Prizma (geometrijska figura)

Za druge upotrebe, pogledajte Prizma (višeznačna odrednica).

Skup uniformnih n-gonalnih prizmi
Primer uniformne heksagonalne prizme
Type	Uniformna u smislu polupravilnog poliedra
Strane	2 n-gonalna regularna poligona n kvadrata
Ivice	3n
Temena	2n
Konfiguracija temena	4.4.n
Šlaflijev simbol	{n}×{} t{2, n}
Konvejova notacija	Pn
Koksterov dijagram
Grupa simetrije	Dnh, [n,2], (*n22), red 4n
Grupa rotacije	Dn, [n,2]+, (n22), red 2n
Dualni poliedar	Konveksna dualna-uniformna n-gonalna bipiramida
Svojstva	konveksna, regularna poligonska lica, temeno-tranzitivne, translirane osnove, strane ⊥ baze
Mreža

Prizma je geometrijski poliedar ograničen sa dve paralelne podudarne osnove (osnova može biti bilo koji mnogougao) koje su povezane paralelogramima (bočnim stranama). U zavisnosti od mnogougla u osnovi, prizma može biti trougaona, četvorougaona, petougaona itd. Svi poprečni preseci paralelni sa osnovama su translacije osnova. Prizme su nazvane po svojim osnovama, npr. prizma sa petougaonom osnovom naziva se petougaona prizma. Prizme su podklasa prizmatoida.

Kao i mnogi osnovni geometrijski termini, reč prizma (od grčki πρίσμα (prizma) sa značenjem „nešto testerisano”) prvi put je upotrebljena u Euklidovim elementima. Euklid je definisao termin u Knjizi XI kao „čvrsta figura koju ograničavaju dve suprotne, jednake i paralelne ravni, dok su ostale paralelogrami“. Međutim, ova definicija je kritikovana jer nije dovoljno konkretna u odnosu na prirodu osnova, što je izazvalo zabunu među kasnijim piscima geometrije.

Desna prizma, jednolična prizma

Polupravilni poliedri:
Arhimedova tela, prizme i antiprizme

Desna prizma

Prava prizma je prizma u kojoj su spojne ivice i lica okomite na osnovne površine. Ovo važi ako su sve spojne površine pravougaone.

Dual prave n-prizme je prava n-bipiramida.

Desna prizma (sa pravougaonim stranicama) sa pravilnim n-ugaonim osnovama ima Šaflijev simbol { }×{n}. Ona se približava cilindričnom čvrstom telu kako se n približava beskonačnosti.

Posebni slučajevi

• Prava pravougaona prizma (sa pravougaonom osnovom) se takođe naziva kuboid, ili neformalno pravougaona kutija. Pravougaona prizma ima Šaflijev simbol { }×{ }×{ }.
• Prava kvadratna prizma (sa kvadratnom osnovom) se takođe naziva kvadratni kuboid ili neformalno kvadratna kutija.

Napomena: neki tekstovi mogu primeniti termin pravougaona prizma ili kvadratna prizma i na pravu pravougaonu prizmu i na pravu kvadratnu prizmu.

Uniformna prizma

Uniformna prizma ili polupravilna prizma je prava prizma sa pravilnim osnovama i kvadratnim stranicama, pošto su takve prizme u skupu uniformnih poliedara.

Uniformna n-ugaona prizma ima Šaflijev simbol t{2,n}.

Desne prizme sa pravilnim osnovama i jednakim dužinama ivica formiraju jedan od dva beskonačna niza polupravilnih poliedara, dok su druge serije antiprizme.

Podela

• Prave i kose prizme
• Trostrane, četvorostrane, petostrane ...
• Pravilne i nepravilne

Pravilna prizma je ona prizma koja u osnovi ima pravilan mnogougao (trougao, četvorougao, petougao itd.)

Delovi prizme

• Prava
• Osnova (Basis)
• Bočna strana
• Osnovna ivica

Površina prizme

Površina prizme je zbir površina svih strana prizme. Najjednostavnije je izračunati površinu bočnih strana -M- prizme i saberemo sa dve osnove.

$2B+Ph$

gde je B površina osnove, h visina, a P obim osnove.

Površina prave prizme čija je osnova pravilan n-strani mnogougao sa dužinom stranice s i visinom h je prema tome:

$A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\left({\frac {\pi }{n}}\right)}+nsh$

Zapremina prizme

Zapreminu prizme izračunavamo tako što površinu osnove prizme pomnožimo visinom prizme.

$V=Bh$

gde je B površina osnove, a h visina. Zapremina prizme čija je osnova n-strani pravilan mnogougao sa dužinom stranice s je prema tome:

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Šlegelovi dijagrami

P3

P4

P5

P6

P7

P8

Simetrija

Grupa simetrije prave n-strane prizme sa pravilnom osnovom je D_nh reda 4n, osim u slučaju kocke, koja ima veću grupu simetrije O_h reda 48, koja ima tri verzije D_4h kao podgrupe. Rotaciona grupa je D_n reda 2n, osim u slučaju kocke, koja ima veću grupu simetrije O reda 24, koja ima tri verzije D₄ kao podgrupe.

Grupa simetrije D_nh sadrži inverziju ako je n parno.

Hozoedri i diedri takođe poseduju simetriju diedra, a n-ugaona prizma se može konstruisati geometrijskim skraćenjem n-ugaonog hozoedra, kao i kroz kantelaciju ili proširenje n-ugaonog diedra.

Skraćena prizma

Skraćena prizma je prizma sa neparalelnim gornjim i donjim stranama.

Primer skraćene trouglaste prizme. Njeno gornje lice je skraćeno pod kosim uglom, ali ona nije kosa prizma

Uvrnuta prizma

Uvrnuta prizma je nekonveksni poliedar konstruisan od uniformne n-prizme sa svakom bočnom pločom podeljenom na polovinu kvadratne dijagonale, uvrtanjem vrha, obično za π/n radijana (180/n stepeni) u istom pravcu, što dovodi do konkavnih stranica.<ref>„Pictures of Twisted Prisms”. 

Uvrnuta prizma se ne može secirati na tetraedre bez dodavanja novih vrhova. Najmanji slučaj: trouglasti oblik, naziva se Šenhartov poliedar.

n-ugaona uvrnuta prizma je topološki identična n-ugaonoj uniformnoj antiprizmi, ali ima polovinu grupe simetrije: D_n, [n,2]⁺, reda 2n. Može se posmatrati kao nekonveksna antiprizma, sa tetraedrima uklonjenim između parova trouglova.

3-gonal	4-gonal		12-gonal
Šenhartov poliedar	Uvrnuta kvadratna prizma	Kvadratna antiprizma	Uvrnuta dodekagonalna antiprizma

Frustum

Frustum je konstrukcija slična prizmi, sa trapeznim bočnim stranama i različitim velikim gornjim i donjim poligonima.

Primer pentagonalnog frustuma

Zvezdana prizma

Vidi još: Prizmatični uniformni poliedar

Zvezdana prizma je nekonveksni poliedar konstruisan od dve identične površine zvezdastog poligona na vrhu i dnu, paralelne i pomerene rastojanjem i povezane pravougaonim površinama. Uniformna zvezdana prizma će imati Šlaflijev simbol {p/q} × { }, sa p pravougaonikom i 2 {p/q} lica. Topološki je identična p-gonalnoj prizmi.

Primeri

{ }×{ }180×{ }	ta{3}×{ }		{5/2}×{ }	{7/2}×{ }	{7/3}×{ }	{8/3}×{ }
D2h, red 8	D3h, red 12		D5h, red 20	D7h, red 28		D8h, red 32

Ukrštena prizma

Ukrštena prizma je nekonveksni poliedar konstruisan od prizme, gde su vrhovi jedne osnove obrnuti oko centra ove osnove (ili rotirani za 180°). Ovo transformiše bočne pravougaone površine u ukrštene pravougaonike. Za pravilnu poligonsku osnovu, izgled je n-gonalni peščani časovnik. Sve kose ivice prolaze kroz jedan centar tela. Napomena: nijedan vrh nije u centru ovog tela. Ukrštena prizma je topološki identična n-ugaonoj prizmi.

Primeri

{ }×{ }180×{ }180	ta{3}×{ }180		{3}×{ }180	{4}×{ }180	{5}×{ }180	{5/2}×{ }180	{6}×{ }180
D2h, red 8	D3d, red 12			D4h, red 16	D5d, red 20		D6d, red 24

Toroidna prizma

Toroidna prizma je nekonveksni poliedar poput ukrštene prizme, ali bez donje i gornje osnovne površine, i sa jednostavnim pravougaonim bočnim stranama koje zatvaraju poliedar. Ovo se može uraditi samo za jednostrane osnovne poligone. To su topološki tolozi, sa Ojlerovom karakteristikom za nulu. Topološka poliedarska mreža može biti isečena iz dva reda kvadratnih pločica (sa konfiguracijom temena 4.4.4.4): traka od n kvadrata, od kojih je svaki pričvršćen za ukršteni pravougaonik. n-ugaona toroidna prizma ima 2n vrhova, 2n lica: n kvadrata i n ukrštenih pravougaonika i 4n ivica. Topološki je samodualna.

Primeri

D4h, red 16	D6h, red 24
v=8, e=16, f=8	v=12, e=24, f=12

Prizmatični politop

Prizmatični politop je višedimenzionalna generalizacija prizme. n-dimenzionalni prizmatični politop je konstruisan od dva (n − 1)-dimenzionalna politopa, prevedena u sledeću dimenziju.

Prizmatični n-politopni elementi se udvostručuju od (n − 1)-politopskih elemenata i zatim kreiraju nove elemente od sledećeg nižeg elementa.

Uzmimo n-politop sa f_i i-stranim elementima (i = 0, ..., n). Njegova (n + 1)-politopna prizma će imati 2f_i + f_i−1 i-stranih elemenata. (Sa f₋₁ = 0, f_n = 1.)

Po dimenziji:

• Uzmite mnogougao sa n vrhova, n ivica. Njegova prizma ima 2n temena, 3n ivica i 2 + n lica.
• Uzmite poliedar sa v vrhovima, e ivica i f površina. Njegova prizma ima 2v temena, 2e + v ivice, 2f + e lica i 2 + f ćelije.
• Uzmite polihoron sa v vrhovima, e ivica, f površina i c ćelija. Njegova prizma ima 2v temena, 2e + v ivice, 2f + e lica, 2c + f ćelija i 2 + c hiperćelije.

Ujednačeni prizmatični politop

Pravilan n-politop predstavljen Šlaflijevim simbolom {p, q, ..., t} može formirati uniforman prizmatični (n + 1)-politop predstavljen kartezijanskim proizvodom dva Šlaflijeva simbola: {p, q, ..., t}×{}.

Po dimenziji:

• 0-politopna prizma je segment linije, predstavljen praznim Šlaflijevim simbolom {}.
  • 
• 1-politopna prizma je pravougaonik, napravljen od 2 prevedena segmenta. Predstavlja se kao proizvod Šaflijevog simbola {}×{}. Ako je kvadratna, simetrija se može smanjiti: {}×{} = {4}.
  • Primer: Kvadrat, {}×{}, dva paralelna segmenta, povezana sa dve strane segmenta.
• Poligonalna prizma je 3-dimenzionalna prizma napravljena od dva prevedena poligona povezana pravougaonicima. Pravilan mnogougao {p} može da konstruiše uniformnu n-ugaonu prizmu predstavljenu proizvodom {p}×{}. Ako je p = 4, sa kvadratnom simetrijom, postaje kocka: {4}×{} = {4, 3}.
  • Primer: Pentagonalna prizma, {5}×{}, dva paralelna petougla povezana sa 5 pravougaonih stranica.

• Poliedarska prizma je 4-dimenzionalna prizma napravljena od dva prevedena poliedra povezana ćelijama 3-dimenzionalne prizme. Pravilan poliedar {p, q} može konstruisati uniformnu polihorijsku prizmu, predstavljenu proizvodom {p, q}×{}. Ako je poliedar kocka, a stranice kocke, on postaje teserakt: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • Primer: Dodekaedarska prizma, {5, 3}×{}, dva paralelna dodekaedra povezana sa 12 petougaonih stranica prizme.

Prizmatični politopi višeg reda takođe postoje kao kartezijanski proizvodi bilo koja dva politopa. Dimenzija proizvoda politopa je proizvod dimenzija njegovih elemenata. Prvi primeri ovih postoje u 4-dimenzionalnom prostoru; nazivaju se duoprizmi kao proizvod dva poligona. Regularni duopizmi su predstavljeni kao {p}×{q}.

Galerija

• 
  Prava trostrana prizma
• 
  Kosa nepravila prizma

Literatura

• Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 
• Ljiljana Petruševski - Poliedri
• Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B. (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ur.: Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. str. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4. 
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Arhivirano na sajtu Wayback Machine (3. август 2016))
• Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
• Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
• Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
• Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8.
• Whitney, Hassler (1932). „Congruent graphs and the connectivity of graphs”. Amer. J. Math. 54 (1): 150—168. JSTOR 2371086. doi:10.2307/2371086. hdl:10338.dmlcz/101067. 
• Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter (1987), „Puzzles and polytope isomorphisms”, Aequationes Mathematicae, 34 (2–3): 287—297, MR 921106, doi:10.1007/BF01830678 
• Kalai, Gil (1988), „A simple way to tell a simple polytope from its graph”, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, 49 (2): 381—383, MR 964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7 
• Kaibel, Volker; Schwartz, Alexander (2003). „On the Complexity of Polytope Isomorphism Problems”. Graphs and Combinatorics. 19 (2): 215—230. arXiv:math/0106093 . doi:10.1007/s00373-002-0503-y. Arhivirano iz originala 2015-07-21. g. 
• Büeler, B.; Enge, A.; Fukuda, K. (2000). „Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study”. Polytopes — Combinatorics and Computation. str. 131. ISBN 978-3-7643-6351-2. doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6. 
• Yao, Andrew Chi Chih (1981), „A lower bound to finding convex hulls”, Journal of the ACM, 28 (4): 780—787, MR 677089, doi:10.1145/322276.322289 ; Ben-Or, Michael (1983), „Lower Bounds for Algebraic Computation Trees”, Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '83), str. 80—86, doi:10.1145/800061.808735 
• Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd izd.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167 .
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Duality of polyhedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617—642, doi:10.1080/00207390500064049 .
• Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?”, Ur.: Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, str. 461—488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21 .
• Grünbaum, Branko (2007), „Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs”, Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445—463, MR 2287486, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037 .
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), „Duality of polyhedra”, Ur.: Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, str. 211—216, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15 .
• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 .
• Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688 

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. „Prism”. MathWorld. 
• Paper models of prisms and antiprisms Free nets of prisms and antiprisms
• Paper models of prisms and antiprisms Using nets generated by Stella