Laplasova transformacija

Iz projekta Википедија

Skoči na: navigacija, pretraga

Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu (slika).


Sadržaj

[uredi] Pojam originala

Funkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove:

1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose
2. za svako t<0, f(t)=0
3. postoje M i s0, tako da je |f(t)| \le M e^{s_0t}


[uredi] Definicija Laplasove transformacije

F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt. \qquad ( s = \sigma + \mathrm{i} \omega; \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 )

Funkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t).

Za slučaj da je s = iω dobija se jednostrana Furijeova transformacija:

F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\}
= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}
= \int_{0}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.


[uredi] Inverzna Laplasova transformacija

U opštem slučaju, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala:

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds \qquad ( \gamma \in \mathbb{R}, \gamma>\max_i\Re(Res_i))

[uredi] Primena

U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.

[uredi] Spoljašnje veze

Dobavljeno iz "http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0"