Kupa (geometrija)

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Skoči na: navigacija, pretraga
Prava (levo) i kosa kružna kupa (desno)

Kupa (ili konus) je geometrijsko telo. Može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka koje čini sve duži između elipse, koja se nalazi u jednoj ravni, i tačke, koja se nalazi izvan te ravni. Ova elipsa se još naziva baza kupe, a tačka njeno teme.

Prava koja prolazi kroz teme i centar baze kupe se naziva njenom osom. Ukoliko je ova prava i normalna na bazu kupe, kupa se naziva pravom. U suprotnom se radi o kosoj kupi.

Rastojanje između temena kupe, i njegove projekcije na ravan baze kupe se naziva visinom kupe.

Svaka duž koja spaja teme i neku od ivičnih tačaka baze se naziva izvodnicom kupe. Kod prave kupe sve izvodnice imaju jednaku dužinu dok kod kose kupe postoje najviše dve izvodnice sa istom dužinom.

Površina kupe[uredi]

Površina kupe se uvek računa kao zbir površina njenog omotača i njene baze. Omotač kupe je skup svih duži koje spajaju teme kupe sa ivicom osnovice kupe. U slučaju da je baza krug, njegova ivica bi bila kružnica.

Površina prave kružne kupe[uredi]

Razmotavanjem omotača prave kupe se može ustanoviti da se radi o odsečku kruga, koji za poluprečnik ima dužinu s izvodnice kupe. Pokriveni ugao se prema punom krugu (tj. ) odnosi kao obim baze kupe prema obimu kruga sa poluprečnikom s, što bi dalo sledeći izraz:

P_o = s^2 \pi \cdot \frac{2\pi r}{2\pi s} = s^2 \pi \cdot \frac{r}{s} = rs\pi

kružni isječak

Isti rezultat možemo dobiti i na sljedeći način.

Razmotavanjem omotača prave kupe dobija se isječak kruga poluprečnika s sa centralnim uglom θ. Kada je centralni ugao u radijanima, površina i dužina luka kružnog isječka su

I = \frac12 \theta s^2, \ l = \theta s.

Smotan u kupu, luk isječka postaje kružnica obima 2, pa imamo

\theta s = 2r \pi \ \Rightarrow \ \theta = \frac{2r\pi}{s},

što uvrštavanjem u izraz za površinu kružnog isječka daje

I = \frac12 \cdot \frac{2r\pi}{s} \cdot s^2 = rs\pi = P_o.

Površina baze je površina kruga poluprečnika r, što iznosi Pb = r²π. Zbir ove dve vrednosti daje površinu kupe:

P = P_o + P_b = rs\pi + r^2\pi = r\pi(s+r)

Primjer. Visina prave kupe je h. Naći površinu kupe, ako je njen omotač u razvijenom obliku kružni isječak sa centralnim uglom θ = 120°.

Rješenje: Dati centralni ugao izražen u radijanima je

\theta = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}3.

Dužina luka isječka i obim baze kupe su jednaki, tj.

\theta s = 2r\pi \ \Rightarrow \ r = \frac{s}3.

Pitagorina teorema dalje daje

h^2 = s^2 - r^2
= s^2 - \left(\frac{s}3 \right)^2
= \frac89 s^2,

te je

s^2 = \frac98 h^2, \ r^2 = \frac18 h^2.

Inače, površina kružnog isječka poluprečnika s, ovdje omotača (Po) kupe, i površina baze (Pb) kupe su

P_o = \frac12 \theta s^2, \ P_b = r^2 \pi,

Pa je površina kupe u ovom primeru:

P = P_o + P_b
= \frac12 \cdot \frac{2\pi}3 \cdot \frac98 h^2 + \frac18 h^2 \pi
= \frac{\pi}2 h^2.

Zapremina kupe[uredi]

Zapremina kupe se uvek može predstaviti kao trećina proizvoda površine njene baze sa rastojanjem temena od ravni u kome se nalazi baza. Ovo rastojanje se još zove i visina kupe.

V = \frac{1}{3}P_b h

Primer može biti kružna kupa kod koje je Pb = r²π. Iz prethodnog izraza sledi da je zapremina ove kupe:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} r^2\pi h

Zapremina kose i prave eliptične kupe se razlikuje samo u bazi:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} ab\pi h

Primjer. Površina prave kupe je P. Izvodnica je nagnuta prema ravni osnove pod uglom φ. Izračunati zapreminu kupe.

Rješenje: Poluprečnik baze kupe i visina kupe izraženi pomoću izvodnice i ugla nagiba su

r = s \cos \varphi, \ h = s \sin \varphi.

Površina i zapremina kupe, izražene na isti način su

P = r(s + r)\pi = s^2 \pi \cos \varphi (1 + \cos \varphi ),
V = \frac13 r^2 \pi h = \frac13 s^3 \pi \cos^2 \varphi \sin \varphi.

Iz prve jednakosti izrazimo s i uvrstimo u drugu

V = \frac13 \cdot \frac{P \sqrt{P}}{\sqrt{\cos \varphi (1 + \cos \varphi)}} \cdot \frac{\cos \varphi \sin \varphi}{1 + \cos \varphi}.

Spoljašnje veze[uredi]

Vikiostava
Vikimedijina ostava ima još multimedijalnih datoteka vezanih za: Kupa (geometrija)