Očekivana vrednost

U teoriji verovatnoće, očekivana vrednost (ili matematičko očekivanje) diskretne slučajne promenljive je zbir verovatnoća za svaki ishod pomnožen vrednošću tog ishoda. Očekivana vrednost predstavlja prosečnu vrednost koja se očekuje ako se slučajni eksperiment ponovi veliki broj puta. Treba imati u vidu da sama očekivana vrednost ne mora biti među vrednostima koje uzima slučajna promenljiva. Dobijanje očekivane vrednosti u pojedinačnom eksperimentu može biti vrlo retko, ili čak nemoguće.

Na primer, pri bacanju šestostrane numerisane kocke, očekivana vrednost je 3,5, što se dobija kao

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5,\end{aligned}}$

a to naravno nije jedan od mogućih ishoda.

Istorija

Ideja o očekivanoj vrednosti nastala je sredinom 17. veka iz proučavanja takozvanog problema poena, koji nastoji da na pravičan način podeli ulog između dva igrača, koji moraju da okončaju svoju igru pre nego što ona valjano završena. idea of the expected value originated in the middle of the 17th century from the study of the so-called [[]], which seeks to divide the stakes in a fair way between two players, who have to end their game before it is properly finished. O ovom problemu se raspravljalo vekovima. Mnogi suprotstavljeni predlozi i rešenja su sugerisani tokom godina od kada je problem Blezu Paskalu izneo francuski pisac i matematičar amater Ševalije de Mere 1654. Mere je tvrdio da se ovaj problem ne može rešiti i da je to pokazivalo koliko je matematika pogrešna kada dođe do njene primene u stvarnom svetu. Paskal, kao matematičar, bio je isprovociran i odlučan da reši problem jednom zauvek.

Počeo je da raspravlja o problemu u čuvenoj seriji pisama Pjer de Fermu. Ubrzo, oboje su nezavisno došli do rešenja. Zadatak su rešavali na različite računske načine, ali su njihovi rezultati bili identični jer su njihova izračunavanja bila zasnovana na istom fundamentalnom principu. Princip je da vrednost buduće dobiti treba da bude direktno proporcionalna šansi da se ona dobije. Činilo se da je ovaj princip došao prirodno za obojicu. Bili su veoma zadovoljni činjenicom da su našli suštinski isto rešenje, a to ih je zauzvrat učinilo apsolutno uverenim da su problem rešili na konačan način; međutim, svoje nalaze nisu objavili. O tome su obavestili samo uski krug zajedničkih naučnih prijatelja u Parizu.

U knjizi holandskog matematičara Kristijana Hajgensa, on je razmatrao problem tačaka i predstavio rešenje zasnovano na istom principu kao i rešenja Paskala i Ferma. Hajgens je 1657. objavio svoju raspravu (vidi Hajgens (1657)) „De ratiociniis in ludo aleæ“ o teoriji verovatnoće neposredno nakon posete Parizu. Knjiga je proširila koncept očekivanja dodavanjem pravila za izračunavanje očekivanja u komplikovanijim situacijama od prvobitnog problema (npr. za tri ili više igrača), i može se posmatrati kao prvi uspešan pokušaj postavljanja temelja teorije verovatnoće.

U predgovoru svoje rasprave, Hajgens je napisao:

Treba reći, takođe, da su se već neko vreme neki od najboljih matematičara Francuske bavili ovom vrstom računa, tako da niko ne bi smeo da mi pripisuje čast prvog pronalaska. Ovo ne pripada meni. Ali ti naučnici, iako su jedni druge stavljali na iskušenje predlažući mnoga teško rešiva pitanja, sakrili su svoje metode. Stoga sam morao da ispitam i duboko uđem u ovu materiju počevši od elemenata, i iz tog razloga mi je nemoguće da potvrdim da sam čak i pošao od istog principa. Ali konačno sam otkrio da se moji odgovori u mnogim slučajevima ne razlikuju od njihovih.

—  Edvards (2002)

Tokom svoje posete Francuskoj 1655. godine, Hajgens je saznao za de Mereov problem. Iz njegove prepiske sa Karkavinom godinu dana kasnije (1656), shvatio je da je njegov metod u suštini isti kao i Paskalov. Stoga je znao za Paskalov prioritet u ovoj temi pre nego što je njegova knjiga izašla u štampu 1657. godine.

Sredinom devetnaestog veka, Pafnutij Čebišev je postao prva osoba koja je sistematski razmišljala u smislu očekivanja slučajnih varijabli.

Etimologija

Paskal i Hajgens nisu koristili termin „očekivanje“ u njegovom modernom smislu. Hajgens specifično piše:

Da bilo koja Šansa ili Očekivanje da se dobije bilo koja stvar vredi upravo toliku Sumu, koju bi stekli u istoj Šansi i Očekivanju na poštenom bacanju. ... Ako očekujem a ili b, i imam jednake šanse da ih dobijem, moje očekivanje vredi (a+b)/2.

Više od sto godina kasnije, 1814. godine, Pjer-Simon Laplas je objavio svoj traktat „Analitička teorija verovatnoće“, gde je koncept očekivane vrednosti eksplicitno definisan:

... ova prednost u teoriji slučaja je proizvod očekivane sume putem verovatnoće njenog dobijanja; to je delimični zbir koji bi trebalo da nastane kada ne želimo da rizikujemo događaj u pretpostavci da je podela proporcionalna verovatnoći. Ova podela je jedina pravična kada se eliminišu sve čudne okolnosti; jer jednak stepen verovatnoće daje jednako pravo na sumu kojoj se nada. Ovu prednost ćemo nazvati matematičkom nadom.

Notations

Upotreba slova E za označavanje očekivane vrednosti datira još od V. A. Vitvorta 1901. godine. Simbol je od tada postao popularan za engleske pisce. Na nemačkom, E glasi „Erwartungswert“, na španskom „Esperanza matemática“, a na francuskom „Espérance mathématique“.

Kada se „E“ koristi za označavanje očekivane vrednosti, autori koriste različite stilizacije: operator očekivanja može biti stilizovan kao E (uspravno), E (kurziv) ili $\mathbb {E}$ (podebljano na tabli), dok se koriste razne oznake zagrada (kao što su E(X), E[X], i EX).

Još jedna popularna notacija je μ_X, dok se ⟨X⟩, ⟨X⟩_av i ${\overline {X}}$ obično koriste u fizici, i M(X) u literaturi na ruskom jeziku.

Matematička definicija

Kao što je objašnjeno u nastavku, postoji nekoliko kontekstno zavisnih načina definisanja očekivane vrednosti. Najjednostavnija i originalna definicija bavi se slučajem konačnog broja mogućih ishoda, kao što je bacanje novčića. Sa teorijom beskonačnih serija, ovo se može proširiti na slučaj nebrojeno mnogo mogućih ishoda. Takođe je veoma uobičajeno da se razmatra poseban slučaj slučajnih promenljivih koje diktiraju (komadno) neprekidne funkcije gustine verovatnoće, jer one nastaju u mnogim prirodnim kontekstima. Sve ove specifične definicije mogu se posmatrati kao posebni slučajevi opšte definicije zasnovane na matematičkim alatima teorije mere i Lebegove integracije, koji ovim različitim kontekstima daju aksiomatsku osnovu i zajednički jezik.

Svaka definicija očekivane vrednosti može se proširiti da definiše očekivanu vrednost višedimenzionalne slučajne promenljive, tj. slučajnog vektora X. Definisan je komponenta po komponenta, kao E[X]_i = E[X_i]. Slično, može se definisati očekivana vrednost slučajne matrice X sa komponentama X_ij sa E[X]_ij = E[X_ij].

Uopšteno, ako je $X\,$ slučajna promenljiva definisana prostorom verovatnoće $(\Omega ,\Sigma ,P)\,$, tada je očekivana vrednost za $X\,$ (u oznaci $\operatorname {E} (X)\,$) definisana kao:$\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P\$, gde se koristi Lebegov integral. Nemaju sve slučajne promenljive očekivane vrednosti, jer integral ne mora da postoji (na primer, Košijeva raspodela).

Slučajne promenljive sa konačno mnogo ishoda

Razmotrimo slučajnu promenljivu X sa konačnom listom x₁, ..., x_k mogućih ishoda, od kojih svaki (respektivno) ima verovatnoću p₁, ..., p_k da se dogodi. Očekivanje X je definisano kao

$\operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.$

Pošto verovatnoće moraju da zadovolje p₁ + ⋅⋅⋅ + p_k = 1, prirodno je tumačiti E[X] kao ponderisani prosek vrednosti x_i, sa težinama datim njihovim verovatnoćama p_i.

U posebnom slučaju da su svi mogući ishodi jednako verovatni (tj. p₁ = ⋅⋅⋅ = p_k), ponderisani prosek je dat standardnom aritmetičkom sredinom. U opštem slučaju, očekivana vrednost uzima u obzir činjenicu da su neki ishodi verovatniji od drugih.

Očekivane vrednosti uobičajenih distribucija

Sledeća tabela daje očekivane vrednosti nekih uobičajenih distribucija verovatnoće. Treća kolona daje očekivane vrednosti kako u obliku koji je neposredno dat definicijom, tako i u pojednostavljenom obliku dobijenom izračunavanjem iz nje. Detalji ovih proračuna, koji nisu uvek jednostavni, mogu se naći u navedenim referencama.

Raspodela	Notacija	Srednja vrednost E(X)
Bernulijeva	$X\sim ~b(1,p)$	$0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$
Binomna	$X\sim B(n,p)$	$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=np$
Poasonova	$X\sim \mathrm {Po} (\lambda )$	$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {ie^{-\lambda }\lambda ^{i}}{i!}}=\lambda$
Geometrijska	$X\sim \mathrm {Geometric} (p)$	$\sum _{i=1}^{\infty }ip(1-p)^{i-1}={\frac {1}{p}}$
Uniformna	$X\sim U(a,b)$	$\int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}$
Eksponencijalne	$X\sim \exp(\lambda )$	$\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}$
Normalna	$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\,dx=\mu$
Standardna normalna	$X\sim N(0,1)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}/2}\,dx=0$
Pareto	$X\sim \mathrm {Par} (\alpha ,k)$	$\int _{k}^{\infty }\alpha k^{\alpha }x^{-\alpha }\,dx={\begin{cases}{\frac {\alpha k}{\alpha -1}}&\alpha >1\\\infty &0\leq \alpha \leq 1.\end{cases}}$
Košijeva	$X\sim \mathrm {Cauchy} (x_{0},\gamma )$	${\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma x}{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx$ ne nedefinisano

Literatura

• Edwards, A.W.F (2002). Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea (2nd izd.). JHU Press. ISBN 0-8018-6946-3. 
• Huygens, Christiaan (1657). De ratiociniis in ludo aleæ (English translation, published in 1714). 
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (Third edition of 1979 original izd.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. MR 1324786. 
• Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical inference. Duxbury Advanced Series (Second edition of 1990 original izd.). Pacific Grove, CA: Duxbury. ISBN 0-534-11958-1. 
• Feller, William (1968). An introduction to probability theory and its applications. Volume I (Third edition of 1950 original izd.). New York–London–Sydney: John Wiley & Sons, Inc. MR 0228020. 
• Feller, William (1971). An introduction to probability theory and its applications. Volume II (Second edition of 1966 original izd.). New York–London–Sydney: John Wiley & Sons, Inc. MR 0270403. 
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions. Volume 1. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (Second edition of 1970 original izd.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-58495-9. MR 1299979. 
• Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Probability, random variables, and stochastic processes (Fourth edition of 1965 original izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-366011-6.  Šablon:Erratum
• Ross, Sheldon M. (2019). Introduction to probability models (Twelfth edition of 1972 original izd.). London: Academic Press. ISBN 978-0-12-814346-9. MR 3931305. doi:10.1016/C2017-0-01324-1. 

Spoljašnje veze

• „Expected Value | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-21.