Trigonometrija

Iz projekta Википедија

Trigonometrija (lat. trigonon - trougao, metron - mera) je deo matematike koji izučava zavisnost između strana i uglova trougla (trigonometrija u užem smislu), a takođe i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu među njima (goniometrija).

[uredi] Podela

Trigonometrija se deli na sledeće tri oblasti:

1. Ravninska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava
   • Trigonometrijske funkcije, posebno:
     • sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans;
   • Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkus-funkcije:
2. Sferna trigonometrija, na površi sfere;
3. Hiperbolička trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog;
   • Hiperboličke funkcije:
     • sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički, tangens hiperbolički, kotangens hiperbolički, sekans hiperbolički i kosekans hiperbolički;
   • Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije.

Osnovna linija razvoja trigonometrija bila je primena u geometrijskim istraživanjima. Razvoj prve i druge od nabrojanih trigonometrija išao je uz Euklidsku ravan, tj. elementarna geometrija i površinu sfere, a treća od trigonometrija je bar u početku (XIX vek) bila vezana za otkrića neeuklidskih geometrija, (geometrija Lobačevskog, zatim Rimanova geometrija).

Primene trigonometrija danas su daleko šire.

[uredi] Poreklo

Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. Tamo je nađena vavilonska kamena ploča (oko 1900-1600. p.n.e.) koja sadrži probleme sa relacijama koje odgovaraju savremenom sec². Egipatski papirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, pre nego samih uglova.

Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Hipokrata iz Kiosa (Elementi, oko 430. p.n.e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova kružnice i tetiva. Hiparhus je 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Aleksandrije (Sferna geometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernu trigonometriju. Ptolomej (Almagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova između 0,5° i 180° sa intervalom od pola stepena. On je takođe istraživao trigonometrijske identitete.

Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su ostvarili napredak razmeštanjem tetiva preuzetih od Grka na polu tetive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentom našoj sinusnoj funkciji. Prve takve tablice bile su u Sidhantasu (sistem za astronomiju) u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematičara preko Arapskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uveli su trigonometriju u Evropu.

Osoba odgovorna za "modernu" trigonometriju bio je renesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alat za astronomska izračunavanja. Regiomontanus (De triangulis omni modis, 1464; publikovano 1533.) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543.) i njegov učenik Retikus. U Opus palatinum de trianulis (kompletirao njegov učenik 1596.), Retikus je ustanovio upotrebu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija, praveći tablice njihovih vrednosti, i držeći se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglom trouglu (rađe nego tradicionalne polu-tetive krugova).

Moderna analitička geometrija datira od vremena Fransoisa Vietea, koji je uradio tablice šest funkcija do najbliže minute (1579). Viete je takođe izveo formulu za proizvod, tangensnu formulu i formule za više uglova. Krajem XV veka je prvi put upotrebljen naziv "trigonometrija".