Ubrzanje

Za druge upotrebe, pogledajte Ubrzanje (višeznačna odrednica).

Ubrzanje
Lopta koja slobodno pada pod uticajem gravitacione sile ubrzava konstantnim ubrzanjem (gravitaciono ubrzanje).
Uobičajeni simboli	a
SI jedinica	Metar u sekundi na kvadrat (m/s2, m·s−2)

Ubrzanje ili akceleracija je promena brzine u jedinici vremena. U fizici ubrzanje opisuje kako se menja brzina kretanja. U svakodnevnom govoru iste reči opisuju kako se menja brzina odvijanja bilo kakvog procesa; međutim, tad pojam nije precizno definisan, nego se samo podrazumeva povećavanje brzine (npr. „treba ubrzati postupak...“).

U fizici je ubrzanje vektorska veličina koja se dobija nalaženjem prvog izvoda brzine (koja je takođe vektor) po vremenu. Ubrzanje predstavlja promenu brzine u infinitezimalnom vremenskom intervalu. U nekim situacijama, ako je iz konteksta jasno o čemu se radi, npr. kod kretanja duž određenog pravca, reč ubrzanje se koristi da označi samo iznos vektora ubrzanja, odnosno predstavlja se skalarnom veličinom. Merna jedinica za ubrzanje u SI sistemu je metar u sekundi na kvadrat (m/s²).

Ubrzanje i brzinu najjednostavnije je definisati za tačkaste objekte. Bilo koji objekat se može predstaviti samo jednom materijalnom tačkom ako su dimenzije tog objekta zanemarljivo male u odnosu na pređeni put. Tela koja ne rotiraju i kreću se samo translatorski se takođe mogu predstaviti samo jednom tačkom kada se opisuje njihovo kretanje. Ako objekat pored translacionog kretanja dodatno i rotira, različiti delovi tog objekta imaju različita ubrzanja. Tada se pojam ubrzanje tela odnosi na ubrzanje njegovog centra masa (a kaže se još da je to translatorno ili linearno ubrzanje). Kod tela koja rotiraju, potrebno je dodatno razmotriti i ugaono ubrzanje kako bi u potpunosti opisalo kretanje tela.

Ubrzanje i sila su povezani preko Drugog Njutnovog zakona.

Formalna definicija

Ubrzanje se definiše kao prvi izvod brzine po vremenu:

${\vec {a}}(t)={d{\vec {v}}(t) \over dt}$.

Simbol ${\vec {a}}$ označava ubrzanje (a je prvo slovo reči akceleracija koja je latinskog porekla), simbol ${\vec {v}}$ označava brzinu; i jedna i druga veličina su funkcije vremena t (što se podrazumeva, pa se ne mora eksplicitno navesti). Ubrzanje opisuje kako se brzo i u kom smeru menja brzina u pojedinom trenutku. Budući da je brzina vektorska veličina koja može menjati i iznos i smer, ubrzanje istovremeno opisuje i jednu i drugu promenu. Ekvivalentno, translaciono i rotaciono kretanje se u svakom trenutku mogu razdvojiti i tada se zasebno posmatraju tangencijalno i normalno ubrzanje.

Ako su poznate sve sile koje deluju na dato telo, kako bi se opisalo kretanje tela, često se polazi od Drugog Njutnovog zakona, koji (u nerelativističkoj aproksimaciji) glasi da je suma sila jednaka umnošku mase i ubrzanja (tj. $\Sigma {\vec {F}}=m{\vec {a}}$). Odatle se, poznavanjem sila koje deluju na materijalnu česticu, direktno dobija njeno ubrzanje. Potom se poznavanjem ubrzanja, brzina čestice može dobiti integraljenjem ubrzanja:

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+\int _{{t}_{0}}^{t}{\vec {a}}\,\mathrm {d} t$

gde je ${\vec {v}}_{0}$ brzina u trenutku $t_{0}$ (tzv. početna brzina). Poznavanjem ubrzanja i brzine u svakom trenutku, može se odrediti jednačina putanje ili pređeni put. Ako se umesto materijalne tačke posmatra telo, navedena razmatranja odnose se na kretanje njegovog centra mase.

Prosečno i trenutno ubrzanje

Za gorenavedenu definiciju ponekad se kaže da opisuje trenutno ili pravo ubrzanje. Ti se termini koriste (umesto jednostavnog naziva ubrzanje) kada se želi naglasiti razlika u odnosu na prosečno ili srednje ubrzanje ${\vec {a}}_{sr}$, koje se definiše kao odnos promene brzine i vremenskog intervala u kojem se brzina promenila:

${\vec {a}}_{sr}={\Delta {\vec {v}} \over \Delta t}$

gde simbol $\Delta$ označava promenu, tj. razliku između kasnije i ranije vrednosti. Tu je $\Delta {\vec {v}}={\vec {v}}(t_{2})-{\vec {v}}(t_{1})$ promena brzine od trenutka $t_{1}$ do trenutka $t_{2}$, dok je $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ vremenski interval (proteklo vreme) između ta dva trenutka.

Tokom posmatranog vremenskog intervala tačka (ili telo) je mogla kojekako ubrzavati i usporavati u svom kretanju, tako da prosečna ubrzanja u različitim vremenskim podintervalima mogu biti različita, što ograničava upotrebnu vrednost prosečnog ubrzanja na zadati vremenski interval (i njegov zadani početni trenutak).

Nasuprot tome, „pravo“ ubrzanje („trenutno“) ne zavisi od vremenskog intervala jer se dobija njegovim zamišljenim skraćivanjem na „beskonačno mali interval“ oko pojedinog trenutka. Za ovakvu definiciju u kojoj se koriste beskonačno mali intervali, potreban je pojam izvoda. Trenutno ubrzanje je prvi izvod brzine po vremenu, tj. „granična vrednost“ (limes, simbol lim) odnosa promene brzine i proteklog vremenskog intervala kada vremenski interval „teži“ nuli:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}\,\!$.

Definicija ubrzanja kod ravnomernog ubrzanog pravolinijskog kretanja

Najjednostavnija definicija ubrzanja, koja je dobro polazište za razumevanje pojma, jeste uobičajena definicija: ubrzanje je promena brzine u jedinici vremena. Pritom se obično posmatra pravolinijsko kretanje, pa se reč brzina odnosi samo na iznos brzine (jer ne menja smer), a i reč ubrzanje samo na iznos ubrzanja. Takva definicija nepotpuno opisuje ubrzanje, jer daje samo broj koji je jednak prosečnom iznosu ubrzanja u toj jedinici vremena.

Međutim ako se posmatra ravnomerno ubrzano pravolinijsko kretanje, kod kojega se iznos ubrzanja ne menja, onda je ubrzanje u bilo kom trenutku jednako prosečnoj vrednosti ubrzanja, i računa se tako što se promena brzine podeli s vremenom. Npr. ako za 3 sekunde brzina naraste s 5 m/s na 17 m/s, ukupna promena brzine je 12 m/s, a ubrzanje se dobija deljenjem promene brzine sa vremenskim intervalom za koji se ta promena desila (12 m/s) : (3 s) = 4 m/s², i označava da brzina tela naraste za 4 m/s svake sekunde.

Tangencijalno i normalno ubrzanje

Rastavljanje sile i ubrzanja na tangencijalnu i normalnu komponentu

U svakoj tački proizvoljno zakrivljene putanje neke materijalne čestice, njeno ubrzanje ${\vec {a}}$ može se rastaviti na dve ortogonalne komponente: na tangencijalno ubrzanje ${\vec {a}}_{t}$ koje je paralelno s tangentom na putanju u datoj tački, i na normalno ubrzanje ${\vec {a}}_{n}$koje je u smeru normale na putanju u datoj tački. Na skici desno gore prikazano je ukupno ubrzanje ${\vec {a}}$ (i sila ${\vec {F}}$ koja ga uzrokuje), a u donjem delu to ubrzanje rastavljeno je na tangencijalnu i normalnu komponentu (kao i sila). Prikazane su i tangenta i normala (t i n) kao koordinatne ose: tangenta se proteže u smeru brzine ${\vec {v}}$, a normala je usmerena pod pravim uglom na tangentu i leži u ravni koju određuju brzina i ukupno ubrzanje (u ovom slučaju slovo t se odnosi na tangentu, a inače je to standardna oznaka za vreme u fizici, ako nije drugačije naglašeno.)

Tangencijalno ubrzanje opisuje kako se brzo menja iznos brzine duž pravca kretanja:

$a_{t}={dv \over dt}$.

Tu je $a_{t}$ skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja, dok je $v$ iznos brzine.

Normalno ubrzanje opisuje kako se brzo menja smer brzine:

$a_{n}={v^{2} \over r_{k}}$.

Tu je $a_{n}$ skalarna normalna komponenta ubrzanja, $v$ je iznos brzine, dok je $r_{k}$ radijus zakrivljenosti putanje u posmatranoj tački.

Na skici su prikazane vektorske komponente, a u gornjem tekstu se koriste skalarne komponente. Odnos između njih i ukupnog ubrzanja je sledeći:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{t}+{\vec {a}}_{n}=a_{t}{\vec {u}}_{t}+a_{n}{\vec {u}}_{n}$.

Tu je ${\vec {u}}_{t}$ jedinični vektor u smeru tangente (dakle, i u smeru brzine), dok je ${\vec {u}}_{n}$ jedinični vektor u smeru normale (jedinični vektori imaju iznos jednak 1). Kada se skalarna komponenta pomnoži s jediničnim vektorom, dobije se vektorska komponenta, npr. ${\vec {a}}_{t}=a_{t}{\vec {u}}_{t}$.

Za razumevanje uloge komponenti ubrzanja korisno je razmotriti njihovu vezu sa silama na temelju Drugog Njutnovog zakona. Ako je ${\vec {F}}$ ukupna (rezultantna) sila koja deluje na česticu, ona joj daje ubrzanje ${\vec {a}}$ u smeru sile prema formuli ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$. Temeljno svojstvo vektora je da među njihovim komponentama na pojedinoj osi koordinatnog sistema vrede isti odnosi (jednačine) kao i među samim vektorima. To znači da tangencijalna sila daje tangencijalno ubrzanje, a normalna sila daje normalno ubrzanje (kao na skici).

Odatle se lako razume zašto tangencijalno i normalno ubrzanje imaju gorenavedeni smisao. Tangencijalna sila deluje u smeru brzine (ili u suprotnom smeru); dakle, ona povećava iznos brzine (ili ga umanjuje). Zato tangencijalno ubrzanje opisuje promenu iznosa brzine (povećanje ili umanjenje). Dakle, nema razloga da se te tangencijalne komponente dovode u vezu s promenom smera brzine.

Nasuprot tome, normalna sila okomita je na brzinu: ona ne povećava brzinu jer ne vuče nimalo prema napred, niti umanjuje brzinu jer ne vuče nimalo prema nazad. A ipak menja brzinu jer daje čestici ubrzanje (normalno ubrzanje). Budući da nema promene iznosa brzine, očito je da to mora biti promena smera brzine.

Formalni izvod

Formule za tangencijalno i normalno ubrzanje mogu se dokazati deriviranjem brzine ako se ona prikaže kao umnožak iznosa i jediničnog vektora

${\vec {v}}=v{\vec {u}}_{t}$.

Jedinični vektor tangente ${\vec {u}}_{t}$ ima smer brzine, i može se dobiti tako da se brzina podeli sa svojim iznosom (zato što je njegov iznos jednak 1). Deriviranjem gornjeg izraza za brzinu, prema pravilu deriviranja umnoška, dobije se:

${\vec {a}}={d{\vec {v}} \over dt}={dv \over dt}{\vec {u}}_{t}+v{d{\vec {u_{t}}} \over dt}$.

Odmah se vidi da levi sabirak izgleda kao ranije definisana tangencijalna komponenta ubrzanja. Međutim, da bi se to dokazalo, treba pokazati da je desni sabirak jednak normalnoj komponenti ubrzanja. U tu svrhu treba objasniti što se dobija derivisanjem jediničnog vektora ${\vec {u}}_{t}$ u desnom sabirku.

Derivacija jediničnog vektora

Derivacija jediničnog vektora

Derivacija bilo kojeg jediničnog vektora ${\vec {u}}$ mora biti okomita na njega, kako se vidi iz skice desno, koja prikazuje promenu $\Delta {\vec {u}}$ nekog jediničnog vektora u vremenskom intervalu $\Delta t$. Na skici je ta promena približno okomita na jedinični vektor, a u graničnom prelazu kada vremenski interval teži nuli (kad se računa derivacija), promena $\Delta {\vec {u}}$ postaje tačno normalna na jedinični vektor (i to u smeru njegova zakretanja). Iznos derivata dobije se tako da se iznos promene $\Delta {\vec {u}}$ podeli s $\Delta t$ i sprovede granični prelaz u kojem vremenski interval teži nuli. Na skici se vidi da je iznos promene $\Delta {\vec {u}}$ približno jednak dužini kružnoga luka koji prekriva, a u graničnom prelazu postaju tačno jednaki. Dužina tog dela kružnoga luka jednaka je uglju zakreta $\Delta \varphi$ kako sledi iz definicije ugla u radijanima (luk kroz poluprečnik), budući da je iznos poluprečnika jednak 1 (iznos jediničnog vektora). Dakle, iznos derivata jediničnog vektora je granična vrednost ${{\Delta \varphi } \over {\Delta t}}$, a to je iznos ugaone brzine zakretanja jediničnog vektora $\omega ={{d\varphi } \over {dt}}$.

Odatle se vidi da desni sabirak gornje jednačine za ubrzanje ima smer jediničnog vektora normale ${\vec {u}}_{n}$ te da ima iznos $v\omega$. To je, dakle, zaista normalna komponenta ubrzanja, i ona ima oblik:

$v{d{\vec {u_{t}}} \over dt}={\vec {a}}_{n}=v\omega {\vec {u}}_{n}$ .

Analogija s kružnim kretanjem

Kod kružnog kretanja iznos kutne brzine $\omega$ jednak je odnosu iznosa brzine i poluprečnika kružnice, $\omega =v/r$. Tu ugaona brzina opisuje zakretanje poluprečnika (radijus vektora) povučenog do tačke koja se kreće po kružnici. Međutim, ista ugaona brzina opisuje i zakretanje vektora brzine tačke, jer je taj vektor stalno normalan na poluprečnik kružnice. Zato se normalna komponenta ubrzanja može izraziti preko iznosa brzine i poluprečnika: $a_{n}=v\omega ={v^{2} \over r}$.

Po analogiji s kružnim kretanjem, i kod kretanja po kružnici opisuje se zakretanje vektora brzine pomoću iznosa brzine, i to relacijom $\omega =v/r_{k}$. Ta relacija zapravo definiše poluprečnik zakrivljenosti $r_{k}$ krive u posmatranoj tački. Poluprečnik zakrivljenosti krive je poluprečnik tzv. dodirujuće kružnice, a to je kružnica koja najbolje prianja uz krivu u toj tački (imaju jednaku zakrivljenost). Definisanje poluprečnika zakrivljenosti omogućuje da se normalna komponenta ubrzanja na krivoj izrazi na sličan način kao na kružnici:

${\vec {a}}_{n}={v^{2} \over r_{k}}{\vec {u}}_{n}$.

Alternativni geometrijski izvod

Rastavljanje promene brzine na tangencijalnu i normalnu komponentu

Prethodni izvod orijentisan je na matematičku korektnost i potpunost, pa mu zato nedostaje neposredni geometrijski aspekt. Na skici desno, međutim, jasno je prikazano kretanje tačke po krivoj tako da se vide vektori položaja i brzine na početku i na kraju vremenskog intervala $\Delta t$ (leva strana skice), kao i promena brzine $\Delta {\vec {v}}={\vec {v}}(t+\Delta t)-{\vec {v}}(t)$ na desnoj strani skice. Pritom je promena brzine rastavljena na tangencijalnu i normalnu komponentu:

$\Delta {\vec {v}}=\Delta {\vec {v}}_{t}+\Delta {\vec {v}}_{n}$.

Ubrzanje je derivat brzine po vremenu, tj. granična vrednost odnosa promene brzine $\Delta {\vec {v}}$ i pripadnog vremenskog intervala $\Delta t$ kada vremenski interval teži nuli:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}_{t}}{\Delta t}}+\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}_{n}}{\Delta t}}\,\!$.

I bez punog matematičkog formalizma, može se razumeti kako levi sabirak daje tangencijalnu komponentu, a desni normalnu komponentu ubrzanja. Iz skice je očito da $\Delta {\vec {v}}_{t}$ samo menja iznos brzine (u prikazanom primeru povećava brzinu). Smer brzine menja samo komponenta $\Delta {\vec {v}}_{n}$, ali ona malo doprinosi i promeni iznosa, jer prevodi katetu $({\vec {v}}(t)+\Delta {\vec {v}}_{t})$ pravougaonog trougla u hipotenuzu ${\vec {v}}(t+\Delta t)$. Međutim, kada u graničnom prelazu $\Delta t$ teži prema nuli (kod proračuna ubrzanja), taj pravougaoni trougao postaje jednakokrak, pa $\Delta {\vec {v}}_{n}$ menja samo smer vektora brzine.

Odatle je jasno da je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja jednaka derivatu iznosa brzine po vremenu - te da je pozitivna kad se brzina povećava, a negativna kad se brzina umanjuje. Skalarna normalna komponenta ubrzanja uvek je pozitivna, jer se brzina zakreće u smeru normale. Njezin iznos, međutim, određuje se na temelju gornjeg formalnog izvoda, ili na temelju analize kružnog kretanja. (Ipak, i sa skice se razabire da taj iznos treba biti jednak $v\omega$, zato što je iznos $\Delta {\vec {v}}_{n}$ približno jednak umnošku iznosa brzine i ugla njenog zakretanja.)

Tangencijalno i centripetalno ubrzanje

Oscilujuće klatno, sa obeleženom brzinom i ubrzanjem. Ono doživljava tangencijalno i centripetalno ubrzanje.

Komponente ubrzanja za krivolinijsko kretanje. Tangencijalna komponenta a_t je usled promene brzine kretanja, i tačke duž krive su u pravcu vektora brzine (ili u suprotnom smeru). Normalna komponenta (ili centripetalna komponenta kod kružnog kretanja) a_c je usled promene smera vektora brzine i normalna je na trajektoriju, sa smerom ka centru zakrivljenja puta.

Brzina čestice koja se kreće na zakrivljenom putu kao funkcija vremena se može zapisati kao:

$\mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t),$

gde je v(t) jednako brzini duž puta, a

$\mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\ ,$

je jedinična vektorske tangenta na putu, koja je usmerena u pravcu kretanja datog momenta. Uzimajući u obzir promenu brzine v(t) i promenu smera u_t, ubrzanje čestice koja se kreće duž zakrivljenog puta se može zapisati koristeći lančano pravilo diferencijacije za proizvod dve funkcije vremena kao:

${\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ ,\\\end{alignedat}}$

gde je u_n jedinica normalnog vektora na trajektoriji čestice (koja se takođe naziva principalnom normalom), i r je njen trenutni prečnik krive baziran na dodirnoj kružnici u vremenu t. Te komponente se nazivaju tangencijalnim ubrzanjem i normalnim ili radijalnim ubrzanjem (ili centripetalnim ubrzanjem kružnog kretanja, vidi takođe kružno kretanje i centripetalnu silu).

Geometrijska analiza trodimenzionalnih krivih, koja objašnjava tangencijalno, (principijalno) normalno i binormalno kretanje, je opisana Frenet–Seretovim formulama.

Brzina i pređeni put kod promenjivog kretanja

Da bi se izračunala brzina u nekom trenutku ubrzanog kretanja, mora se znati koliko je vremena prošlo otkad se telo počelo kretati (t) i kolika mu je brzina bila pre početka ubrzanja (v₀). Brzina u nekom trenutku ubrzanog kretanja računa se po sledećoj formuli: $v=a*t+v_{0}$.

Oznaka za pređeni put je s. Put promenjivog kretanja bez početne brzine računa se po formuli $s={\frac {a*t^{2}}{2}}$, dok se za rešavanje puta s poznatom početnom brzinom koristi izraz $s=v_{0}t+{\frac {a*t^{2}}{2}}$.

Jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje je ono kretanje u kojem se neko telo kreće pravolinijski s nekom početnom brzinom v₀, koja se jednako povećava u jednakim intervalima.

Put (s) kod jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja preko početne brzine (v₀) i ubrzanja (a), bez vremena (t), može se napisati i ovako: $s={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}$.

Iz ovoga proizlazi da je $2as=v^{2}-v_{0}^{2}$, pa se brzina s poznatom početnom brzinom v₀ izračunava izrazom $v^{2}=v_{0}^{2}+2as$.

Naravno, za $v_{0}=0$ važiće: $v=a*t$, $s={\frac {a*t^{2}}{2}}$ i $v^{2}=2as$.

Jednoliko usporeno pravolinijsko kretanje jeste kretanje koje se odvija po određenom pravcu u nekom vremenu (t) s nekom početnom brzinom (v₀), koja se jednako smanjuje u jednakim intervalima.

Brzina kod jednoliko usporenog pravolinijskog kretanja s poznatom vremenom računa se preko formule $v=v_{0}-at$, dok se formula $v^{2}=v_{0}^{2}-2as$ koristi za dobijanje brzine s poznatim putem.

Vreme zaustavljanja tela pod uticajem umereno usporenog kretanja može se naći formulom $tz={\frac {v_{0}}{a}}$ dok se put do zaustavljanja (S_z) dobija formulom $Sz={\frac {v_{0}^{2}}{2a}}$.

Gravitaciono ubrzanje

Gravitacijsko ubrzanje je ubrzanje koje telo dobija pri slobodnom padu (padu s određene tačke, bez podsticaja bilo koje druge sile osim sile Zemljine teže). To ubrzanje iznosi približno $10{\frac {m}{s^{2}}}$, a ono zavisi od blizine određenog tela središtu Zemlje. To zavisi od geografskog položaja i nadmorske visine. U Sarajevu je gravitacijsko ubrzanje $9,81{\frac {m}{s^{2}}}$.

Gravitacijsko ubrzanje označava se slovom g i pomoću njega se izračunava težinu određenog tela. G = m*g, gde je m masa tog tela, a G težina.

Drugi Njutnov zakon

Ovaj zakon glasi: Intenzitet sile koja pokreće telo jednak je proizvodu mase tela i ubrzanja koje telo dobija delovanjem te sile, tj. F = m*a, gde je F sila koja pokreće telo i daje mu ubrzanje, m masa tog tela i a ubrzanje koje telo dobija delovanjem te sile. Pošto je jedinica za silu 1 Njutn (N) - $1N=1{\frac {kgm}{s^{2}}}$, a za masu 1 kg, dobijamo da je jedinica za ubrzanje $1{\frac {m}{s^{2}}}$.

Jednostavni slučajevi: ubrzanje na pravoj liniji i na kružnici

Ubrzano kretanje po pravcu i jednoliko kretanje po kružnici zanimljivi su primeri zato što sadrže samo jednu od opisanih komponenata ubrzanja. Kod kretanja po pravcu, to je samo tangencijalno ubrzanje (jer brzina ne menja smer). Kod jednolikog kretanja po kružnici, to je samo normalno ubrzanje (jer brzina ne menja iznos), a ono se na kružnici naziva centripetalnim ili radijalnim ubrzanjem.

Kod jednolikog kretanja po kružnici uvodi se pojam centripetalnog ubrzanja koji i bez punog vektorskog formalizma jasno ocrtava smisao normalne komponente ubrzanja. A kod jednoliko ubrzanog kretanja po kružnici mora se - pored centripetalnog ubrzanja - uvesti i tangencijalno ubrzanje za opis promene iznosa brzine. Time je zapravo obuhvaćen glavni smisao razlaganja ubrzanja na normalnu i tangencijalnu komponentu, čak i ako se ne koristi formalni vektorski opis.

Vidi još

• Brzina
• Vreme

Literatura

• Ch V Ramana Murthy; Srinivas, NC (2001). Applied Mathematics. New Delhi: S. Chand & Co. str. 337. ISBN 978-81-219-2082-7. 

• Andrews, Larry C.; Phillips, Ronald L. (2003). Mathematical Techniques for Engineers and Scientists. SPIE Press. str. 164. ISBN 978-0-8194-4506-3. 
• Lehrman, Robert L. (1998). Physics the Easy Way. Barron's Educational Series. str. 27. ISBN 978-0-7641-0236-3. 
• Bondi, Hermann (1980). Relativity and Common Sense. Courier Dover Publications. str. 3. ISBN 978-0-486-24021-3. 
• Serway, Raymond A.; Vuille, Chris; Faughn, Jerry S. (2008). College Physics, Volume 10. Cengage. str. 32. ISBN 9780495386933. 
• Crew, Henry (2008). The Principles of Mechanics. BiblioBazaar, LLC. str. 43. ISBN 978-0-559-36871-4. 
• Landau, L. D., Lifšic, E. M. Mehanika. — Izdanie 5-e, stereotipnoe. — M.: Fizmatlit, — 224 s. — (Teoretičeskaя fizika, tom I). 2004. ISBN 978-5-9221-0055-7.
• Cassidy, David C.; Gerald James Holton; F. James Rutherford (2002). Understanding physics. Birkhäuser. ISBN 978-0-387-98756-9. 
• Pauli W. (1981). Theory of Relativity. Dover. ISBN 978-0-486-64152-2. 
• Aaboe, A. (1991). „Mesopotamian Mathematics, Astronomy, and Astrology”. The Cambridge Ancient History. Volume III (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-22717-9. 
• Allen, D. (10. 4. 1997). „Calculus”. Texas A&M University. Arhivirano iz originala 23. 03. 2021. g. Pristupljeno 1. 4. 2014. 
• Dijksterhuis, E.J. (1986). The mechanization of the world picture: Pythagoras to Newton. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08403-9. Arhivirano iz originala 5. 8. 2011. g. Pristupljeno 11. 05. 2017. 
• DONUT (29. 6. 2001). „The Standard Model”. Fermilab. Pristupljeno 1. 4. 2014. 
• Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M. (1963). The Feynman Lectures on Physics. 1. ISBN 978-0-201-02116-5. 
• Feynman, R.P. (1965). The Character of Physical Law. ISBN 978-0-262-56003-0. 
• Godfrey-Smith, P. (2003). Theory and Reality: An Introduction to the Philosophy of Science. ISBN 978-0-226-30063-4. 
• Grupen, Klaus (10. 6. 1999). „Instrumentation in Elementary Particle Physics: VIII ICFA School”. AIP Conference Proceedings. 536: 3—34. arXiv:physics/9906063 . doi:10.1063/1.1361756. 
• Guicciardini, N. (1999). Reading the Principia: The Debate on Newton's Methods for Natural Philosophy from 1687 to 1736. New York: Cambridge University Press. 
• Holzner, S. (2006). Physics for Dummies. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-61841-7. „Physics is the study of your world and the world and universe around you.” 
• Kellert, S.H. (1993). In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-42976-2. 
• Leggett, A.J. (1999). „Superfluidity”. Reviews of Modern Physics. 71 (2): S318—S323. Bibcode:1999RvMPS..71..318L. doi:10.1103/RevModPhys.71.S318. 
• Levy, B.G. (2001). „Cornell, Ketterle, and Wieman Share Nobel Prize for Bose-Einstein Condensates”. Physics Today. 54 (12): 14. Bibcode:2001PhT....54l..14L. doi:10.1063/1.1445529. Arhivirano iz originala 15. 5. 2016. g. Pristupljeno 11. 05. 2017. 
• Mastin, L. (2010). „Greek Mathematics - Plato”. The Story of Mathematics. Pristupljeno 31. 3. 2014. 
• Maxwell, J.C. (1878). Matter and Motion. D. Van Nostrand. ISBN 978-0-486-66895-6. 
• National Research Council; Committee on Technology for Future Naval Forces (1997). Technology for the United States Navy and Marine Corps, 2000-2035 Becoming a 21st-Century Force: Volume 9: Modeling and Simulation. Washington, DC: The National Academies Press. ISBN 978-0-309-05928-2. 
• O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (1996). „Special Relativity”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Pristupljeno 1. 4. 2014. 
• O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (1996). „A History of Quantum Mechanics”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Arhivirano iz originala 28. 10. 2019. g. Pristupljeno 1. 4. 2014. 
• Toraldo Di Francia, G. (1976). The Investigation of the Physical World. ISBN 978-0-521-29925-1. 
• Young, H.D.; Freedman, R.A. (2014). Sears and Zemansky's University Physics with Modern Physics Technology Update (13th izd.). Pearson Education. ISBN 978-1-29202-063-1. 

Spoljašnje veze

• Acceleration Calculator Simple acceleration unit converter
• Measurespeed.com - Acceleration Calculator Based on starting & ending speed and time elapsed.