Minimalni polinom

U različitim oblastima matematike, minimalni polinom objekta a jeste u određenom smislu normirani polinom p najmanjeg mogućeg stepena takav da je p(a) = 0. Posebno je značajan pojam minimalnog polinoma u linearnoj algebri i teoriji polja.

Linearna algebra

U linearnoj algebri, minimalni polinom kvadratne matrice A je monični polinom p najmanjeg mogućeg stepena takav da je

p(A) = 0.

Svaka matrica A ima jednoznačno određen minimalni polinom; on se najčešće označava sa μ_A. Minimalni polinom matrice deli svaki od polinoma koji je poništavaju, tako da se može odrediti i kao njihov najveći zajednički delilac, odnosno kao monični generator glavnog ideala

{ p ∈K[X] : p(A) = 0 } = (μ_A)

u prstenu polinoma K[X].

Slične matrice imaju jednake minimalne polinome. Minimalni polinom linearnog operatora L jeste minimalni polinom ma koje od njegovih matrica (koje su sve međusobno slične); istovremeno, to je i monični polinom p najmanjeg stepena takav da je p(L) = 0.

Minimalni i karakteristični polinom matrice imaju jednake skupove nula, pri čemu sa mogućno različitim višestrukostima. Drugi način da se iskaže ovo svojstvo jeste relacija

μ_A | φ_A | μ_Aⁿ.

Relacija μ_A | φ_A je posledica Kejli-Hamiltonove teoreme, prema kojoj je φ_A(A) = 0. Na osnovu ovog svojstva, minimalni polinom matrice se u praksi najčešće nalazi tako što se prvo izračuna i na činioce razloži njen karakteristični polinom, a zatim se minimalni polinom traži među njegovim deliteljima sa istim skupom nula. Minimalni polinom kvadratne matrice reda n je stepena najviše n.

Minimalni polinom, svojstvene vrednosti i kanonski oblici matrice

Nule karakterističnog, pa dakle i minimalnog, polinoma matrice su njene svojstvene vrednosti. Posebno, ako n × n matrica ima n različitih svojstvenih vrednosti λ₁, λ₂, ..., λ_n, tada se njen minimalni i karakteristični polinom podudaraju i oba su jednaka

(X − λ₁)⋅(X − λ₂) … (X − λ_n).

Opštije, svaka matrica ima Žordanovu normalnu formu, jednoznačno određenu do na redosled blokova, po nekoliko njih za svaku svojstvenu vrednost matrice, i koja joj je slična, te tako ima isti minimalni i karakteristični polinom. Ako matrica A ima svojstvene vrednosti λ₁, λ₂, …, λ_k sa algebarskim višestrukostima r₁, r₂, …, r_k (tako da je r₁ + r₂ + ... + r_k = n), i ako su, za svako 1 ≤ i ≤ k, ν₁(i) ≤ ν₂(i) ≤ …, ≤ ν_si(i) dimenzije Žordanovih blokova koji odgovaraju svojstvenoj vrednosti λ_i (tako da je ν₁(i) + ν₂(i) + ... + ν_si(i) = r_i), tada je

$\phi _{A}=(X-\lambda _{1})^{r_{1}}(X-\lambda _{2})^{r_{2}}\cdots (X-\lambda _{k})^{r_{k}}$, $\mu _{A}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{s_{1}}(1)}(X-\lambda _{2})^{\nu _{s_{2}}(2)}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{s_{k}}(k)}$.

Posebno se minimalni i karakteristični polinom matrice podudaraju ako i samo ako svakoj njenoj svojstvenoj vrednosti odgovara po tačno jedan Žordanov blok, odnosno ako i samo ako su geometrijske višestrukosti svih svojstvenih vrednosti (za svojstvenu vrednost λ_i to je s_i, broj odgovarajućih Žordanovih blokova) jednake 1.

Matrica je dijagonalizabilna nad nekim poljem F ako i samo ako je njen minimalni polinom proizvod različitih linearnih faktora nad F.

Matrice kod kojih se minimalni i karakteristični polinom podudaraju se pogodno karakterišu i kao upravo matrice koje su slične nekoj cikličnoj matrici; linearni operatori koji odgovaraju takvim matricama se i sami nazivaju cikličnim operatorima. Opštije, ako su A₁, A₂, ...., A_l kanonski ciklični blokovi matrice A i φ₁ | φ₂ | ... | φ_l njihovi karakteristični (i istovremeno minimalni) polinomi, tzv. invarijantni delitelji matrice A, tada je

φ_A = φ₁φ₂...φ_l,  μ_A = φ_l.

Uopštenja

Korišćenjem teorije Galua se ustanovljava da minimalni poliom matrice ne zavisi od polja nad kojim se ona posmatra: ako je K potpolje nekog polja L i A matrica nad poljem K, tada je minimalni polinom matrice A kao matrice nad poljem K istovremeno i njen minimalni polinom kao matrice nad poljem L.

Minimalni polinom se definiše i za matrice nad ma kojim glavnoidealskim prstenom S kao generator ideala polinoma koji poništavaju matricu A u prstenu polinoma S[X], za koji se dokazuje da je onda i sam glavnoidealski; u tom slučaju on je definisan jednoznačno do na množenje jedinicama prstena S.

Minimalni polinom se takođe može definisati i za linearne operatore L na prostorima proizvoljne (mogućno beskonačne) dimenzije kao monični polinom p najmanjeg stepena takav da je p(L) = 0, ako takav polinom postoji. Na primer, u funkcionalnoj analizi, svaki operator projekcije P u prostoru proizvoljne dimenzije je idempotentan, pa zadovoljava jednačinu P² − P = 0. Stoga je njegov minimalan polinom uvek jedan od polinoma X (za operator projekcije na nula-potprostor), X −1 (za identični operator) ili X² − X (za sve ostale operatore projekcije).