka je jednak polovini prečnika opisane kružnice datog trougla. Kružnica devet tačaka se naziva i Ojlerova kružnica.

Kružnica krivine krive u prostoru u tački M je kružnica koja leži u oskulatornoj ravni krive u tački M, čiji je radijus jednak \frac{1}{k} gde je k krivina krive u tački M, na rastojanju MO = \frac{1}{k}. Kružnica krivine ne postoji u tački u kojoj je krivina krive jednaka nuli. Kružnica krivine ima s krivom u tački M dodir čiji red nije manji od 2. Kružnica krivine se naziva i oskulatorna kružnica.

Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju zajednički centar i leže u istoj ravni.

Nekoncentrične kružnice nazivaju se i ekscentrične.

Konfokalne krive su krive 2. reda (konusni preseci) koje imaju zajedničke žiže (fokuse).

Elementarna (Euklidska) geometrija[uredi]

1. Teorema
Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog nad istom tetivom.

Centralni-ugao.gif

Dokaz
Data su kružnica k tetiva A,B \in k centralni ugao ACB = \theta i periferni ugao APB = \phi .
Duži CA, CB i CP su jednake (poluprečnici), pa je trougao BCP jednakokraki. Isto tako i trougao ACP je jednakokraki. PP' je prečnik kruga, a AP’ i BP’ su takođe tetive.
Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja njemu nesuseda ugla, tj.  \theta _1 = 2 \phi _1 , i otuda:
 \theta = \theta _1 + \theta _2 = 2 \phi _1 + 2 \phi _2 = 2 \phi .
2. Teorema
Periferni ugao nad prečnikom je prav.
Dokaz
Iz prethodne teoreme, jer je centralni ugao nad prečnikom 180°, a pola od toga je pravi ugao.
3. Teorema
Ugao između tetive i tangente povučenih iz iste tačke kružnice jednak je perifernom nad tom tetivom.

Ugao-tangente.gif

Dokaz
Dat su krug k, tangenta t i tetiva AB. AP je prečnik kruga pa je ugao u B prav. Uglovi BAt i APB imaju okomite krake, tj. jednaki su!
4. Teorema
Periferni uglovi nad istom tetivom jednaki su ili su suplementni. Ako su sa različitih strana tetive oni su suplementni.


Spoljašnje veze[uredi]