Orbitalni elementi

Svaka orbita je određena orbitalnim elementima ili parametrima koji tačno opisuju orbitu, kao i položaj tela na njoj.^[1] Orbitalnih elemenata ima šest i oni su: ekscentricitet, velika poluosa, inklinacija, longituda uzlaznog čvora, argument perihela, Apocentar i pericentar, i prava anomalija.

Keplerovi elementi [uredi | uredi izvor]

U ovom dijagramu, orbitalna ravan (žuta) seče referentnu ravan (siva). Za satelite koji kruže oko Zemlje, referentna ravan je obično Zemljina ekvatorijalna ravan, a za satelite u orbitama Sunca to je ravan ekliptike. Presek se naziva linija čvorova, jer povezuje centar mase sa uzlaznim i silažnim čvorovima. Referentna ravan, zajedno sa tačkom ravnodnevice (♈︎), uspostavlja referentni okvir.

Tradicionalni orbitalni elementi su šest Keplerovih elemenata, po Johanesu Kepleru i njegovim zakonima planetarnog kretanja.

Kada se posmatraju iz inercijalnog okvira, dva tela u orbiti ocrtavaju različite putanje. Svaka od ovih putanja ima fokus u zajedničkom centru mase. Kada se posmatra iz neinercijalnog okvira usredsređenog na jedno od tela, vidljiva je samo putanja suprotnog tela; Keplerovi elementi opisuju ove neinercijalne putanje. Orbita ima dva skupa Keplerovih elemenata u zavisnosti od toga koje telo se koristi kao referentna tačka. Referentno telo (obično najmasovnije) naziva se primarno, drugo telo se naziva sekundarno. Primarni ne mora nužno da poseduje veću masu od sekundarnog, a čak i kada su tela jednake mase, orbitalni elementi zavise od izbora primarnog.

Dva elementa definišu oblik i veličinu elipse:

Ekscentricitet ( $e$ ) — oblik elipse, koji opisuje koliko je izdužena u odnosu na krug (nije označeno na dijagramu).
Velika poluosa ( $a$ ) — zbir rastojanja periapse i apoapse podeljen sa dva. Za klasične orbite sa dva tela, velika poluosa je rastojanje između centara tela, a ne rastojanje tela od centra mase.

Dva elementa definišu orijentaciju orbitalne ravni u koju je ugrađena elipsa:

Inklinacija ( $i$ ) — vertikalni nagib elipse u odnosu na referentnu ravan, mereno u uzlaznom čvoru (gde orbita prolazi nagore kroz referentnu ravan, zeleni ugao $i$ na dijagramu). Ugao nagiba se meri normalno na liniju preseka između orbitalne i referentne ravni. Bilo koje tri tačke na elipsi će definisati orbitalnu ravan elipse. Ravan i elipsa su dvodimenzionalni objekti definisani u trodimenzionalnom prostoru.
Geografska dužina uzlaznog čvora ( $Ω$ ) — horizontalno orijentiše uzlazni čvor elipse (gde orbita prolazi nagore kroz referentnu ravan, simbolizovanu sa $☊$ ) u odnosu na tačku ravnodnevnice referentnog okvira (simbolizovanu sa ♈︎). Ovo se meri u referentnoj ravni i prikazano je kao zeleni ugao $Ω$ na dijagramu.

Preostala dva elementa su:

Argument perihela (ω) definiše orijentaciju elipse u orbitalnoj ravni, kao ugao meren od uzlaznog čvora do perihela (najbliža tačka kada satelitski objekat dolazi do primarnog objekta oko kojeg kruži, plavi ugao $ω$ u dijagram).
Prava anomalija ( $ν$ , $θ$ , ili $f$ ) u epohi ( $t 0$ ) definiše položaj tela u orbiti duž elipse u određeno vreme („epoha“).

Obavezni parametri[uredi | uredi izvor]

S obzirom na inercijalni referentni okvir i proizvoljnu epohu (određenu vremensku tačku), potrebno je tačno šest parametara da se nedvosmisleno definiše proizvoljna i neporemećena orbita.

To je zato što problem sadrži šest stepeni slobode. One odgovaraju trima prostornim dimenzijama koje definišu poziciju ( $x$ , $y$ , $z$ u Dekartovom koordinatnom sistemu), plus brzinu u svakoj od ovih dimenzija. Oni se mogu opisati kao vektori orbitalnog stanja, ali ovo je često nezgodan način za predstavljanje orbite, zbog čega se umesto njih obično koriste Keplerovi elementi.

Ponekad se epoha smatra „sedmim“ orbitalnim parametrom, a ne delom referentnog okvira.

Ako je epoha definisana u trenutku kada je jedan od elemenata nula, broj neodređenih elemenata se smanjuje na pet. (Šesti parametar je i dalje neophodan za definisanje orbite; on je samo numerički postavljen na nulu po konvenciji ili se „premešta“ u definiciju epohe u odnosu na vreme u stvarnom svetu.)

Alternativne parametrizacije[uredi | uredi izvor]

Keplerovi elementi se mogu dobiti iz orbitalnih vektora stanja (trodimenzionalni vektor za poziciju i drugi za brzinu) ručnim transformacijama ili pomoću kompjuterskog softvera.^[2]

Drugi parametri orbite mogu se izračunati iz Keplerovih elemenata kao što su period, apsida i perihel. (Kada kruže oko Zemlje, poslednja dva pojma su poznata kao apogej i perigej.) Uobičajeno je da se navede period umesto velike poluose u skupovima Keplerovih elemenata, pošto se svaki može izračunati iz drugog za dati standardni gravitacioni parametar, $GM$ , je dat za centralno telo.

Umesto srednje anomalije u epohi, može se koristiti srednja anomalija $M$ , srednja geografska dužina, prava anomalija $ν 0$ ili (retko) ekscentrična anomalija.

Korišćenje, na primer, „srednje anomalije“ umesto „srednje anomalije u epohi“ znači da vreme $t$ mora biti navedeno kao sedmi orbitalni element. Ponekad se pretpostavlja da je srednja anomalija nula u epohi (odabirom odgovarajuće definicije epohe), ostavljajući samo pet drugih orbitalnih elemenata da budu specificirani.

Za razna astronomska tela koriste se različiti skupovi elemenata. Ekscentricitet, $e$ , i velika poluosa, $a$ , ili rastojanje periapse, $q$ , koriste se za određivanje oblika i veličine orbite. Geografska dužina uzlaznog čvora, $Ω$ , inklinacija, $i$ , i argument periapse, $ω$ , ili geografska dužina periapse, $ϖ$ , određuju orijentaciju orbite u njenoj ravni. Geografska dužina u epohi, $L 0$ , srednja anomalija u epohi, $M 0$ , ili vreme prolaska perihela, $T 0$ , koriste se za specifikaciju poznate tačke u orbiti. Izbori zavise od toga da li se prolećna ravnodnevica ili čvor koristi kao primarna referenca. Velika poluosa je poznata ako su poznate srednje kretanje i gravitaciona masa.^[3]^[4]

Takođe je prilično uobičajeno videti ili srednju anomaliju ( $M$ ) ili srednju geografsku dužinu ( $L$ ) izraženu direktno, bez $M 0$ ili $L 0$ kao međukoraka, kao polinomsku funkciju u odnosu na vreme. Ovaj metod izražavanja će konsolidovati srednje kretanje ( $n$ ) u polinom kao jedan od koeficijenata. Izgledaće da su $L$ ili $M$ izraženi na složeniji način, ali će se činiti da je potreban jedan orbitalni element manje.

Srednje kretanje takođe može biti skriveno iza citata orbitalnog perioda $P$ .

Skupovi orbitalnih elemenata
Objekat	Upotrebljeni elementi
Glavna planeta	$e, a, i, Ω, ϖ, L 0$
Kometa	$e, q, i, Ω, ω, T 0$
Asteroid	$e, a, i, Ω, ω, M 0$
Dvopravni elementi	$e, i, Ω, ω, n, M 0$

Transformacije Ojlerovog ugla[uredi | uredi izvor]

Uglovi $Ω$ , $i$ , $ω$ su Ojlerovi uglovi (koji odgovaraju $α$ , $β$ , $γ$ u oznakama korišćenim u tom članku) koji karakterišu orijentaciju koordinatnog sistema

$x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ iz inercijalnog koordinatnog okvira $Î$ , $Ĵ$ , $K̂$

gde:

$Î$ , $Ĵ$ se nalazi u ekvatorijalnoj ravni centralnog tela. $Î$ je u pravcu prolećne ravnodnevice. $Ĵ$ je okomito na $Î$ i sa $Î$ definiše referentnu ravan. $K̂$ je upravno na referentnu ravan. Orbitalni elementi tela (planete, komete, asteroidi, ...) u Sunčevom sistemu obično koriste ekliptiku kao tu ravan.
$x̂$ , $ŷ$ su u orbitalnoj ravni i sa $x̂$ u pravcu ka pericentru (periapsis). $ẑ$ je upravno na ravan orbite. $ŷ$ je međusobno okomito na $x̂$ i $ẑ$ .

Zatim, transformacija iz $Î$ , $Ĵ$ , $K̂$ koordinatnog okvira u okvir $x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ sa Ojlerovim uglovima $Ω$ , $i$ , $ω$ je:

{\begin{aligned}x_{1}&=\cos \Omega \cdot \cos \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{2}&=\sin \Omega \cdot \cos \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{3}&=\sin i\cdot \sin \omega ;\\\,\\y_{1}&=-\cos \Omega \cdot \sin \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{2}&=-\sin \Omega \cdot \sin \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{3}&=\sin i\cdot \cos \omega \ ;\\\,\\z_{1}&=\sin i\cdot \sin \Omega \ ;\\z_{2}&=-\sin i\cdot \cos \Omega \ ;\\z_{3}&=\cos i\ ;\\\,\end{aligned}}

\left[{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\cos \omega &\sin \omega &0\\-\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos i&\sin i\\0&-\sin i&\cos i\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}\cos \Omega &\sin \Omega &0\\-\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,;

gde je

{\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} &=x_{1}\mathbf {\hat {I}} +x_{2}\mathbf {\hat {J}} +x_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {y}} &=y_{1}\mathbf {\hat {I}} +y_{2}\mathbf {\hat {J}} +y_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {z}} &=z_{1}\mathbf {\hat {I}} +z_{2}\mathbf {\hat {J}} +z_{3}\mathbf {\hat {K}} ~.\\\,\end{aligned}}

Inverzna transformacija, koja izračunava 3 koordinate u I-J-K sistemu date 3 (ili 2) koordinate u x-y-z sistemu, predstavljena je inverznom matricom. Prema pravilima matrične algebre, inverzna matrica proizvoda 3 rotacione matrice dobija se invertovanjem redosleda tri matrice i promenom predznaka tri Ojlerova ugla.

Transformacija od $x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ do Ojlerovih uglova $Ω$ , $i$ , $ω$ je:

{\begin{aligned}\Omega &=\operatorname {arg} \left(-z_{2},z_{1}\right)\\i&=\operatorname {arg} \left(z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}}\right)\\\omega &=\operatorname {arg} \left(y_{3},x_{3}\right)\\\,\end{aligned}}

gde $arg(x, y)$ označava polarni argument koji se može izračunati sa standardnom funkcijom atan2(y,x) dostupnom u mnogim programskim jezicima.

Reference[uredi | uredi izvor]

^ „Tutorial”. AMSAT. Keplerian elements. Arhivirano iz originala 2002-10-14. g.
^ For example, with „VEC2TLE”. amsat.org. Arhivirano iz originala 20. 05. 2016. g. Pristupljeno 26. 06. 2022.
^ Green, Robin M. (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23988-2.
^ Danby, J.M.A. (1962). Fundamentals of Celestial Mechanics. Willmann-Bell. ISBN 978-0-943396-20-0.

Literatura[uredi | uredi izvor]

R. Grin: „Astronomija: Klasika u novom ruhu“, Vesta, 1998.
Z. Brkić i B. Ševarlić: „Opšta astronomija“, Naučna knjiga, 1981.
Gurfil, Pini (2005). „Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits”. J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079—1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. doi:10.2514/1.14760.
„Tutorial”. AMSAT. Keplerian elements. Arhivirano iz originala 2002-10-14. g.

„FAQ”. Celestrak. Two-Line Elements. Arhivirano iz originala 2016-03-26. g.

Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981), Angular Momentum in Quantum Physics, Reading, MA: Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-13507-7
Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2nd izd.), Reading, MA: Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-02918-5
Gray, Andrew (1918), A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, London: Macmillan (objavljeno 2007), ISBN 978-1-4212-5592-7
Rose, M. E. (1957), Elementary Theory of Angular Momentum, New York, NY: John Wiley & Sons (objavljeno 1995), ISBN 978-0-486-68480-2
Symon, Keith (1971), Mechanics, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-07392-8
Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1996), Mechanics (3rd izd.), Oxford: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2896-9

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

„Orbits Tutorial”. marine.rutgers.edu. Arhivirano iz originala 19. 04. 2021. g. Pristupljeno 17. 01. 2022.
„Orbital elements visualizer”. orbitalmechanics.info.
Report No. 3 (PDF). celestrak (Izveštaj). Spacetrack. North American Aerospace Defense Command (NORAD).
„The JPL HORIZONS online ephemeris”.
„Mean orbital parameters”. ssd.jpl.nasa.gov. Planetary satellites. JPL / NASA.
„Introduction to exporting”. ssd.jpl.nasa.gov. JPL planetary and lunar ephemerides. JPL / NASA.
„State vectors: VEC2TLE”. MindSpring (software). Arhivirano iz originala 2016-03-03. g.
„Function 'iauPlan94'” (C software source). IAU SOFA C Library.

[1] „Tutorial”. AMSAT. Keplerian elements. Arhivirano iz originala 2002-10-14. g.

[2] For example, with „VEC2TLE”. amsat.org. Arhivirano iz originala 20. 05. 2016. g. Pristupljeno 26. 06. 2022.

[Green-3] Green, Robin M. (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23988-2.

[Danby-4] Danby, J.M.A. (1962). Fundamentals of Celestial Mechanics. Willmann-Bell. ISBN 978-0-943396-20-0.

[1]

[2]

[3]

[4]