Linearno preslikavanje

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu

U matematici, linearno preslikavanje (takođe linearna transformacija ili linearni operator) je funkcija između dva vektorska prostora, koja očuvava operacije sabiranja vektora i skalarnog množenja. Izraz linearna transformacija se često koristi, posebno za linearna preslikavanje iz nekog vektorskog prostora u samog sebe (endomorfizmi).

U jeziku apstraktne algebre, linearno preslikavanje je homomorfizam vektorskih prostora, ili morfizam u kategoriji vektorskih prostora nad datim poljem.

Definicija i direktne posledice[uredi]

Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem K. Funkcija f : VW je linearno preslikavanje ako za svaka dva vektora x i y iz V i svaki skalar a iz K, važe sledeća dva uslova:

f(x+y)=f(x)+f(y) \, aditivnost
f(ax)=af(x) \, homogenost

Ovo je ekvivalentno zahtevu da za sve vektore x1, ..., xm i skalare a1, ..., am, važi jednakost

f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)

Ponekad može da se uzme da su V i W vektorski prostori nad različitim poljima. Tada je neophodno odrediti koje od ovih polja se uzima u definiciji linearnosti. Ako su V i W vektorski prostori nad poljem K kao u gornjem slučaju, radi se o K-linearnim preslikavanjima. Na primer konjugacija kompleksnih brojeva je R-linearno preslikavanje CC, ali nije C-linearno.

LInearno preslikavanje iz V u K (gde se K posmatra kao vektorski prostor nad samim sobom) se naziva linearni funkcional.

Iz definicije direktno sledi da je f(0) = 0. Stoga se linearna preslikavanja ponekad nazivaju homogenim linearnim preslikavanjima (vidi: linearna funkcija).

Primeri[uredi]

  • Za realne brojeve, preslikavanje x\mapsto x^2 nije linearno.
  • Za realne brojeve, preslikavanje x\mapsto x+1 nije linearno.
  • Ako je A m × n matrica, onda A definiše linearno preslikavanje iz Rn u Rm tako što šalje vektor kolona xRn u vektor kolona AxRm. Obratno, svako linearno preslikavanje između konačno-dimenzionih vektorskih prostora se može predstaviti na ovaj način.
  • Integral daje linearno preslikavanje iz prostora svih integrabilnih funkcija realne vrednosti na nekom intervalu u R
  • Diferenciranje je linearno preslikavanje iz prostora svih diferencijabilnih funkcija u prostor svih funkcija.

Literatura[uredi]

  • Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0070026556.