Stjuartova teorema

(Slika 1) Uz pomoć Stjuartove teoreme možemo izraziti dužinu duži d preko dužina a, b, c, n i m.

U geometriji Stjuartova teorema ukazuje na relaciju dužina stranica trougla i dužine duži sa jednom krajnjom tačkom na stranici tog trougla, a drugom u temenu naspramnom toj stranici (slika 1). Imenovana je u čast škotskog matematičara Metjua Stjuarta (engl. Matthew Stewart c. 1717/1719 - 23. januar 1785) koji je dokazao Stjuartovu teoremu 1749. Stjuartova teorema nalaže da je:

$AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP$ · $CP\,$

Dokaz preko trigonometrije

Teorema može da se dokaže na sledeći način:

Neka je θ ugao između m i d, i θ′ ugao između n i d. Onda je θ′ suplementan uglu θ pa je cos θ′ = −cos θ. Kosinusna teorema za uglove θ i θ′ nalaže

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}$

Pomnožimo prvu jednačinu sa n, drugu sa m, i dodamo da bismo skratili cos θ, pa dobijamo

${\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}$

I sređivanjem se vraćamo na prvobitnu formu:

$AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP$ · $CP\,$

Vidi još

• Trougao
• Težišna duž

Literatura

• Waterston, Charles D; Macmillan Shearer, A (jul 2006). Former Fellows of the Royal Society of Edinburgh 1783-2002: Biographical Index (PDF). II. Edinburg: Edinburška akademija nauka i umetnosti. ISBN 9780902198845. Arhivirano iz originala (PDF) 04. 10. 2006. g. Pristupljeno 29. septembar 2010.