Pravougaonik

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

Pravougaonik
Pravougaonik
Tipčetvorougao, trapez, paralelogram, ortotop
Ivice i temena4
Simbol Šlefli{ } × { }
Dijagram Kokstera
Simetrična grupaDiedralna (D2), [2], (*22), order 4
Dvostruki mnogougaoromb
Svojstvakonveksan, izogonalan, cikličan Suprotni uglovi i stranice su podudarni
Pravougaonik. Stranice su mu a i b, dijagonala je označena sa d, a temena su mu A, B, C i D

Pravougaonik je četvorougaona geometrijska figura u ravni. Spada u klasu paralelograma, a sledeća dva pravila važe za svaki pravougaonik: naspramne stranice su po dužini jednake i paralelne, i susedne stranice su normalne jedna na drugu (zaklapaju ugao od 90°). Tačan izgled jednog pravougaonika je određen njegovom širinom (označeno sa a na slici desno) i njegovom dužinom (označeno sa b na slici desno). Specijalan slučaj pravougaonika kome su sve stranice jednake se naziva kvadrat.[1][2][3]

Reč pravougaonik potiče od latinskog rectangulus, što je kombinacija rectus (kao pridev, uspravan, prav) i angulus (ugao).

Ukršteni pravougaonik je samopresecajući četvorougao koji se sastoji od dve suprotne stranice pravougaonika zajedno sa dve dijagonale[4] (dakle, samo dve stranice su paralelne). To je poseban slučaj antiparalelograma, a njegovi uglovi nisu pravi uglovi i nisu svi jednaki, iako su suprotni uglovi jednaki. Druge geometrije, kao što su sferna, eliptična i hiperbolička, imaju takozvane pravougaonike sa suprotnim stranicama jednake dužine i jednakim uglovima koji nisu pravi uglovi.

Karakterizacije[uredi | uredi izvor]

Konveksni četvorougao je pravougaonik ako i samo ako važi jedno od sledećeg:[5][6]

  • paralelogram sa najmanje jednim pravim uglom
  • paralelogram sa dijagonalama jednake dužine
  • paralelogram ABCD gde su trouglovi ABD i DCA podudarni[7]
  • jednakougaoni četvorougao
  • četvorougao sa četiri prava ugla
  • četvorougao gde su dve dijagonale jednake po dužini i dele jedna drugu na pola[8]
  • konveksan četvorougao sa uzastopnim stranicama a, b, c, d čija je površina .[9]‍:fn.1
  • konveksan četvorougao sa uzastopnim stranicama a, b, c, d čija je površina [9]

Formule[uredi | uredi izvor]

  • Površina pravougaonika je P = ab
  • Obim pravougaonika je O = 2(a+b)
  • Poluobim pravougaonika je S = (a+b)
  • Uglovi između stranica i dijagonala: φ1 = arctg(b/a) i φ1 = arctg(a/b); φ1 + φ2 = π/2.
  • Uglovi između dijagonala Θ1 = π - 2φ1 i Θ2 = π - 2φ2; Θ1 + Θ2 = π
  • r (poluprečnik opisane kružnice) : r =

Dijagonala pravougaonika[uredi | uredi izvor]

Dijagonala pravougaonika je duž koja spaja dva njegova temena koja nemaju ni jednu zajedničku stranicu. Pravougaonik ima tačno dve dijagonale, i one su jednakih dužina:

Konstrukcije pravougaonika[uredi | uredi izvor]

Dve stranice[uredi | uredi izvor]

Date su dužine stranica a i b. Jedno rešenje:

  1. Konstruisati duž AB dužine a.
  2. U tački A, normalno na AB, konstruisati duž AD dužine b.
  3. Povući duž DB.
  4. Simetrala tačke A u odnosu na središte DB će biti C.

Umesto koraka 3 i 4 može se konstruisati duž BC, dužine a i normalna na AC, tako da ugao ABC bude matematički negativno orijentisan.

Stranica i ugao između nje i dijagonale[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da su dati stranica AB i ugao α.

  1. Konstruisati duž AB
  2. Iz tačke A konstruisati polupravu s koja sa AB zaklapa ugao α, tako da je ugao BAs pozitivno orijentisan.
  3. Iz tačke B konstruisati normalu н na AB.
  4. Presek n i s obeležiti kao C.
  5. U A konstruisati polupravu n1 normalnu na AB, tako da je ugao ABn1 pozitivno orijentisan
  6. U A konstruisati krug k poluprečnika BC.
  7. Presek n1 i kje D.

Ukoliko su dati stranica AB i ugao β između druge stranice nje i dijagonale, ugao α je jednak 90° - β.

Stranica i dijagonala[uredi | uredi izvor]

Ako su date stranca, na primer AB, i dužina dijagonale pravougaonika d, konstrukcija ima sledeći tok:

  1. Konstruisati duž dužine d i nazvati joj temena A i C.
  2. Konstruisati krug k1 koji za prečnik ima duž AC.
  3. U tački A konstruisati krug k2 poluprečnika AB.
  4. Krug k2 će seći k1 u dve tačke. Jedna od ove dve treba da dobije ime B tako da je ugao ABC negativno matematički orijentisan
  5. Od B treba povući polupravu kroz središte AC. Presek ove poluprave sa krugom k1 će biti tačka D.

Ostali pravougaonici[uredi | uredi izvor]

Sedlasti pravougaonik ima 4 neplanarna vrha, naizmenično od vrhova kvadra, sa jedinstvenom minimalnom unutrašnjošću površine definisanom kao linearna kombinacija četiri temena, stvarajući površinu sedla. Ovaj primer prikazuje 4 plave ivice pravougaonika i dve zelene dijagonale, a sve su dijagonale kuboidnih pravougaonih lica.

U sfernoj geometriji, sferni pravougaonik je figura čije su četiri ivice veliki kružni lukovi koji se sastaju pod jednakim uglovima većim od 90°. Suprotni lukovi su jednaki po dužini. Površina sfere u euklidskoj čvrstoj geometriji je neeuklidska površina u smislu eliptičke geometrije. Sferna geometrija je najjednostavniji oblik eliptičke geometrije.

U eliptičkoj geometriji, eliptični pravougaonik je figura u eliptičnoj ravni čije su četiri ivice eliptični lukovi koji se sastaju pod jednakim uglovima većim od 90°. Suprotni lukovi su jednaki po dužini.

U hiperboličnoj geometriji, hiperbolički pravougaonik je figura u hiperboličnoj ravni čije su četiri ivice hiperbolički lukovi koji se sastaju pod jednakim uglovima manjim od 90°. Suprotni lukovi su jednaki po dužini.

Teselacije[uredi | uredi izvor]

Pravougaonik se koristi u mnogim periodičnim obrascima teselacije, u zidanju, na primer, ovim pločicama:


Naslagana veza
Tekuća veza
Pletena košara
Pletena košara
Patern riblje kosti

Kvadratni, savršeni i drugi popločani pravougaonici[uredi | uredi izvor]

Savršen pravougaonik reda 9

Za pravougaonik popločan kvadratima, pravougaonicima ili trouglovima se kaže da je pravougaonik „kvadratni“, „pravougaoni“ ili „trougaoni“. Popločani pravougaonik je savršen[10][11] ako su pločice slične i ograničenog broja i nema dve pločice iste veličine. Ako su dve takve pločice iste veličine, pločica je nesavršena. U savršenom (ili nesavršenom) trouglom pravougaoniku trouglovi moraju biti pravougli. Baza podataka svih poznatih savršenih pravougaonika, savršenih kvadrata i srodnih oblika može se naći na squaring.net.[12] Najmanji broj kvadrata koji je potreban za savršeno popločavanje pravougaonika je 9,[13] a najmanji broj potreban za savršeno popločavanje kvadrata je 21, pronađen 1978. kompjuterskom pretragom.[14]

Pravougaonik ima samerljive stranice ako i samo ako je popločan konačnim brojem nejednakih kvadrata.[10] Isto važi i ako su pločice nejednaki jednakokraki pravougli trouglovi.

Popločavanje pravougaonika drugim pločicama koje su privukle najveću pažnju su one kongruentnim nepravougaonim poliomima, dozvoljavajući sve rotacije i refleksije. Postoje i popločavanja kongruentnim poliabolima.[15][16][17]

Junikod[uredi | uredi izvor]

  • U+25AC ▬ Crni pravugaonik
  • U+25AD ▭ Beli pravugaonik
  • U+25AE ▮ Crni vertikalni pravougaonik
  • U+25AF ▯ Beli vertikalni pravougaonik

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ „Archived copy” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 2014-05-14. g. Pristupljeno 2013-06-20. 
  2. ^ Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.
  3. ^ Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.
  4. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401—450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
  5. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.
  6. ^ Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19. 8. 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. str. 53—. ISBN 978-0-88385-763-2. Pristupljeno 2011-11-13. 
  7. ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. str. 167. Arhivirano iz originala 29. 10. 2013. g. Pristupljeno 2. 6. 2017. 
  8. ^ Gerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, p. 56.
  9. ^ a b Josefsson Martin (2013). „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 17—21. 
  10. ^ a b R.L. Brooks; C.A.B. Smith; A.H. Stone; W.T. Tutte (1940). „The dissection of rectangles into squares”. Duke Math. J. 7 (1): 312—340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9. 
  11. ^ J.D. Skinner II; C.A.B. Smith; W.T. Tutte (novembar 2000). „On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 80 (2): 277—319. doi:10.1006/jctb.2000.1987 Slobodan pristup. 
  12. ^ squaring.net
  13. ^ Sloane, N. J. A. (ur.). „Sequence A219766 (Number of nonsquare simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  14. ^ „Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples”. www.squaring.net. Pristupljeno 2021-09-26. 
  15. ^ Gardner, Martin (jun 1967). „The polyhex and the polyabolo, polygonal jigsaw puzzle pieces”. Scientific American. 216 (6): 124—132. 
  16. ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton University Press. str. 101. ISBN 0-691-02444-8. 
  17. ^ Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, ur. (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. str. 349. ISBN 1-58488-301-4. 

Literatura[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Pravougaonik na Vikimedijinoj ostavi.
Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Правоугаоник&oldid=27552804”