Merkatorova projekcija

Merkatorova projekcija sveta između 85°JGŠ i 85°SGŠ. Upadljiv je odnos veličina Grenlanda i Afrike

Merkatorova projekcija sa Tisovom indikatrisom deformacija.

Karta sveta u Merkatorovoj projekciji

Merkatorova karta sveta Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate (1569)

Merkatorova projekcija ili valjkasta konformna projekcija je cilindrična kartografska projekcija koju je uveo flamanski geograf i kartograf Gerhard Merkator.

Karta izrađena ovom projekcijom je u svoje vreme bila najveće kartografsko ostvarenje i koristila je u navigacione svrhe. Komformnost (očuvanje uglova) projekcije postignuta je na taj način što su rastojanja između paralela izjednačena sa njihovim izduženjem na toj geografskoj širini. Polove na ovoj karti nije moguće prikazati jer su izduženja u tački pola beskonačna. Karta se radi u dve verzije pomoću dodirnog i sekućeg valjka.

Rastojanje između podnevaka kod dodirnog valjka jednaka su ispravljenim lucima ekvatora. A kod sekućeg valjka, ispravljenim lucima sekuće paralele. Komformnost deformacije postignuta je na račun velikih deformacije dužina i površina.

Obeležja i istorijski detalji

Merkatorovo izdanje iz 1569. predstavljalo je veliku planisferu veličine 202 sa 124 cm te je štampano u osamnaest zasebnih listova. Kao u svim cilindričnim projekcijama paralele i meridijani su ravne linije normalne jedne na druge. Radi postizanja navedenog dolazi do neizbežnog rastezanja karte u istočno-zapadnom smeru, koje se povećava proporcionalno povećanju udaljenosti od ekvatora, što je praćeno odgovarajućim rastezanjem u smeru severa i juga tako da svaka lokacijska tačka čini projekciju konformnom, a merilo u smeru istoka odnosno zapada jednako je merilu u smeru severa odnosno juga. Merkatorova karta nikad ne može u potpunosti da prikaže polarna područja jer linearno merilo postaje beskonačno veliko na polovima. Budući da se radi o konformnoj projekciji, uglovi oko svih lokacija su očuvani, ali merilo stoga varira od jednog do drugog mesta, iskrivljujući veličinu geografskih objekata. Ovo je posebno važno, jer su područja blizu polova jače pogođena, te se prenos slike geometrije planeta jače iskrivljuje približavanjem polovima. Na geografskim širinama višima od 70° južno ili severno Merkatorova projekcija praktično je beskorisna.

Sve linije konstantnog smera (loksodrome, koje čuvaju konstantnost uglova s meridijanima) prikazane su pravolinijskim segmentima na Merkatorovoj karti. One precizno odgovaraju tipu rute kojom brodovi obično plove morem i koje koriste kompas za označavanje geografskih smerova i upravljanje brodovima. Dva obeležja, konformnost i pravolinijske loksodrome, čine ovu projekciju jedinstveno prikladnom za pomorsku navigaciju: kursevi i smerovi određuju se upotrebom ruže vetrova ili protraktora, a odgovarajući smerovi lako se prenose s tačke na tačku na karti uz pomoć paralelnog lenjira ili para navigacijskih trouglova.

Naziv i objašnjenja koja je Merkator priložio uz svoju kartu sveta (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate: „nov i proširen opis Zemlje ispravljen za navigacijsku upotrebu”) pokazuju da je izričito zamišljena za korištenje pomorske navigacije. Iako autor nije objasnio metodu konstrukcije, Merkator je verovatno koristio grafičku metodu, prenoseći loksodrome prethodno iscrtane na globusu na kvadratni gratikul, zatim prilagođavajući razmake među paralelama tako da te linije postanu pravolinijske čime je očuvana stalnost uglova s meridijanima kao i na globusu.

Razvoj Merkatorove projekcije predstavljao je velik proboj u nautičkoj kartografiji 16. veka. Štaviše, ona je bila daleko ispred svog vremena jer stare navigacijske i geodetske tehnike nisu bile kompatibilne s njenom upotrebom u navigaciji. Dva glavna problema sprečavala su njenu direktnu primenu: nemogućnost određivanja geografske dužine na moru s prikladnom tačnošću i činjenicom da su se u navigaciji koristili magnetski smerovi umesto geografskih smerova. Tek su sredinom 18. veka izumom pomorskog hronometra i poznavanjem prostorne distribucije magnetske deklinacije navigatori mogli u potpunosti da prihvate Merkatorovu projekciju.

Nekoliko se autora povezuje s razvojem Merkatorove projekcije:

• Nemac Erhard Eclaub (1460–1532), urezao je minijaturnu „kompasnu kartu” (veličine od oko 10×8 cm) Evrope i delova Afrike, geografske širine 67°–0°, kako bi omogućio prilagođavanje svojih prenosnih džepnih sunčanih satova i decenijama se za njega govorilo da je dizajnirao „projekciju identičnu Merkatorovoj”.
• Portugalski matematičar i kozmograf Pedro Nunes (1502–1578), prvi je opisao loksodromu i njenu upotrebu u pomorskoj navigaciji, te je predložio konstrukciju nekoliko nautičkih karata krupnog mjerila u cilindričnoj ekvidistantnoj projekciji kako bi prikazao svet s minimalnom ugaonim distorzijom (1537).
• Engleski matematičar Edvard Rajt (1558–1615), formalizovao je matematiku Merkatorove projekcije (1599) i objavio pouzdane tabele za njenu konstrukciju (1599, 1610).
• Engleski matematičari Tomas Hariot (1560–1621) i Henri Bond (1600–1678), nezavisno su jedan od drugog (1600 i 1645) povezali Merkatorovu projekciju s njenom modernom logaritamskom formulom, kasnije potvrđenu računom.

Matematika projekcije

Odnos između vertikalne pozicije na karti (horizontalne na grafu) i geografske širine (vertikalne na grafu).

Sledeće jednačine određuju x i y koordinate tačke na Merkatorovoj karti prema njenoj geografskoj širini φ i dužini λ (tako da je λ₀ geografska dužina u centru karte):

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}$

Inverzija Gudermanove funkcije:

${\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}$

Merilo je proporcionalno sekansu geografske širine φ čime ono postaje arbitrarno veliko blizu polova gde je φ = ±90°. Štaviše, kao što se vidi iz formula, koordinata y polova je plus ili minus beskonačna.

Derivacija projekcije

Merkatorova projekcija je cilindrična projekcija.

Može se pretpostaviti sferična Zemlja. (Zapravo je ona blago spljoštena, ali za karte malih razmera razlika je beznačajna. Radi veće preciznosti umeće se konformna geografska širina.) Zatim se transformiše geografska širina i dužina (λ, φ) u Kartezijev sistem (x, y) to jest „cilindar (valjak) tangencijalan s ekvatorom” (tj. x = λ) te konforman tako da je:

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

${\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}$

Iz x = λ se dobija

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$

${\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0$

što daje

$1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

$0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}$

Stoga je y funkcija samo φ sa $y'=\sec \varphi$ prema kojem tabela integrala daje

$y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,$

Prikladno je da na karti φ = 0 odgovara y = 0, te se uzima da je C = 0.

Upotrebe

Tisova indikatrisa

Gornja slika reprojektovana u sinusoidalnom obliku

U svim kartografskim projekcijama koje pokušavaju da zakrivljenu površinu prilagode ravnoj ploči oblik karte je zapravo distorzija pravog izgleda Zemljine površine. Merkatorova projekcija preteruje u veličini površina koja se nalaze daleko od ekvatora. Na primer:

• Grenland je prikazan sa otprilike jednakom površinom kopna kao Afrika iako je površina Afrike približno 14 puta veća od Grenlanda.
• Aljaska je prikazana sličnom ili neznatno većom kopnenom površinom od Brazila iako je površina Brazila oko 5 puta veća od Aljaske.
• Finska je veća u smeru sjevera i juga od Indije iako je zapravo Indija mnogo veća.

Iako se Merkatorova projekcija još uvek nalazi u opštoj upotrebi u navigaciji zbog svojih jedinstvenih obeležja, kartografi se slažu da nije prikladna za karte velikih područja zbog njenog iskrivljavanja površine kopna. Sam je Merkator koristio ekvivalentnu sinusoidnu projekciju za prikaz relativnih područja. Kao rezultat ovih kritika moderni atlasi više ne koriste Merkatorovu projekciju na kartama sveta ili za područja udaljena od ekvatora, a umesto nje preferiraju se cilindrične projekcije ili oblike ekvivalentnih projekcija. Merkatorova projekcija još se uvek koristi za područja blizu ekvatora gde je pak distorzija minimalna.

Arno Peters pokrenuo je kontroverzu kada je predložio Gal-Petersovu projekciju, neznatnu modifikaciju Lambertove cilindrične ekvivalentne projekcije kao alternativu Merkatorovoj. Rezolucijom iz 1989. sedam je severnoameričkih geografskih grupa obezvredilo upotrebu svih pravougaonih koordinatnih karata sveta uključujući Merkatorovu i Gal-Petersovu.

Gugl mape trenutno koriste Merkatorovu projekciju u svojim slikama karata. Uprkos relativnim distorzijama merila, Merkator je prikladan za interaktivnu kartu sveta na kojoj je moguće zumiranje spojenih lokalnih karata jer dolazi do relativno manje distorzije zbog konformne prirode projekcije. (Guglove sateliske mape, u drugu ruku, su koristile cilindričnu ekvidistantnu projekciju sve do 22. jula 2005)

Pločasti sistem Guglovih mapa prikazuje većinu sveta na nivou zuma 0 kao jednu sliku od 256 pikselnih kvadrata, isključujući polarne regije. Budući da Merkatorova koordinata x varira u rasponu od 2π, druga koordinata je limitirana na -π ≤ y ≤ π zbog toga što je:

${\frac {1}{2}}\ln {\bigg (}{\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}{\bigg )}=\pm \pi \Rightarrow \varphi =\pm \arcsin {\bigg (}{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi }-1}{\mathrm {e} ^{2\pi }+1}}{\bigg )}$

odgovarajući ekstrem latitude φ = ±85,05113°. Vrednosti geografske širine izvan ovog raspona ucrtavaju se na kartu koristeći drugi odnos koji ne divergira na φ = ±90°.

Vidi još

• Kvadratna projekcija
• Pravougaona projekcija
• Kartografija
• Kasinijeva projekcija
• Fulerova projekcija (dimaksijska projekcija)
• Ekvirektangularna projekcija
• Gal-Petersova projekcija s rezolucijom koja se odnosi na upotrebu pravougaonih karti sveta
• Gnomonska projekcija
• Lambertova konformna konusna projekcija
• Kartografska projekcija
• Molvajdeova projekcija
• Nautička karta
• Robinsonova projekcija
• Okrenuta karta
• Transverzalna Merkatorova projekcija
• Vinkelova trostruka projekcija

Literatura

• Mastilo, Natalija (2005): Rečnik savremene srpske geografske terminologije, Geografski fakultet, Beograd
• Lješević, M, Živković, D. (2001): Kartografija, Magic Map, Smederevska Palanka
• Maling, Derek Hylton (1992), Coordinate Systems and Map Projections (second izd.), Pergamon Press, ISBN 0-08-037233-3 .
• Monmonier, Mark (2004), Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection (Hardcover izd.), Chicago: The University of Chicago Press, ISBN 0-226-53431-6 
• Olver, F. W.J.; Lozier, D.W.; Boisvert, R.F.; et al., ur. (2010), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press 
• Osborne, Peter (2013), The Mercator Projections, doi:10.5281/zenodo.35392. (Supplements: Maxima files and Latex code and figures) 
• Snyder, John P (1993), Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, ISBN 0-226-76747-7 
• Snyder, John P. (1987), Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, United States Government Printing Office, Washington, D.C.  This paper can be downloaded from USGS pages. It gives full details of most projections, together with interesting introductory sections, but it does not derive any of the projections from first principles.
• Rapp, Richard H (1991), Geometric Geodesy, Part I, Ohio State University Department of Geodetic Science and Surveying, hdl:1811/24333 
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.

Spoljašnje veze

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam – contains high-resolution images of the 1569 world map by Mercator.
• Table of examples and properties of all common projections, from radicalcartography.net.
• An interactive Java Applet to study the metric deformations of the Mercator Projection.
• Web Mercator: Non-Conformal, Non-Mercator (Noel Zinn, Hydrometronics LLC)
• Mercator's Projection at University of British Columbia
• Google Maps Coordinates