Matrica rotacije

Matrica rotacije u linearnoj algebri predstavlja matricu rotacija u Euklidovom prostoru. Npr. matrica rotacije tačaka za ugao θ oko ishodišta (odnosno rotacija koordinatnog sistema za ugao -θ oko koordinatnog početka) u xy-kartezijevom prostoru suprotno kretanju kazaljke na satu data je sa:

$R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$

Matrice rotacije su ortogonalne matrice sa determinantom jednakom jedinici.

$R^{T}=R^{-1},\det R=1\,$.

Skup takvih matrica dimenzije n čini specijalnu ortogonalnu grupu, poznatu kao SO(n).

Rotacija u dvodimenzionalnom prostoru

U dvodimenzionalnom prostoru vektor novih koordinata nastalih rotacijom odgovara množenju matrice rotacije i vektora koordinata:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}$.

Na taj način rotacijom dobijaju se nove koordinate (x',y') rotacijom tačke (x, y):

$x'=x\cos \theta -y\sin \theta \,$,

$y'=x\sin \theta +y\cos \theta \,$.

Rotacija u trodimenzionalnom prostoru

Tri osnovne rotacije oko osi x, y i z dane su sa:

${\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}$

Opšte rotacije za Ojlerove uglove

Opšta matrica rotacije u trodimenzionalnom prostoru može da se dobije množenjem matrica rotacije za tri Ojlerova ugla α, β i γ (y-x-z konvencija za Ojlerove uglove):

$R_{z}(\gamma )\,R_{x}(\beta )\,R_{y}(\alpha )\,\!$

U slučaju rotacije za uglove $\;\gamma$, $\;\beta$, $\;\alpha$ oko osi Z, X, Z (Z, X, Z konvencija) dobija se:

$M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{z}(\alpha )\cdot M_{x}(\beta )\cdot M_{z}(\gamma )$

$={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{pmatrix}}$

Lijeva teorija

Skup matrica rotacije dimenzije n čini Lijevu grupu zvanu specijalna ortogonalna grupa, poznatu kao SO(n). Sa svakom Lijevom grupom povezana je Lijeva algebra, tako da u ovom slučaju imamo Lijevu algebru:

${\mathfrak {so}}(n),\,\!$

Lijeva algebra u trodimenzionalnom prostoru :${\mathfrak {so}}(3),\,\!$ ima tri generatora:

$A_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

Lijeve zagrade tih operatora zadovoljavaju sledeće relacije:

$[A_{\mathbf {x} },A_{\mathbf {y} }]=A_{\mathbf {z} },\quad [A_{\mathbf {z} },A_{\mathbf {x} }]=A_{\mathbf {y} },\quad [A_{\mathbf {y} },A_{\mathbf {z} }]=A_{\mathbf {x} }.$

Proizvoljna matrica u Lijevoj algebri može da se opiše pomoću tri generatora kao:

${\begin{aligned}{\tilde {\boldsymbol {\omega }}}&{}=xA_{\mathbf {x} }+yA_{\mathbf {y} }+zA_{\mathbf {z} }\\&{}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Literatura

• Matrica rotacije