Nortonova teorema

U Evropi poznata kao Majer-Nortonova teorema, Nortonova teorema služi da za opisivanje sledećih svojstva električnih kola (pogledati sliku):

• Bilo koja linearno električno kolo sa naponskim i strujnim izvorima i samo otpornicima može da se zameni na svojim priključcima A-B sa ekvivalentnim strujnim izvorom I_NO u paralelnoj vezi sa ekvivalentnom otpornošću R_NO.
• Ova ekvivalentna struja I_NO je struja koja se dobija sa priključaka A-B električnog kola koje je kratko spojeno (otpor 0) na svojim priključcima A-B.
• Dobijeni ekvivalentni otpor R_NO je otpor koji se dobija na priključcima A-B električnog kola kada su svi njegovi naponski izvori kratko spojeni, a svi strujni izvori nepovezani.

Za kola sa naizmeničnom strujom, teorema je upotrebljiva za reaktivnu snagu, impedanse i rezistanse.

Ekvivalentno Nortonovo električno kolo se koristi da predstavi bilo koje električno kolo koje se sadrži od linearnih izvora na datoj frekvenciji.

Svaka crna kutija koja sadrži samo otpornike kao i naponske i strujne izvore može da se zameni sa ekvivalentnim električnim kolom koje se sastoji od ekvivalentnog izvora struje u paraleli sa ekvivalentnom otpornošću.

Nortonova teorema, i njoj slična Tevenenova teorema, se često koriste u pojednostavljenju analize električnih kola kao i za proučavanje početnih stanja kola i odziva na promene.

Do Nortonove teoreme su nezavisno nadošli 1926, godine Simensov istraživač Hans Ferdinad Mejer i inženjer iz Bel laboratorija Edvard Lavri Norton.

Da bi se izračunalo Nortonovo ekvivalentno električno kolo,

1. Naći Nortonovu struju I_No. Izračunati izlaznu struju I_AB, sa kratkim spojem kao spoljnim opterećenjem električnog kola (otporom 0 između priključaka A i B). Ovo daje struju I_No.
2. Izračunati Nortonov otpor R_No. Kada ne postoje zavisni izvori unutar kola (svi strujni i naponski izvori su nezavisni), postoje dve metode za utvrđivanje Nortonove impedanse R_No.

• Izračunati izlazni napon, V_AB, kada se kolo nalazi u otvorenom stanju (otpor je beskonačno veliki).R_No je jednak V_AB podeljenom strujom I_No.

ili

• Zameniti nezavisne naponske izvore kratkim spojem, a nezavisne strujne izvore otvorenim kolom. Ukupan otpor na priključcima A-B biće jednak Nortonovoj impedansi R_No.

Ovo je ekvivalentno izračunavanju ekvivalentnog Tevenenovog otpora.

Ali ukoliko postoje zavisni izvori, treba koristiti opštiju metodu. Ova metoda nije prikazana na slikama ispod.

• Povezati konstantan izvor struje na izlazne priključke električnog kola koji ima vrednost struje od 1 Ampera i izračunati napon na priključcima. Ovaj napon podeljen strujom od 1 A je Nortonova impedansa R_No. Ova metoda se mora koristiti ukoliko kolo sadrži zavisne izvore, ali može da se koristi u svim slučajevima čak i kada nema zavisnih izvora.

Primer ekvivalentnog Nortonovog električnog kola

Korak 0: Originalno električno kolo

Korak 1: Izračunavanje ekvivalentne izlazne struje

Korak 2: Izračunavanje ekvivalentne otpornosti

Korak 3: Ekvivalentno električno kolo

U primeru, ukupna struja I_total je data sa:

$I_{\mathrm {total} }={15\mathrm {V} \over 2\,\mathrm {k} \Omega +(1\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))}=5.625\mathrm {mA} .$

Struja kroz opterećenje je onda jednaka (korišćenjem strujnog razdelnika):

$I_{\mathrm {No} }={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}\cdot I_{\mathrm {total} }$

$=2/3\cdot 5.625\mathrm {mA} =3.75\mathrm {mA} .$

Ekvivalentna otpornost jednaka je:

$R_{\mathrm {eq} }=1\,\mathrm {k} \Omega +(2\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))=2\,\mathrm {k} \Omega .$

Dobija se da se ekvivalentno električno kolo sastoji iz izvora struje koji daje 3,75mA u paraleli sa otpornikom od 2 kΩ.

Konverzija u ekvivalentno Tevenenovo električno kolo

Ekvivalentno Nortonovo električno kolo je u odnosu sa ekvivalentnim Tevenenovim električnim kolom na sledeći način:

$R_{Th}=R_{No}\!$

$V_{Th}=I_{No}R_{No}\!$

${\frac {V_{Th}}{R_{Th}}}=I_{No}\!$

Vidi još

• Tevenenova teorema
• Omov zakon
• Kirhofovi zakoni

Literatura

• Brittain, J.E. (1990). „Thevenin's theorem”. IEEE Spectrum. 27 (3): 42. doi:10.1109/6.48845. Pristupljeno 1. 2. 2013. 
• Chandy, K. M.; Herzog, U.; Woo, L. (1975). „Parametric Analysis of Queuing Networks”. IBM Journal of Research and Development. 19 (1): 36—42. doi:10.1147/rd.191.0036. Arhivirano iz originala 25. 12. 2021. g. Pristupljeno 07. 01. 2022. 
• Dorf, Richard C.; Svoboda, James A. (2010). „Chapter 5 – Circuit Theorems”. Introduction to Electric Circuits (8th izd.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. str. 162—207. ISBN 978-0-470-52157-1. Arhivirano iz originala 30. 04. 2012. g. Pristupljeno 10. 11. 2013. 
• Gunther, N.J. (2004). Analyzing computer systems performance : with PERL::PDQ (Online-Ausg. izd.). Berlin: Springer. str. 281—. ISBN 978-3-540-20865-5. 
• Johnson, D.H. (2003). „Origins of the equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent” (PDF). Proceedings of the IEEE. 91 (4): 636—640. doi:10.1109/JPROC.2003.811716. 
• Johnson, D.H. (2003). „Origins of the equivalent circuit concept: the current-source equivalent” (PDF). Proceedings of the IEEE. 91 (5): 817—821. doi:10.1109/JPROC.2003.811795. 
• Mayer, H. F. (1926). „Ueber das Ersatzschema der Verstärkerröhre (On equivalent circuits for electronic amplifiers]”. Telegraphen- und Fernsprech-Technik. 15: 335—337. 
• Norton, E. L. (1926). „Technical Report TM26–0–1860 – Design of finite networks for uniform frequency characteristic”. Bell Laboratories. 

Spoljašnje veze

• Norton's theorem at allaboutcircuits.com