Parabolični cilindrični koordinatni sistem

Parabolični cilindrični koordinatni sistem je trodimenzionalni koordinatni sistem. Nastaje projekcijom dvodimenzionalnoga paraboličkoga koordinatnoga sistema u smeru $z$-osi. Koordinatne površi su zbog toga konfokalni parabolički cilindri.

Definicija

Paraboličke cilindrične koordinate $(\sigma ,\tau ,z)$ definišu se pomoću kartezijevih koordinata kao:

$x=\sigma \tau \,$

$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$

$z=z\,$

Površi konstantnoga $\sigma$ oblikuju konfokalne parabolične cilindre:

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

koje su otvorene nagore. S druge strane površi konstantnoga $\tau$ oblikuju konfokalne parabolične cilindre:

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

koji su otvoreni u suprotnom smeru. Polumer r ima jednostavnu formulu:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$

koja je korisna za rešavanje Hamilton-Jakobijeve jednačine u paraboličkim koordinatama.

Lameovi kooeficijenti

Lameovi kooeficijenti za paraboličke cilindričke koordinate $\sigma$ i $\tau$ su:

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{z}=1\,$.

Infinitezimalni element zapremine je:

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$

a Laplasijan je dan sa:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

Parabolični cilindrični harmonici

Laplasova jednačina u paraboličnom cilindričnom sistemu može da se reši separacijom varijabli, pa se rešenje Laplasove jednačine može pretpostaviti kao:

$V=S(\sigma )\,T(\tau )\,Z(z)$

a Laplasova jednačina se nakon deljenja sa V piše kao:

${\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$

Pošto je deo po Z  dade separirati onda možemo da pišemo:

${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}$

Drugi deo može da se napiše kao:

$\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})$

Taj deo opet može da se separira na dva dela odnosno na:

${\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0$

${\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0$

Rešenja te tri različite separirane jednačine je:

$Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}\,$

$S_{mn}(\sigma )=A_{3}\,y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}\,y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})$

$T_{mn}(\tau )=A_{5}\,y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}\,y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})$

Rešenja druge i treće jednačine predstavljaju paraboličke cilindrične funkcije. Konačno rešenje je oblika:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}\,$

Literatura

• Parabolične cilindrične koordinate
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X