Ravanska trigonometrija

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Skoči na: navigacija, pretraga

Ravninska trigonometrija, ili jednostavno trigonometrija, je grana matematike koja se bavi rešavanjem trouglova euklidske planimetrije, tj. elementarne geometrije jedne ravni. Ona je od ogromnog praktičnog značaja u različitim oblastima kao što su inženjerstvo, arhitektura, geodezija, navigacija i astronomija. Trigonometrijske funkcije imaju posebno važnu ulogu u matematičkoj analizi i koriste se za predstavljanje talasa i drugih periodičnih pojava.

Trigonometrijske funkcije[uredi]

Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Ponekad ih nazivamo trigonometrijskim odnosima. Za tangens ćemo ovde koristiti uobičajenu anglosaksonsku oznaku tan, mada se u srpskom govornom području češće koristi tg; isto tako, za kotangens, umesto ctg pisaćemo cot, a za kosekans, koji se na srpskim univerzitetima slabije koristi, zajedno sa anglosaksonskim csc pišemo i cosec. Ostale navedene trigonometrijske funkcije imaju iste skraćenice u većem delu sveta. Danas se veoma retko sreću još dva naziva trigonometrijskih funkcija: sinus versus i kosinus versus.

Pravougli trougao[uredi]

Na slici 1. je figura: pravougli trougao ABC, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) nasuprot temena (velika slova) i uglom alfa (malo grčko slovo \alpha) u temenu A. Dakle, naspramna kateta temenu A je a, nalegla kateta je b, hipotenuza je c. Definišemo osnovne četiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens i kotangens, istog ugla alfa.

Sl.1. Pravougli trougao
\sin \alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{c},
\tan \alpha = \frac{a}{b}, \quad \cot \alpha = \frac{b}{a}.

Postoje još dve osnovne trigonometrijske funkcije ugla, kosekans i sekans:

\csc \alpha = \frac{c}{a}, \quad \sec \alpha = \frac{c}{b}.

Kosekans se kod nas češće piše cosec α. Kao što je definisano, tri od ovih funkcija su recipročne ostalim tri:

\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}, \quad \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}, \quad \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}.

Iz istih definicija izvodimo:

\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\csc \alpha}{\sec \alpha}, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1.

Sledeće osnovne relacije, koje se nazivaju osnovni trigonometrijski identiteti, ili Pitagorini identiteti, zasnovane su na Pitagorinoj teoremi:

\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha =1, \quad 1 + \tan ^2 \alpha = \sec ^2, \quad 1 + \cot ^2 \alpha = \csc ^2 \alpha.

Osnovni uglovi[uredi]

Vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove se mogu dobiti jednostavno iz jednakostraničnog trougla i kvadrata, koji imaju uglove 60°, 30°, 45°.

Sl.2. Jednakostranični trougao

Na slici (2.) imamo figuru jednakostraničnog trougla ABC stranica dužine a. Njegovi unutrašnji uglovi su po 60°, a ugao u temenu C između visine i stranice je 30°. Visina CD ima dužinu h= \frac {a \sqrt{3}}{2}, što se lako dobija primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao ADC. Iz istog pravouglog trougla nalazimo vrednosti:

\sin 60^o=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^o = \frac{1}{2}, \quad \tan 60^o = \sqrt{3}, \quad \cot 60^o = \frac{\sqrt{3}}{3},
\sin 30^o=\frac{1}{2}, \quad \cos 30^o = \frac{ \sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^o = \frac{ \sqrt{3}}{3}, \quad \cot 30^o = \sqrt{3}.
Sl.3. Kvadrat

Na sledećoj slici (3.) je kvadrat stranice a. Temena AC spojena su dijagonalom d=a \sqrt{2}, što se lako dobije primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao ABC. U istom pravouglom trouglu nalazimo:

\sin 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45^o = 1, \quad \cot 45^o = 1.

Trigonometrijska kružnica[uredi]

Trigonometrijske funkcije ugla α se mogu definisati i pomoću trigonometrijske kružnice. Trigonometrijska kružnica je poluprečnika 1 sa centrom u ishodištu koordinatnih osa. Na slici dalje (Sl.4.) poluprečnici OA, OC i OE su jedinične dužine. Tačka O je ishodište koordinatnog sistema, ovde Dekartovog pravouglog. Ugao α je AOC, gde je krak OA nepokretan. Apscisa i ordinata (horizontalna i vertikalna osa brojeva) su kosinusna i sinusna osa. Tangensna i kotangensna osa se definišu kao tangente na trigonometrijsku kružnicu u krajnjoj tački desno, odnosno gore. Ishodište tangensne ose na slici bi bila tačka A, a kotangensne E. Upoređivanjem kružnice (Sl.4), OA = OC = 1, i pravouglog trougla (Sl.1.), nalazimo:

Sl.4. Trigonometrijska kružnica
\sin \alpha = BC = \frac{a}{c}, \quad sinus ugla alfa;
\cos \alpha = OB = \frac{b}{c}, \quad kosinus;
\tan \alpha =AD = \frac{a}{b}, \quad tangens;
\cot \alpha = EF = \frac{b}{a}, \quad kotangens;
\sec \alpha = OD = \frac{c}{b}, \quad sekans;
\csc \alpha = OF = \frac{c}{a}, \quad kosekans.

Međutim, na trigonometrijskoj kružnici možemo dosledno definisati vrednosti trigonometrijskih funkcije za uglove 0°, 90°, pa i za ostale. Projekcija tačke C na kosinusnu osu (tačka B) je kosinus ugla α, a sinus je projekcija tačke C na sinusnu (obično Y) osu. Produžetak pokretnog kraka OC datog ugla preseca tangensnu (tačka D) i kotangensnu osu (tačka F) u vrednostima tangensa i kotangensa tog ugla.

Znak trigonometrijske funkcije
Kvadrant Veličina ugla sin cos tan cot sec csc
I od 0° do 90° + + + + + +
II od 90° do 180° + - - - - +
III od 180° do 270° - - + + - -
IV od 270° do 360° - + - - + -

Merenje ugla[uredi]

Uglove merimo u stepenima - uobičajenim u praksi, u radijanima - uobičajenim u teoriji, i retko u gradima (lat. Gradus - korak, stepen, stupanj):

  • Stepen je 90-ti deo pravog ugla, ugao od jednog stepena označava se 1°. Prema tome, pun ugao je 360°, ispružen ugao je 180°.
  • Radijan je centralni ugao nad lukom trigonometrijske kružnice čija je dužina jednaka radijusu. Kako pun ugao odgovara dužini cele kružnice (obimu) 2 \pi r, jedan radijan ima \frac{360^o}{2 \pi}=57^o17'44'' s tačnošću od 1". Obratno, 1 radijan = 57,3°.
  • Grad je stoti deo pravog ugla, piše se p. Jedan grad se deli na sto delova koji se nazivaju metričke minute (1') i čiji se stoti deo naziva metrička sekunda (1"). Grad kao jedinica mere bio je uveden zajedno sa metarskim sistemom mera krajem XVIII veka. Međutim, grad nije postigao široku primenu u praksi.
Vrednosti trigonometrijskih funkcija osnovnih uglova
Stepen Radijan sin cos tan cot sec csc
0 0 1 0 1
30° \frac{\pi}{6} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3} \frac{2 \sqrt(3)}{3} 2
45° \frac{\pi}{4} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 1 \sqrt{2} \sqrt{2}
60° \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}
90° \frac{\pi}{2} 1 0 0 1

Osnovne trigonometrijske formule[uredi]

Funkcije jednog ugla[uredi]

\sin ^2 + \cos ^2 = 1, \quad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha, \quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1,
\sec ^2 \alpha - \tan ^2 \alpha = 1, \qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1,
\csc ^2 \alpha - \cot ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1

Međusobno izražavanje funkcija[uredi]

 \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} = \frac{ \tan \alpha}{ \sqrt{ 1 + \tan ^2 \alpha}},
\cos \alpha = \sqrt{1- \sin ^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}} ,
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}=\frac{1}{\cot \alpha},
\cot \alpha = \frac{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}{\sin \alpha}= \frac{1}{\tan \alpha}.

Funkcije zbira i razlike[uredi]

\sin (\alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\,
\cos (\alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}, \quad \cot (\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}.
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},

Funkcije višekratnog ugla[uredi]

\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,
\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \quad \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},
\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}, \quad \cot3\alpha=\frac{\cot^3\alpha-3\cot\alpha}{3\cot^2\alpha-1},
\tan4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}, \quad \cot4\alpha=\frac{\cot^4\alpha-6\cot^2\alpha+1}{4\cot^3\alpha-4\cot\alpha}.

Za veće n prikladnija je Moavrova formula za kompleksan broj, razvijena u binomni red:

\cos n \alpha +i \sin n \alpha = (\cos\alpha+ i \sin\alpha )^n = \,
\cos^n\alpha+in \cos^{n-1}\alpha \sin\alpha - C_n^2 \cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha -
 -iC_n^3 \cos^{n-3}\alpha \sin^3\alpha + C_n^4 \cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha + ...,

gde je C_n^k = C(n, k) ={n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} binomni koeficijent.
Otuda je:

\cos n \alpha = \cos^n\alpha-C_n^2\cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha+C_n^4\cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha - C_n^6\cos^{n-6}\alpha \sin^6\alpha + ...,
\sin n \alpha = n \cos ^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_n^3 \cos ^{n-3} \alpha \sin ^3\alpha +C_n^5 \cos ^{n-5} \alpha \sin ^5 \alpha - ....

Zbir i razlika funkcija[uredi]

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin (\alpha\pm\beta )}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \cot\alpha\pm\cot\beta=\pm\frac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},
\tan\alpha+\cot\beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \cot\alpha-\tan\beta=\frac{cos (\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.

Proizvod funkcija[uredi]

\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],
\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)],
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)].

Funkcije polovine ugla[uredi]

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},
\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
\cot\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.

Stepenovanje funkcija[uredi]

\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha), \quad \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha),
\sin^3\alpha=\frac{1}{4}(3\sin\alpha-\sin3\alpha), \quad \cos^3\alpha=\frac{1}{4}(\cos3\alpha+3\cos\alpha),
\sin^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha-4\cos2\alpha+3), \quad \cos^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha+4\cos2\alpha+3).

Za računanje \sin^n\alpha\, i \cos^n\alpha\, pri većem n možete poći od Moavrove formule.

Sinusoide[uredi]

Sl.5. Harmonijski talas

U mnogim problemima mehanike i fizike razmatraju se veličine koje zavise od vremena t i izražavaju se formulom:

u=a\sin(\omega t +\phi); \qquad  (*)

takve veličine nazivamo sinusnim, a njihove vremenske promene - harmonijski talas. Graf funkcije desno je opšta sinusoida (Sl.5.), koja se od obične sinusoide (y=\sin x) razlikuje po ovome:

  1. njena amplituda (širina njihaja), tj. najveći otklon od ose t, je a;
  2. njen period T (talasna dužina) je \frac{2\pi}{\omega}, gde ω nazivamo frekvencijom talasa;
  3. njena početna faza je ugao φ.

Veličinu (*) možemo predstaviti u obliku:

r=A\sin\omega t + B\sin\omega t, \qquad (**)

gde je a=\sqrt{A^2+B^2}, \quad \tan\phi=\frac{B}{A}; veličine A,\; B,\; a,\; \phi možemo predstaviti elementima pravouglog trougla (Sl.6.).

Sabiranje sinusoida[uredi]

Sl.6. Trougao sinusoide

Zbir dve sinusne veličine jednakih frekvencija ω takođe je sinusna veličina iste frekvencije:

A_1 \sin(\omega t+\phi _1)+A_2 \sin(\omega t+\phi _2)=A \sin (\omega t+\phi), \,

pri čemu je:

A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2 \cos(\phi _2-\phi _1)},
\tan\phi=\frac{A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2}.

Linearna kombinacija nekoliko sinusnih veličina s jednakom frekvencijom je sinusna veličina iste frekvencije:

\sum_i {c_i A_i \sin (\omega t+\phi_i)} = A \sin (\omega t+\phi); \,

A\, i \phi\, je moguće grafički predstaviti u vektorskom dijagramu.

Rešavanje trougla[uredi]

Zbog obima teme ovde navodimo samo formule. Još neke definicije pojmova koji slede možete potražiti u prilogu planimetrija.

Pravougli trougao[uredi]

Stranice a i b su katete, c je hipotenuza; A,\; B su ugovi nasuprot stranicama a,\; b.

Osnovni odnosi: a=c\sin A =c\cos B, \quad a=b \tan A=b\cot B

Osnovni zadaci:

  1. Zadato je c,\; A. Izračunavamo B=90^o-A,\; a=c\sin A,\; b=c \cos A.
  2. Zadato je a,\; c. Izračunavamo B=90^o-A,\; b=a \cot A,\; c=\frac{a}{\sin A}.
  3. Zadato je a,\; c. Izračunavamo \sin A=\frac{a}{c},\; b=c cos A,\; B=90^o-A.
  4. Zadato je a,\; b. Izračunavamo \tan A=\frac{a}{b},\; c=\frac{a}{\sin A},\; B=90^o-A.

Kosougli trougao[uredi]

a,\; b,\; c su stranice, A,\; B,\; C su uglovi nasuprot stranicama, P je površina, R je poluprečnik opisane kružnice, r je poluprečnik upisane kružnice, s je poluobim s=\frac{a+b+c}{2}. Poluobim ponekad označavamo i sa p.

Osnovne teoreme:

Površina trougla:

Važne duži trougla:

  • Visina na stranicu a: \quad h_a=b \sin C =c \sin B.
  • Težišnica na stranicu a: \quad t_a=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc \cos A}.
  • Simetrala ugla A: \quad l_A=\frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c}.
  • Poluprečnik opisane kružnice: R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}.
  • Poluprečnik upisane kružnice:
    • r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},
    • r=s\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2},
    • r=4R \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}.

Osnovni zadaci:

1) Zadane su stranica i dva ugla a,\; A,\; B. Izračunavamo

C=180^o-A-B, \quad b=\frac{a\sin B}{\sin A}, \quad c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.

2) Dve stranice i ugao među njima a,\; b,\; C. Izračunavamo

\tan\frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cot\frac{C}{2}, \quad \frac{A+B}{2}=90^o-\frac{1}{2}C,
zatim iz A+B, \; A-B nalazimo A,\; B, i
c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.

3) Dve stranice i ugao nasuprot jedne od njih a,\; b,\; A. Izračunavamo

\sin B=\frac{b\sin A}{a}. Zatim, ako je a \ge b, onda je B < 90^o i ima samo jednu vrednost; ako je A<B onda:
    1. B ima dve vrednosti za b\sin A<a \; (B_2=180^o-B_1).
    2. B ima jednu vrednost (90°) za b\sin A=a.\,
    3. Trougao je nemoguć za b\sin A>a.\,
C=180^o-(A+B), \quad c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.

4) Tri stranice a,\; b,\; c. Izračunavamo

r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},
\tan\frac{A}{2}=\frac{r}{s-a}, \quad \tan\frac{B}{2}=\frac{r}{s-b}, \quad \tan\frac{C}{2}=\frac{r}{s-c},
P=rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Ciklometrijske funkcije (arkus)[uredi]

Arkus-funkcijama od h (inverznim trigonometrijskim) nazivamo veličine y merene u radijanima, određene jednačinama:

y=\arcsin x\, (arkus-sinus), ako je x=\sin y,\,
y=\arccos x\, (arkus-kosinus), ako je x=\cos y,\,
y=\arctan x\, (arkus-tangens), ako je x=\tan y,\,
y=\arccot x\, (arkus-kotangens), ako je x=\cot y.\,

Primeri

1) \arcsin 0 = 0\, ili \pi \, ili 2 \pi \,, uopšte \arcsin 0 = k \pi, \,

2) \arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3} ili -\frac{\pi}{3} ili \frac{\pi}{3}+2\pi, uopšte \arccos\frac{1}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi,

3) \arctan 1 =\frac{\pi}{4} ili \frac{5\pi}{4}, uopšte \arctan 1 = \frac{\pi}{4}+k\pi.

Glavne vrednosti

Arkus funkcije su višeznačne; njihove glavne vrednosti su ograđene. Označavamo ih sa arc sin x, arc cos x, arc tan x, arc cot x, (poslednje dve, mi često označavamo arc tg x, arc ctg x).

-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2},
0 \le \arccos x \le + \pi,
-\frac{\pi}{2}<\arctan x < +\frac{\pi}{2},
0<\arccot x < \pi.\,

Izražavanje jednih arkus-funkcija s drugima[uredi]

Sledeće formule tačne su samo za glavne vrednosti arkus-funkcija, a formule u uglastim zagradama samo za pozitivne vrednosti h (jer su granice glavnih vrednosti različito određene za razne funkcije).

\arcsin x=-\arcsin(-x)=\frac{\pi}{2}-\arccos x=[\arccos\sqrt{1-x^2}]=
=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\left[ \arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right],
\arccos x=\pi-\arccos(-x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin x=[\arcsin\sqrt{1-x^2}]=
=\left[\arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right]=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},
\arctan x=-\arctan(-x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=
=\left[\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\left[\arccot\frac{1}{x}\right],
\arccot x=\pi-\arccot(-x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x=
=\left[\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\left[\arctan\frac{1}{x}\right].

Osnovni odnosi[uredi]

Uvedimo oznaku f(\pm)=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}), gde "+", odnosno "-" idu u paru. Tada je:

\arcsin x+\arcsin y=f(+), \quad [xy\le 0 \vee x^2+y^2\le 1]
=\pi-f(+), \quad [x>0, y>0, x^2+y^2>1]
=-\pi-f(+), \quad [x<0, y<0, x^2+y^2>1],
\arcsin x-\arcsin y=f(-), \quad [xy \ge 0 \vee x^2+y^2 \le 1]
=\pi-f(-), \quad [x>0,y<0, x^2+y^2 >1] \,
=-\pi-f(-), \quad [x<0, y>0, x^2+y^2>1].

Označimo sa g(\pm)=\arccos(xy\pm\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}), gde "+", odnosno "-" idu u paru. Tada je:

\arccos x+\arccos y=g(-), \quad [x+y\ge 0]
=2\pi-g(-), \quad [x+y<0],
\arccos x-\arccos y=-g(+), \quad [x \ge y]
=g(+), \quad [x<y].

Uvedimo oznake h(\pm)=\arctan\frac{x\pm y}{1\mp xy}, gde gornji znak "+" ili "-" ide sa gornjima. Tada važi:

\arctan x+\arctan y=h(+), \quad [xy<1]
=\pi+h(+), \quad [x>0, xy>1]
=-\pi+h(+), \quad [x<0, xy>1],
\arctan x-\arctan y=h(-), \quad [xy>-1]
=\pi+h(-), \quad [x>0, xy<-1]
=-\pi+h(-), \quad [x<0, xy<-1].

Uvedimo oznaku u=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}). Važe sledeće jednakosti:

2\arcsin x=u, \quad \left[ |x| \le \frac{1}{\sqrt{2}} \right]
=\pi-u, \quad \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}<x \le 1 \right]
=-\pi-u, \quad \left[ -1 \le x < -\frac{1}{\sqrt{2}} \right].
2\arccos x=\arccos(2x^2-1), \quad [0 \le x \le 1]
=2\pi-\arccos(2x^2-1), \quad [-1 \le x <0].

Uvodimo smenu t=\arctan\frac{2x}{1-x^2}, pa važe jednakosti:

2\arctan x=t, \quad [ |x|<1]
=\pi +t, \quad [x>1]
=-\pi+t, \quad [x<-1].

Konačno, \cos(n\arccos x)=2^{n-1}T_n(x),\; (n \ge 1),

pri čemu n \, ne mora biti ceo broj; T_n(x) \, se određuje jednačinom:

T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2^n}.

Ako je n \, ceo broj, T_n(x) \, je polinom od h (polinom Čebiševa).