Ojlerova formula

Ovaj članak objašnjava Ojlerovu formulu u oblasti kompleksne analize. Za Ojlerovu formulu u teoriji grafova i poliedarskoj kombinatorici videti članak Ojlerova karakteristika.

Ojlerova formula, koja je dobila ime po švajcarskom matematičaru Leonardu Ojleru povezuje trigonometrijske funkcije sa kompleksnim eksponentima, a tvrdi da za bilo koji realni broj x važi,

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\!$

gde je e osnova prirodnog logaritma, i imaginarna jedinica, a cos i sin trigonometrijske funkcije (ovde se podrazumeva da se pri izračunavanju sinusa i kosinusa ugao x izražava u radijanima, a ne u stepenima). Formula važi i ako je x kompleksan broj, pa, zbog toga, neki autori pod Ojlerovom formulom podrazumevaju njenu uopštenu kompleksnu varijantu.

Ojlerova formula je sveprisutna u matematici, fizici i inženjerstvu. Ričard Fajnman je nazvao Ojlerovu formulu „našim draguljem“ i „najznačajnijom formulom u matematici“.

Kada je x = π, Ojlerova formula postaje e^iπ + 1 = 0, što je poznato kao Ojlerov identitet.

Istorija

Bernuli je oko 1702. godine zapisao

${\frac {dx}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{1-ix}}+{\frac {dx}{1+ix}}\right)$.

i

$\int {\frac {dx}{1+x}}=\ln(1+x),$

Navedene jednakosti daju uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernuli, međutim, nije ocenio celinu. Njegovo dopisivanje s Ojlerom (koji je takođe poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine.

Ojlerovu formulu je prvi dokazao engleski matematičar Rodžer Kouts 1714. godine. On je izneo je geometrijski argument koji se može tumačiti (nakon korekcije pogrešno postavljenog faktora ${\sqrt {-1}}$) kao:

$\ln(\cos(x)+i\sin(x))=ix\$

gde je ln prirodni logaritam, odnosno logaritam sa osnovom e.

Ojler je prvi objavio jednakost u njenom današnjem obliku 1748. godine, zasnivajući svoj dokaz na činjenici da su beskonačni redovi na koje se mogu razložiti obe strane jednakosti međusobno jednaki. Međutim, nijedan od njih nije video geometrijsko tumačenje formule: predstavljanje kompleksnih brojeva kao tačaka u kompleksnoj ravni će se pojaviti u matematici tek 50 godina kasnije, zahvaljujući Kasparu Veselu. Ojler je smatrao prirodnim uvođenje kompleksnih brojeva mnogo ranije u matematičkom obrazovanju nego što se to danas čini. U svom elementarnom udžbeniku algebre, on ih uvodi na početku i zatim ih koristi na prirodan način kroz celu knjigu.

Definicije kompleksnih eksponiranja

Eksponencijalna funkcija e^x za realne vrednosti od x može biti definisana na nekoliko različitih ekvivalentnih načina (pogledajte karakterizaciju eksponencijalne funkcije). Nekoliko ovih metoda može se direktno proširiti tako da daju definicije od e^z za kompleksne vrednosti od z jednostavnim zamenom z umesto x i korišćenjem kompleksnih algebarskih operacija. Konkretno može se koristiti bilo koja od tri sledeće definicije, koje su ekvivalentne. Iz naprednije perspektive, svaka od ovih definicija može se protumačiti kao davanje jedinstvene analitičke kontinuacije od e^x na kompleksnoj ravni.

Definicija diferencijalne jednačine

Eksponencijalna funkcija $z\mapsto e^{z}$ je jedistvena diferencijabilna funkcija kompleksne promenljive za koju važi

${\frac {de^{z}}{dz}}=e^{z}$

i

$e^{0}=1.$

Definicija stepenog reda

Za kompleksni broj z

$e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Koristeći D'Alamberov test, može se pokazati da ovaj stepeni red ima beskonačan radijus konvergencije i stoga definiše e^z za svako kompleksno z.

Definicija limita

Za kompleksni broj z

$e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

Ovde je n ograničeno na pozitivne cele brojeve, tako da nije upitno šta označava n stepen eksponenta.

Dokazi

Animacija dokaza upotrebom Tejlorove serije.

Mogući su različiti dokazi o formule.

Korištenje diferencijacije

Ovaj dokaz pokazuje da je količnik trigonometrijskih i eksponencijalnih izraza konstantna funkcija, te oni moraju biti jednaki (eksponencijalna funkcija nikada nije nula, tako da je ovo dozvoljeno).

Neka je f(θ) funkcija

$f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )$

za realno θ. Diferencirajući, dobija se primenom pravila proizvoda

$f'(\theta )=e^{-i\theta }(i\cos \theta -\sin \theta )-ie^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )=0$

Stoga je f(θ) konstanta. Kako je f(0) = 1, onda je f(θ) = 1 za svako realno θ, i sledi

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

Korištenje stepenih redova

Ovo je dokaz za Eulerovu formulu koja koristi proširenja stepenog niza, kao i osnovne činjenice o stepenima od i:

${\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}$

Koristeći sada gore pomenutu definiciju stepene serije, vidi se da je za realne vrednosti od x

${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}$

pri čemu se u zadnjem koraku prepoznaju dva člana koja su Maklorenovi redovi za cos x i sin x. Preuređivanje članova je opravdano, jer je svaka serija apsolutno konvergentna.

Korištenje polarnih koordinata

Još jedan dokaz je baziran na činjenici da se svi kompleksni brojevi mogu izraziti u polarnim koordinatama. Stoga, za neko r i θ zavisno od x, važi

$e^{ix}=r(\cos \theta +i\sin \theta ).$

Ne prave se pretpostavke o r i θ; oni se utvrđuju u toku dokazivanja. Iz bilo koje definicije eksponencijalne funkcije može se pokazati da je derivat od e^ix jednak ie^ix. Stoga, diferencijacija obe strane daje

$ie^{ix}=(\cos \theta +i\sin \theta ){\frac {dr}{dx}}+r(-\sin \theta +i\cos \theta ){\frac {d\theta }{dx}}.$

Oduzimajući r(cos θ + i sin θ) za e^ix i izjednačavajući realne i imaginarne delove u ovoj formuli daje dr/dx = 0 i dθ/dx = 1. Sled da je r konstanta, a θ je x + C za istu konstantu C. Inicijalne vrednosti r(0) = 1 i θ(0) = 0 dolaze od e⁰ⁱ = 1, dajući r = 1 i θ = x. Time se dokazuje formula

$e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.$

Aplikacije

Primene u teoriji kompleksnih brojeva

Ojlerova formula

Trodimenzionalna vizuelizacija Ojlerove formule. Takođe pogledajte cirkularnu polarizaciju.

Interpretacija formule

Ova formula se može protumačiti kao da je funkcija e^iφ jedinični kompleksni broj, tj. ona prati jedinični krug u kompleksnoj ravni kako se φ kreće kroz realne brojeve. Ovde je φ ugao koji linija koja povezuje koordinatni početak sa tačkom na jediničnoj kružnici pravi sa pozitivnom realnom osom, mereno u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu i u radijanima.

Originalni dokaz je zasnovan na proširenjima Tejlorove serije eksponencijalne funkcije e^z (gde je z kompleksni broj) i sin x, a cos x za realne brojeve x (pogledajte ispod). Zapravo, isti dokaz pokazuje da Ojlerova formula važi čak i za sve kompleksne brojeve x.

Tačka u kompleksnoj ravni može se predstaviti kompleksnim brojem zapisanim u kartezijanskim koordinatama. Ojlerova formula pruža sredstvo za konverziju između kartezijanskih koordinata i polarnih koordinata. Polarni oblik pojednostavljuje matematiku kada se koristi za množenje ili stepenovanje kompleksnih brojeva. Bilo koji kompleksni broj z = x + iy, i njegov kompleksno konjugovani broj z = x − iy, mogu se zapisati kao

${\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}$

gde je

x = Re z realni deo,

y = Im z imaginarni deo,

r = |z| = √x² + y² je magnituda od z i

φ = arg z = atan2(y, x).

φ je argument od z, tj. ugao između x ose i vektora z merenog suprotno smeru kazaljki na satu u radijanima, koji je definisan do adicije 2π. Mnogi tekstovi navode φ = tan⁻¹ y/x umesto φ = atan2(y,x), ali prvu jednačinu treba prilagoditi kada je x ≤ 0. To je zato što se za bilo koje realno x i y, koji nisu nula, uglovi vektora (x, y) i (−x, −y) razlikuju za π radijana, ali imaju identičnu vrednost za tan φ = y/x.

Upotreba formule za definisanje logaritma kompleksnih brojeva

Sada, uzimajući ovu izvedenu formulu, Ojlerova formul se može koristiti da se definiše logaritam kompleksnog broja. Da bi se to uradilo, koristi se definicija logaritma (kao inverzni operator potenciranja):

$a=e^{\ln a},$

kao i da je

$e^{a}e^{b}=e^{a+b},$

Ova dva izraza su validna za bilo koji par kompleksnih brojeva a i b. Stoga se može napisati:

$z=|z|e^{i\varphi }=e^{\ln |z|}e^{i\varphi }=e^{\ln |z|+i\varphi }$

za svako z ≠ 0. Logaritmujući obe strane dobija se

$\ln z=\ln |z|+i\varphi ,$

i to se može koristiti kao definicija za kompleksni logaritam. Logaritam kompleksnog broja je stoga multivrednosna funkcija, jer φ ima više vrednosti.

Konačno, važe i druga pravila eksponenciranja

$\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},$

za koje se može videti da važe za sve cele brojeve k, zajedno sa Ojlerovom formulom. To podrazumeva nekoliko trigonometrijskih identiteta, kao i Moavrovu formulu.

Odnos prema trigonometriji

Odnos između sinusa, kosinusa i eksponencijalne funkcije

Ojlerova formula pruža moćnu vezu između analize i trigonometrije, i omogućava interpretaciju sinusnih i kosinusnih funkcija kao ponderisanih suma eksponencijalne funkcije:

${\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}$

Dve gornje jednačine se mogu izvesti dodavanjem ili oduzimanjem Ojlerovih formula:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}$

i rešavanjem za bilo kosinus ili sinus.

Ove formule mogu čak poslužiti kao definicija trigonometrijskih funkcija sa kompleksnim argumentima x. Na primer, uzimajući x = iy, dobija se:

${\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}$

Kompleksni eksponencijali mogu pojednostaviti trigonometriju, jer je njima lakše manipulisati nego njihovim sinusoidnim komponentama. Jedna od tehnika je jednostavno pretvaranje sinusoida u ekvivalentne izraze u vidu eksponenata. Nakon manipulacija, pojednostavljeni rezultat je i dalje realno-vrednostan. Na primer:

${\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg )}.\end{aligned}}$

Još jedna tehnika je predstavljanje sinusoida u vidu realnog dela kompleksnog izraza i izvođenje manipulacija na kompleksnom izrazu. Na primer:

${\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}$

Ova formula se koristi za rekurzivnu generaciju cos nx za celobrojne vrednosti n i arbitrarno x (u radijanima).

Vidi još

• Leonard Ojler
• Kompleksan broj
• Eksponencijalna funkcija
• Trigonometrija

Literatura

• Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. str. 7. ISBN 978-981-02-4780-5. 
• Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. str. 22—10. ISBN 978-0-201-02010-6. 
• Stillwell, John (2002). Mathematics and Its History. Springer. 

Spoljašnje veze

• Džulijus Smit III, Dokaz Ojlerove formule (jezik: engleski)
• Ojlerova formula i Fermaova poslednja teorema (jezik: engleski)
• Vizuelna reprezentacija Ojlerove formule (jezik: engleski)
• Elements of Algebra