Prirodan broj

Za drugu upotrebu, pogledajte članak Broj (višeznačna odrednica).

Prirodni brojevi su svi celi brojevi veći od nule. tj. tu spada bilo koji broj prirodnog niza.

Niz prirodnih brojeva je 1, 2, 3, .... Svi članovi niza prirodnih brojeva čine skup prirodnih brojeva. Taj skup označavamo sa

N={1,2,3,4..}, ili $\mathbb {N}$. Skup prirodnih brojeva je beskonačan i neprebrojiv. Kada skupu prirodnih brojeva dodamo nulu dobijemo prošireni skup koji označavamo sa N₀.

Zbir i proizvod prirodnih brojeva je prirodan broj, razlika i količnik ne moraju biti. Kažemo da je prirodan broj m deljiv prirodnim brojem n ako je količnik m/n prirodan broj, i tada pišemo n|m (čita se: m deli n). Prirodan broj je, na primer:

• paran broj {2, 4, 6, ..., 2n, ...} – deljiv je sa 2;
• neparan broj {1, 3, 5, ..., 2n-1, ...} –nije deljiv sa 2;
• prim broj {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} – prost broj, ima beskonačno takvih brojeva koji su deljivi jedino brojem 1 i samim sobom;
• savršen broj {6, 28, 496, ...?} – Euklid ih je znao četiri, mi ih znamo dvadesetak, brojeva n čiji zbir svih delilaca osim samog n ima zbir n;
• Mersenov broj {2, 3, 5, ..., 859433, ...?} – prost broj oblika $2^{n}-1$, kojih danas znamo 46.

Osnove teorije

Danas je u matematici pitanje prirodnih brojeva prilično zamršeno i nejedinstveno. Na sasvim poseban način prirodnim brojevima pristupaju intuicionisti, od konstruktivista. Zatim postoje i neslaganja oko izbora i obima moći aksioma brojeva, pre svega jer matematička logika ima raznolika gledišta na pitanja skupova, a ovi opet, različita gledišta po pitanju brojeva. Međutim, kad se opredelimo, ako prihvatimo da su skupovi kao matematički objekti jedinstveno određeni, onda Peanove aksiome, do na izomorfizam, opredeljuju prirodne brojeve.

Peanove aksiome

Glavni članak: Peanove aksiome

Aksiomatsko određivanje prirodnih brojeva našao je Dedekind 1888, a zatim Đuzepe Peano 1891. godine. Opisna, jednostavnija verzija Peanovih aksioma je:

1. 1 je prirodan broj,
2. Sledbenik ma kog prirodnog broja je prirodan broj.
3. 1 nije sledbenik nijednog prirodnog broja,
4. Svaki prirodan broj je sledbenik najviše jednog prirodnog broja.
5. Aksioma indukcije: Ako skup S zadovoljava uslove $(i)1\in S,\;(ii)$ sa svakim članom sadrži i njegovog sledbenika, onda S sadrži sve prirodne brojeve.

Formalizam

Osnovni pojmovi Peanovih aksioma su: prirodan broj, broj 1, skup (S). Koristeći još i apostrof za sledbenik, imamo sledeću, Formalnu verziju aksioma prirodnih brojeva:

$(\forall x)x'\not =1,(\forall x,y)(x'=y'\Rightarrow x=y)$

$(1\in S\wedge (\forall x)(x\in S\Rightarrow x'\in S))\Rightarrow N\subset S$

Uz navedene aksiome usvajaju se sledeće definicije sabiranja i množenja:

$x+1=x',\quad x\cdot 1=x,\quad x+y'=(x+y)',\quad x\cdot y'=x\cdot y+x,$

kao i sledeće:

$2=1',\;3=2',\;4=3',...,11=10',12=11',13=12',....$

Iz navedenih definicija slede svi rezultati poznatih tablica sabiranja i množenja. Na primer

Teorema

2+2=4

Dokaz

2+2=2+1'=(2+1)'=(2')'=3'=4.

Algebarska struktura

Iz Peanovih aksioma sledi, strože rečeno, dijagram strukture ${\mathcal {N}}=(N,+,\cdot )$, tj. celina koju grade skup N i njegove operacije sabiranja i množenja. Ta struktura zadovoljava sledeće algebarske zakone

komutativnost $x+y=y+x,\qquad x\cdot y=y\cdot x,$

asocijativnost $(x+y)+z=x+(y+z),\qquad (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z),$

egzistencija jediničnog elementa $x\cdot 1=x,$

distributivnost $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.

Slovima x, y, z su označeni bilo koji prirodni brojevi. To znači da su sabiranje i množenje prirodnih brojeva komutativne i asocijativne operacije, da je 1 jedinični elemenat množenja i da je množenje distributivno prema sabiranju. Međutim, struktura ${\mathcal {N}}$ ima i neke „nedostatke“. Tako, operacija sabiranja "+" nema obratnu operaciju, jer među jednačinama po h oblika $a+x=b,\;a,b\in N$ su dati (prirodni) brojevi, ima i takvih koje su nemoguće u skupu N.

Takva je, na primeri, jednačina 1 + x = 1, jer broj nula nismo uključili u prirodne brojeve.

Principi

Uobičajeno je u matematici prihvatanje skupa prirodnih brojeva N sa operacijama plus "+" i puta ".", i relacijama jednakosti "=" i poretka, "<" odnosno "≤", intuitivno jasnim. Prihvatamo takođe da u skupu prirodnih brojeva važe sledeći principi.

Princip dobrog uređenja

Svaki neprazan skup prirodnih brojeva ima najmanji elemenat.

Princip matematičke indukcije

Neka je S podskup od N koji ima sledeća dva svojstva:

(1) 1 je u S;

(2) ako je broj k u skupu S, onda je i broj k+1 u skupu S.

Onda je S = N.

Drugi princip matematičke indukcije

Neka je S podskup od N koji ima sledeća dva svojstva:

(1) 1 je u S;

(2) ako su svi prirodni brojevi manji od k+1 u skuu S, onda je i broj k+1 u skupu S

Onda je S = N.

Polazeći od Peanovih aksioma može se dokazati da su princip dobrog uređenja, princip matematičke indukcije i drugi princip matematičke indukcije ekvivalentna tvrđenja, tj. ako pretpostavimo da važi bilo koji od njih, onda se druga dva mogu dobiti kao posledice. Peti peanov aksiom je upravo ovde formulisani princip matematičke indukcije.

Arhimedov princip

Za svaka dva prirodna broja $a,n$ postoji prirodan broj $m$ takav da je $am>n.$

Oznake

Ako je a_i funkcija celobrojne promenljive i, onda je

$\sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+...+a_{n},\qquad \prod _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot ...\cdot a_{n},$

gde su m i n prirodni brojevi i m ≤ n.

Teorija brojeva

Teorija brojeva bavi se uglavnom proučavanjem osobina celih brojeva, a to se na kraju svodi na teoriju prirodnih brojeva. Ovde će biti prikazani samo glavni rezultati onoga što se u matematici naziva Uvod u teoriju brojeva, sa minimumom dokaza koji će svi biti povezani linkovima sa ostalim delovima Vikipedije. Dokazi su neophodni matematici, ali opterećuju tekstove drugim korisnicima Vikipedije, pa su sa opštih tema „sklonjeni“ na manje zvučna mesta radi kompromisa.

Deljivost

Operacije sabiranja i množenja su neograničeno izvodljive u skupu prirodnih brojeva N. Operacija oduzimanja dobije istu osobinu čim pređemo na skup celih brojeva, koji su samo korak od ovog, pa ostaje problem deljenja. I baš to pitanje deljivosti, tj. izvodljivosti operacije deljenja u skupu prirodnih (i celih) brojeva je u osnovi pretežnog dela teorije brojeva.

Osnovna teorema aritmetike

Osnovni stav aritmetike glasi: svaki prirodan broj može se predstaviti u obliku proizvoda prostih faktora i i takvo predstavljanje je jedinstveno do poretka faktora. Preciznije rečeno, radi se o teoremi 9, u sledećem nizu:

Teorema 8

Ako je n prirodan broj, onda je n proizvod prostih faktora.

Grupišući jednake proste faktore broja n, onda se prirodan broj može predstaviti u obliku

$n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}},$ gde je $p_{1}<p_{2}<...<p_{k},\;\alpha _{i}>0,\;i=1,2,...,k.$ Takvo predstavljanje nazivamo kanonski oblik broja n.

Teorema 9

Svaki prirodan broj ima jedinstven kanonski oblik.

To je osnovna teorema aritmetike. Postoji mnogo različitih dokaza ove teoreme i nijedan nije trivijalan, jer se na kraju oslanja na posebnosti skupa prirodnih brojeva u odnosu, recimo na njegove zatvorene podskupove. Na primer, skup parnih brojeva je podskup skupa svih prirodnih brojeva N i takođe je zatvoren na operacije sabiranja i množenja, kao i N. Parni brojevi koji pri deljenju sa 4 daju ostatak 2, to su brojevi oblika 4k+2, nazivaju se parno-prosti. Svaki paran broj može se predstaviti u obliku proizvoda parno-prostih brojeva. Međutim, razlaganje na parno-proste faktore nije uvek jedinstveno. Broj 360 može se faktorisati na parno-proste brojeve na više načina: 2x2x90=2x6x30=2x10=6x6x10.

Teorema 10

Neka su brojevi c i n dati u kanonskom obliku

$c=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\gamma _{i}},\quad n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\beta _{i}}.$

Tada je c|n ako i samo ako je $0\leq \gamma _{i}\leq \beta _{i},$ za i = 1, 2, ..., k.

Brojevni sistemi

Dekadni sistem brojeva je jedan od najčešćih u opštoj upotrebi; ima bazu 10 i koristi 10 cifara: 0,1,2,...,9. Drugi po učestalosti upotrebe danas je binarni sistem brojeva, osnove 2, čije su jedine cifre 0 i 1. Polazna teorema za gradnju bilo kojeg takvog sistema brojeva je sledeća:

Teorema 11

Svaki prirodan broj $m\,$ može se na jedinstven način predstaviti u obliku

$m=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_{0},\,$

gde je prirodan broj $b>1,\;0<a<b,\;0\leq a_{i}<b,\;i=0,1,...,n-1.$

Bazu brojevnog sistema ne pišemo kada se podrazumeva. To je obično baza 10 (dekadni sistem brojeva), a ređe 2 (binarni sistem brojeva). Sistem brojeva baze 16, heksadecimalni sistem brojeva, za poslednje cifre 10 - 15, koristi slova ABCDEF.

Primeri

$110101_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2+1=53_{10},\,$

$5197_{10}=5\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+9\cdot 10+7,$

$263_{7}=2\cdot 7^{2}+6\cdot 7+3=143,$

$4375_{60}=4\cdot 60^{3}+3\cdot 60^{2}+7\cdot 60+5=875225,$

$baba_{12}=11\cdot 12^{3}+10\cdot 12^{2}+11\cdot 12+10=20590,$

$1DCA9_{16}=1\cdot 16^{4}+15\cdot 16^{3}+14\cdot 16^{2}+11\cdot 16+9=130745$

Literatura

• Bluman, Allan (2010), Pre-Algebra DeMYSTiFieD (Second izd.), McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-174251-1 
• Carothers, N.L. (2000), Real analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49756-5 
• Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (Fifth izd.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-967959-1 
• Dedekind, Richard (1963), Essays on the Theory of Numbers, Dover, ISBN 978-0-486-21010-0 
  • Dedekind, Richard (2007), Essays on the Theory of Numbers, Kessinger Publishing, LLC, ISBN 978-0-548-08985-9 
• Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th izd.), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6 
• Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematicians (Revised izd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0 
• James, Robert C.; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary (Fifth izd.), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0 
• Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (Third izd.), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd izd.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2 
• Mendelson, Elliott (2008) [1973], Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5 
• Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (Second izd.), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3 
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (10th izd.), Wiley Global Education, ISBN 978-1-118-45744-3 
• Szczepanski, Amy F.; Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra, Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9 
• Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (Second izd.), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8 
• Von Neumann, Johann (1923), „Zur Einführung der transfiniten Zahlen”, Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum, 1: 199—208, Arhivirano iz originala 18. 12. 2014. g., Pristupljeno 15. 9. 2013 
  • Von Neumann, John (januar 2002) [1923], „On the introduction of transfinite numbers”, Ur.: Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (3rd izd.), Harvard University Press, str. 346—54, ISBN 978-0-674-32449-7, Arhivirano iz originala 30. 06. 2022. g., Pristupljeno 01. 06. 2020  – English translation of von Neumann 1923.

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Natural number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Axioms and Construction of Natural Numbers
• Essays on the Theory of Numbers by Richard Dedekind at Project Gutenberg