Prekidi funkcije

U matematičkoj analizi, za funkciju se kaže da ima prekid u nekoj tački x₀ ako nije neprekidna u x₀.

Funkciju koja ima prekid se može zamisliti tako da kada se crta njen grafik, mora se podići olovka sa papira da bi se nacrtao ceo grafik. Ovo objašnjenje treba shvatiti strogo intuitivno, jer se i grafik nekih neprekidnih funkcija crta sa podizanjem olovke.

Funkcija sa prekidom[uredi | uredi izvor]

Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ je neprekidna u tački $x_{0}\in X$ , ako je:

(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon )

Negacijom ove definicije dobijamo: Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ ima prekid u tački $x_{0}\in X$ , ako je:

(\exists \varepsilon >0)(\forall \delta >0)(\exists x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \land |f(x)-f(x_{0})|\geq \varepsilon )

Vrste prekida[uredi | uredi izvor]

Definicija: Postoje dve vrste prekida:

Prekid prve vrste:

Kada postoje konačne granične vrednosti $\lim _{x\rightarrow x_{0}+}{f(x)}$ i $\lim _{x\rightarrow x_{0}-}{f(x)}.$
Kada je tačka $x_{0}$ tačka nagomilavanja jednog od skupova $x\in X,x>x_{0}$ ili $x\in X,x<x_{0}$ i postoji odgovarajući od ta dva limesa $\lim _{x\rightarrow x_{0}+}f(x)$ i $\lim _{x\rightarrow x_{0}-}f(x)$ .

Specijalno, prekid prve vrste je otklonjiv kada je $\lim _{x\rightarrow x_{0}+}f(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}-}f(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ .

Prekid druge vrste:

Ako nije prve vrste.

Otklonjiv (prividan) prekid[uredi | uredi izvor]

Otklonjiv, tj. prividan, prekid javlja se u prvom slučaju, odnosno kada je $\lim _{x\rightarrow x_{0}+}f(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}-}f(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L,L\neq f(x_{0})$ .

Kao što i naziv prekida kaže, možemo ga otkloniti, tj. dodefinisati funkciju, tako da ona bude neprekidna. To možemo tako što ćemo definisati novu funkciju $g(x)$ :

g(x)={\begin{cases}f(x),&x\in X,x\neq x_{0}\\L,&x=x_{0}\end{cases}}

Napomena[uredi | uredi izvor]

Kako bi se izbegla moguća greška, kada se za funkciju koja u tački $x_{0}$ ima jednake granične vrednosti, a u samoj toj tački funkcija nije definisana, tvrdi da ima prekid u toj tački, treba voditi računa o tome da funkcija ne može imati prekid u tački u kojoj nije definisana, odnosno u tački koja ne pripada njenom domenu.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.

Vidi još[uredi | uredi izvor]