Simetrija

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Sferna grupa simetrije sa oktaedarskom simetrijom. Žuti region prikazuje fundamentalni domn.

Simetrija (od grčke reči συμμετρία symmetria „saglasnost u dimenzijama usled srazmere, aranžmana“)[1] na svakodnevnom jeziku odnosi se na osećaj harmonične i lepe proporcije i ravnoteže.[2][3][a] U matematici, „simetrija“ ima precizniju definiciju, da je objekat invarijantan za bilo koju od različitih transformacija; uključujući refleksiju, rotaciju ili skaliranje. Simetrija je preslikavanje figura u geometriji. Simetrijom se naziva i osobina simetričnosti figure u odnosu na pravu (osu), tačku (centar), ili ravan, tj. svojstvo geometrijske figure da ima osu simetrije, centar simetrije, ili ravan simetrije. Mada ova dva značenja simetrije mogu ponekad da budu različita, ona su srodna.

Matematička simetrija se može posmatrati u pogledu prolaska vremena; kao prostorni odnos; kroz geometrijske transformacije; kroz druge vrste funkcionalnih transformacija; i kao aspekt apstraktnih objekata, teoretskih modela, jezika, muzike, čak i samog znanje.[4][b]

Suprotno od simetrije je asimetrija.

Matematika[uredi | uredi izvor]

U geometriji[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Simetrija (geometrija)
Triskelion ima trostruku rotacionu simetriju.

Geometrijski oblik ili objekat je simetričan ako se može podeliti u dva ili više identična dela koji su uređeni na organizovan način.[5] To znači da je objekat simetričan ako postoji transformacija koja pomera pojedinačne delove objekta, ali ne menja sveukupni oblik. Tip simetrije se određuje po načinu na koji su delovi organizovani, ili po tipu transformacije:

  • Objekat ima refleksionu simetriju (linijsku ili simetriju ogledala) ako postoji linija koja prolazi kroz objekat koja ga deli u dva dela koji su slike u ogledalu jedan drugog.[6]
  • Objekat ima rotacionu simetriju ako se objekat može rotirati oko fiksne tačke bez promene sveukupnog oblika.[7]
  • Objekat ima translacionu simetriju ako se može translirati bez promene njegovog sveukupnog oblika.[8]
  • Objekat ima heliksnu simetriju ako se može simultano translirati i rotirati u trodimenzionom prostoru duž linije poznate kao osa vijka.[9]
  • Objekat ima simetriju skale ako se ne menja njegov oblik kad se ekspandira ili kontrahuje.[10] Fraktali isto tako ispoljavaju formu simetrije skale, pri čemu su male porcije fraktala sličnog oblika sa velikim porcijama.[11]
  • Druge simetrije obuhvataju transflekcijsku simetriju i rotoreflekcijsku simetriju.

U logici[uredi | uredi izvor]

Binarna relacija R je simetrična ako i samo ako, kad god je istinito da je Rab, onda je istinito i da je Rba.[12] Stoga, izraz „je istog uzrasta kao“ je simetričan za: ako je Pol istog uzrasta kao Meri, onda je Meri istog uzrasta kao Pol.

Simetrične binarne logičke operacije su I (∧, ili &), ILI (∨, ili |), dvouslov (ako i samo ako) (↔), NI (ne-i, ili ⊼), EKSILI (ili ⊻), i NILI (ili ⊽).

Druge oblasti matematike[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Simetrija (matematika)

Generalizujući geometrijsku simetriju iz prethodnog odeljka, može se reći da je matematički objekat simetričan u odnosu na datu matematičku operaciju, ako kada se ona primeni na objekt, ova operacija očuva neku osobinu objekta.[13] Set operacija koje očuvavaju dato svojstvo objekta formiraju grupu.

U opštem slučaju, svaka vrsta strukture u matematici će imati svoju vrstu simetrije. Primeri uključuju parne i neparne funkcije u računu; simetričnu grupu u apstraktnoj algebri; simetrične matrice u linearnoj algebri; i Galoevu grupu u teoriji Galoa. U statistici, simetrija se pojavljuje kao simetrična raspodela verovatnoće, i kao koeficijent asimetrije asimetrične distribucije.

Osna simetrija[uredi | uredi izvor]

Osna simetrija
Leonardo da Vinčijev Vitruvijev čovek (ca. 1487) se često koristi kao reprezentacija simetrije ljudskog tela i, po analogiji, prirodnog svemira.
Oblik sličan fraktalu koji ima refleksionu simetriju, rotacionu simetriju i samosličnost, tri forme simetrije. Ovaj oblik se dobija pomoću pravila konačne potpodele.
Simetrične arkade portikata u Velikoj džamiji u Keruanu u Tunisu.

Osna simetrija je geometrijsko preslikavanje tačaka , takvo da je duž , koja spaja lik i sliku, normalna na datu pravu l, osu simetrije, i da je , gde je S tačka preseka duži i prave l.

Posebno (v. Prof. V. A. Ditkin, Rečnik matematičkih termina, Prosvešćenje, Moskva, 1965.), za simetriju u odnosu na pravu l koja leži u nekoj ravni π možemo reći da je to takva transformacija tačaka ove ravni u istu ravan pri kojoj svaka tačka A prelazi u tačku A' simetričnu s prvom tačkom u odnosu na pravu (slika desno). Prava l se naziva osa simetrije, a simetrija u odnosu na pravu osna simetrija, refleksija, ili ogledanje na pravoj.

Osna simetrija je bijekcija, a takođe i involuciona transformacija. U osnoj simetriji dužina segmenta ostaje nepromenjena (invarijantna), orijentacija figure se menja u suprotnu, pa je, osna simetrija kretanje druge vrste. Osna simetrija prave transformiše u prave, pri čemu se prave normalne na osu simetrije transformišu u samu sebe, a osa ostaje nepokretna, i to punktualno nepokretna (punktualno invarijantna): svaka njena tačka je dvostruka tačka.

Osna simetrija se koristi u rešavanju zadataka iz geometrijskih konstrukcija, u crtanju grafika parne funkcije, u arhitekturi, u kristalografiji, u dezeniranju tkanina, itd. Proizvod (kompozicija preslikavanja) dve osne simetrije s paralelnim osima je paralelno prenošenje (translacija), proizvod dve osne simetrije čije se ose seku nije simetrija ni u odnosu na prvu ni u odnosu na drugu osnu simetriju, dakle, množina simetrija u ravni u odnosu na date ose nije zatvorena, odnosno, skup svih osnih simetrija u ravni nije grupa.

Centralna simetrija[uredi | uredi izvor]

Centralna simetrija je geometrijsko preslikavanje tačaka , takvo da je , pri čemu je O data nepokretna (fiksna) tačka.

Posebno, simetrija u odnosu na tačku O koja leži u nekoj ravni π je takva transformacija tačaka ove ravni pri kojoj svaka tačka A prelazi u tačku A' simetričnu njoj u odnosu na tačku O. Tačka O se onda naziva centar simetrije, a simetrija u odnosu na tačku centralna simetrija.

Centralna simetrija je bijekcija, involucija i rotacija u ravni za ugao 180 stepeni. Obe, centralna i osna simetrija se primenjuju u sličnim oblastima.

Proizvod, kompozicija centralnih simetrija je translacija.

Nauka i priroda[uredi | uredi izvor]

U fizici[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Simetrije (fizika)

Simetrije u fizici su simetrije fizičkog sistema pod kojima se podrazumevaju skupovi transformacija u odnosu na koje fizički sistem ostaje nepromenjen, to jest ostaje invarijantan..[14] U fizici je koncept simetrije veoma važan, jer simetrije fizičkih sistema pojednostavljuju rešavanje problema u njima. Simetrije se u fizici nalaze u svim oblastima.[15] Zapravo, ova uloga je inspirisala dobitnika Nobelove nagrade P.V. Andersona da napiše svij poznati članak iz 1972. godine More is Different u kome kaže da se „samo neznatno prenaglašava perspektiva kad se kaže da je fizika proučavanje simetrije“.[16] Neterova teorema, koja je znatno pojednostavljena forma, navodi da za svaku kontinuiranu matematičku simetriju postoji odgovarajući konzervirani kvantitet, kao što je energija ili momenat; konzervirana struja, po Neterovom originalnim rečima;[17] i isto tako, Vignerova klasifikacija kaže da simetrije zakona fizike određuju osobine čestica pronađenih u prirodi.[18]

Važne simetrije u fizici obuhvataju kontinuirane simetrije i diskretne simetrije prostor-vremena; unutrašnje simetrije čestica; i supersimitriju fizičkih teorija.[19][20] [21]

Mnoge životinje su približno osno simetrične, mada su unutrašnji organi često asimetrično uređeni.

U biologiji[uredi | uredi izvor]

Za više informacija pogledajte: simetrija životinja i simetrija lica

U biologiji, pojam simetrije se uglavnom eksplicitno koristi za opisivanje oblika tela. Bilateralne životinje, uključujući i ljude, su više ili manje simetrične u odnosu na sagitalnu ravan koja deli telo na levu i desnu polovinu.[22] Životinje koje se kreću u jednom pravcu neophodno imaju gornju i stranu, glavu i leđa, kao i levu i desnu stranu. Glava postaje specijalizovana sa ustima i čulnim organima, i telo postaje bilateralno simetrično radi kretanja, sa simetričnim parovima mišića i skeletalnih elemenata, mada unutrašnji organi ostaju asimetrični.[23]

Biljke i sesilne (pričvršćene) životinje kao što su morske sase obično imaju radijalnu ili rotacionu simetriju, što im odgovara jer hrana ili opasnosti mogu stići iz bilo kojeg pravca. Petostruka simetrija se nalazi kod bodljokošaca, grupe koja obuhvata morske zvezde, morske ježeve i morske krinove.[24]

U biologiji, pojam simetrije se takođe koristi kao u fizici, to jest za opisivanje osobina ispitivanih objekata, uključujući njihove interakcije. Izuzetna osobina biološke evolucije su promene simetrije koja odgovaraju pojavama novih delova i dinamike.[25][26]

U hemiji[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: molekularna simetrija

Simetrija je važna za hemiju, jer uslovljava esencijalno sve specifične interakcije između molekula u prirodi (tj. putem interakcije prirodnih i ljudski napravljenih hiralnih molekula sa inherentno hiralnom biološkim sistemima). Kontrola simetrije molekula proizvedenih u modernoj hemijskoj sintezi doprinosi sposobnosti naučnika da ponude terapeutske intervencije sa minimalnim neželjenim efektima. Rigorozno razumevanje simetrije objašnjava osnovna opažanja u kvantnoj hemiji, i u primenjenim oblastima spektroskopije i kristalografije. Teorija i primena simetrije na ove oblasti fizičkih nauka u velikoj meri zavisi od matematičke oblasti teorije grupa.[27]

U društvenim interakcijama[uredi | uredi izvor]

Ljudi opažaju simetričnu prirodu, često uključujući i asimetričnu ravnotežu društvenih interakcija u različitim kontekstima. Ovo obuhvata procenu reciprociteta, empatiju, simpatiju, pokajanje, dijalog, poštovanje, pravdu i osvetu. Reflektivni ekvilibrijum je ravnoteža koja se može postići putem dogovornog međusobnog prilagođavanja između opštih principa i specifičnih mišljenja.[28] Simetrične interakcije šalju moralnu poruku „svi smo isti“, dok asimetrične interakcije mogu poslati poruku „ja sam poseban, bolji od vas“. Međusobni odnosi koji se rukovode zlatnim pravilom, zasnivaju se na simetriji, dok su odnosi moći zasnovani na asimetriji.[29] Simetrični odnosi se mogu u izvesnoj meri održavati jednostavnim strategijama (teorija igara) koje se vide u simetričkim igrama, kao što je milo za drago.[30]

U umetnosti[uredi | uredi izvor]

Plafon džamije Šejh Lutfulah, Isfahan, Iran ima osmostruku simetriju.
Gledano sa strane, Tadž Mahal ima bilateralnu simetriju; od gore (u ravni), on ima četvorostruku simetriju.
Za više informacija pogledajte: Matematika i umetnost

U arhitekturi[uredi | uredi izvor]

Za više informacija pogledajte: Matematika i arhitektura

Simetrija pronalazi svoje put u arhitekturu na svim nivoima, od sveukupnih eksternih pogleda na zgrade kao što su gotičke katedrale i Bela kuća, kroz raspored pojedinačnih tlocrta, i do dizajna pojedinačnih građevinskih elemenata kao što su mozaici od pločica. Islamske građevine kao što je Tadž Mahal i džamija Šejh Lutfulaha praviti detaljnu upotrebu simetrije kako u svojoj strukturi, tako i u svojoj ornamentaciji.[31][32] Mavarska zdanja poput Alhambra su ukrašena su složenim obrascima napravljenim pomoću simetrije translacija i refleksija, kao i rotacija.[33]

Po nekim gledištima samo loši arhitekti se oslanjaju na „simetričan raspored blokova, masa i struktura“.[34] Modernistička arhitektura, počevši od međunarodnog stila, umesto toga se oslanja na „krila i balans masa“.[34]

Napomene[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Na primer, Aristotel pripisuje sferni oblik nebeskim telima, pripisujući ovu formalno definisanu geometrijsku meru simetrije prirodnom poretku i savršenstvu kosmosa.
  2. ^ Simetrički objekti mogu biti materijali, kao što su kristali, pokrivač, podne pločice ili molekul, ili to mogu biti apstraktna struktura kao što je matematička jednačina ili serija tonova (muzika.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ „symmetry”. Online Etymology Dictionary. 
  2. ^ Zee, A. (2007). Fearful Symmetry. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13482-6. 
  3. ^ Symmetry and the Beautiful Universe, Christopher T. Hill and Leon M. Lederman, Prometheus Books (2005)
  4. ^ Mainzer, Klaus (2005). Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science. World Scientific. ISBN 978-981-256-192-3. 
  5. ^ E. H. Lockwood, R. H. Macmillan, Geometric Symmetry, London: Cambridge Press, 1978
  6. ^ Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02374-8. 
  7. ^ Singer, David A. (1998). Geometry: Plane and Fancy. Springer Science & Business Media. 
  8. ^ Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.
  9. ^ Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)
  10. ^ Tian Yu Cao Conceptual Foundations of Quantum Field Theory Cambridge University Press pp. 154-155
  11. ^ Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0. 
  12. ^ Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis . The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press. (2005). str. 790.
  13. ^ Christopher G. Morris (1992) Academic Press Dictionary of Science and Technology Gulf Professional Publishing
  14. ^ Costa, Giovanni; Fogli, Gianluigi (2012). Symmetries and Group Theory in Particle Physics: An Introduction to Space-Time and Internal Symmetries. Springer Science & Business Media. str. 112. 
  15. ^ Kvantna mehanika, Maja Burić, Fizički fakultet Univerziteta u Beogradu, pristupljeno: 10. mart 2015.
  16. ^ Anderson 1972, str. 393–396
  17. ^ Wigner 2010
  18. ^ Wigner, E. P. (1939), „On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”, Annals of Mathematics, 40 (1): 149—204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, MR 1503456, doi:10.2307/1968551 
  19. ^ Martin, Stephen P. (1997). „A Supersymmetry Primer”. Advanced Series on Directions in High Energy Physics: 1—98. arXiv:hep-ph/9709356 Slobodan pristup. doi:10.1142/9789812839657_0001. 
  20. ^ Baer, Howard; Tata, Xerxes (2006). Weak scale supersymmetry: From superfields to scattering events. 
  21. ^ Dine, Michael (2007). Supersymmetry and String Theory: Beyond the Standard Model. str. 169. 
  22. ^ Valentine, James W. „Bilateria”. AccessScience. Arhivirano iz originala 18. 01. 2008. g. Pristupljeno 29. 5. 2013. 
  23. ^ Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). „Animal Diversity (Third Edition)” (PDF). Chapter 8: Acoelomate Bilateral Animals. McGraw-Hill. str. 139. Arhivirano iz originala (PDF) 17. 05. 2016. g. Pristupljeno 25. 10. 2012. 
  24. ^ Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. str. 64—65. 
  25. ^ Longo, Giuseppe; Montévil, Maël (2016). Perspectives on Organisms: Biological time, Symmetries and Singularities (na jeziku: engleski). Springer. ISBN 978-3-662-51229-6. 
  26. ^ Montévil, Maël; Mossio, Matteo; Pocheville, Arnaud; Longo, Giuseppe (2016). „Theoretical principles for biology: Variation”. Progress in Biophysics and Molecular Biology. From the Century of the Genome to the Century of the Organism: New Theoretical Approaches. 122 (1): 36—50. doi:10.1016/j.pbiomolbio.2016.08.005. 
  27. ^ Lowe, John P.; Peterson, Kirk (2005). Quantum Chemistry (Third izd.). Academic Press. ISBN 978-0-12-457551-6. 
  28. ^ Daniels, Norman (28. 4. 2003). „Reflective Equilibrium”. Ur.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
  29. ^ Emotional Competency: Symmetry
  30. ^ Lutus, P. (2008). „The Symmetry Principle”. Pristupljeno 28. 9. 2015. 
  31. ^ Williams: Symmetry in Architecture. Members.tripod.com (1998-12-31). Retrieved on 2013-04-16.
  32. ^ Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture Arhivirano na sajtu Wayback Machine (7. maj 2015). Math.nus.edu.sg. Retrieved on 2013-04-16.
  33. ^ Derry, Gregory N. (2002). What Science Is and How It Works. Princeton University Press. str. 269. ISBN 978-1-4008-2311-6. 
  34. ^ a b Dunlap, David W. (31. 7. 2009). „Behind the Scenes: Edgar Martins Speaks”. New York Times. Pristupljeno 11. 11. 2014. „“My starting point for this construction was a simple statement which I once read (and which does not necessarily reflect my personal views): ‘Only a bad architect relies on symmetry; instead of symmetrical layout of blocks, masses and structures, Modernist architecture relies on wings and balance of masses.’” 

Literatura[uredi | uredi izvor]

  • Baer, Howard; Tata, Xerxes (2006). Weak scale supersymmetry: From superfields to scattering events. 

Članci[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Simetrija na Vikimedijinoj ostavi.
Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Симетрија&oldid=27550340”