Teorema Banaha-Štajnhausa

Teorema Banaha-Štajnhausa ili princip ravnomerne ograničenosti je jedan od osnovnih rezultata funkcionalne analize, skupa sa teoremom Hana-Banaha i teoremom o otvorenom preslikavanju jedan od tri kamena temeljca ove oblasti matematike. Teoremu su 1927. godine objavili poljski matematičari Stefan Banah i Hugo Štajnhaus; nezavisno od njih dokazao ju je i Hans Han. Ponekad se naziva i izvornim nazivom „princip kondenzacije singulariteta“.

Ako je ${\mathcal {F}}$ familija ravnomerno ograničenih linearnih preslikavanja između dva normirana prostora, jasno je da su tada ravnomerno ograničene i njihove vrednosti za svaku pojedinačnu vrednost argumenta. U svom osnovnom obliku, teorema Banaha-Štajnhausa tvrdi da, ako je domen ${\mathcal {F}}$ Banahov prostor, važi i obrnuto: ako su vrednosti preslikavanja iz ${\mathcal {F}}$ za svaku pojedinačnu vrednost argumenta ravnomerne ograničene, onda su ravnomerno ograničene i norme preslikavanja iz ${\mathcal {F}}$.

Princip ravnomerne ograničenosti

Neka je X Banahov prostor i Y normiran prostor. Ako je ${\mathcal {F}}$ familija neprekidnih linearnih preslikavanja iz X u Y takva da je

$\sup\{\|Tx\|_{Y}:T\in {\mathcal {F}}\}<\infty$

za svako pojedinačno x u X, tada je

$\sup\{\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}:T\in {\mathcal {F}}\}<\infty$.

Dokaz principa ravnomerne ograničenosti počiva na Berovoj teoremi o kategoriji.

Dokaz

Za svako n označimo

$X_{n}=\{x\in X:\|Tx\|_{Y}\leq n\,(\forall T\in {\mathcal {F}})\}$.

Skupovi X_n su zatvoreni po neprekidnosti i prema uslovu teoreme njihova unija je ceo prostor X. Kako je X Banahov (dakle i kompletan metrički) prostor, prema Berovoj teoremi o kategoriji neki X_N sadrži i neku kuglu B_X(x₀, δ). Ako je x proizvoljno takvo da je $\|x\|_{X}<\delta$, tada je prema linearnosti

$\|Tx\|_{Y}\leq \|T(x_{0}+x)\|_{Y}+\|Tx_{0}\|_{Y}<2N$.

Stoga je za svako x, $\|Tx\|_{Y}\leq 2N\cdot \|x\|/\delta$, te sledi $\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}\leq 2N/\delta$ za sve $T\in {\mathcal {F}}$.

Opštiji oblik

Teorema Banaha-Štajnhausa se može na prirodan način uopštiti na bačvaste prostore, važnu klasu topoloških vektorskih prostora:

Neka je X bačvast prostor i Y lokalno konveksan prostor. Tada je svaka familija neprekidnih linearnih preslikavanja iz X u Y ograničena za svaku pojedinačnu vrednost argumenta i ekvineprekidna (samim tim i ravnomerno ekvineprekidna).

Posledice

Važna i jednostavna posledica principa ravnomerne ograničenosti jeste sledeća činjenica: Ako je $A_{n}:X\to Y$ niz neprekidnih linearnih preslikavanja iz Banahovog prostora X u normiran prostor Y koji konvergira (tačka-po-tačka) ka funkciji A, tada je i A neprekidno linearno preslikavanje. I zaista, linearnost sledi direktnim prelaskom na graničnu vrednost; niz preslikavanja A_n je ograničen za svaku vrednost argumenta, te su stoga i njihove norme ograničene: tvrđenje zatim sledi prelaskom na graničnu vrednost u $\|A_{n}x\|\leq C\|x\|$.

Teorema Banaha-Štajnhausa je od izuzetnog značaja u funkcionalnoj analizi. Zajedno sa teoremom Banaha-Aloglu, na primer, se koristi kako bi se pokazalo da u lokalno konveksniim prostorima slaba ograničenost povlači ograničenost, što je polazna tačka za principe „od slabog ka jakom“, na primer za poređenje slabe i jake diferencijabilnosti.

Izvorni rad

• (jezik: francuski) Stefan Banah, Hugo Štajnhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.