Fraktal

Mandelbrotov skup je čuveni primer fraktala.

Zmajeva kriva

Fraktal je „geometrijski lik koji se može razložiti na manje delove tako da je svaki od njih, makar približno, umanjena kopija celine“. Još se kaže da je takav lik sam sebi sličan. Termin je izveo Benoa Mandelbrot 1975. godine iz latinske reči fractus koja ima značenje „slomljen“, „razlomljen“.

Fraktal često ima sledeće osobine:

• finu strukturu na proizvoljno malom uvećanju;
• previše je nepravilan da bi mogao biti opisan tradicionalnim euklidskim jezikom;
• sam je sebi sličan (makar približno ili stohastično);
• Hauzdorfovu dimenziju koja je veća od njegove topološke dimenzije (iako ovaj uslov ne ispunjavaju beskonačno guste krive kao što je Hilbertova kriva);
• jednostavnu i rekurzivnu definiciju.

Pošto se čine sličnim na svim nivoima uvećanja, fraktali se često smatraju beskonačno kompleksnim u neformalnom smislu reči. Prirodni oblici koji aproksimiraju fraktale do izvesne granice su oblaci, planinski venci, munje, morske obale, i snežne pahuljice. Međutim, nisu svi objekti koji su sami sebi slični istovremeno i fraktali – primer je realna prava koja je formalno sama sebi slična, ali ne poseduje ostale osobine fraktala.

Istorija

Animirana konstrukcija trougla Sjerpinjskog.

Matematika koja se nalazi u osnovi fraktala počela je da poprima svoj oblik u 17. veku kada je matematičar i filozof Lajbnic razmatrao osobinu rekurzivne sličnosti samom sebi, iako je on, greškom, smatrao da je samo prava linija slična samoj sebi u tom smislu. Tek 1872. godine pojavljuje se prva funkcija čiji bismo grafik danas smatrali fraktalom, kada je Karl Vajerštras definisao funkciju koja je imala neintuitivnu osobinu da je na celoj oblasti definisanosti bila neprekidna, ali da ni u jednoj tački nije bila diferencijabilna. Tri decenije kasnije, 1904. godine Helg Koh, nezadovoljan Vajerštrasovom previše apstraktnom i analitičkom definicijom, u svom radu O jednoj neprekidnoj krivoj bez tangenti, dobijenoj pomoću elementarne geometrijske konstrukcije (Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire) objavljenom u časopisu Arkivfor Matematik daje geometrijski definiciju krive koja je danas poznata kao Kohova pahuljica. 1915. godine Vaclav Sjerpinjski je konstruisao svoj trougao, a godinu dana kasnije i tepih Sjerpinjskog. U originalu, svi ti geometrijski fraktali su bili opisani kao krive, a ne kao dvodimenzionalni oblici, kako se tretiraju u modernim definicijama. Ideju o krivama koje su slične same sebi je dalje razvio Pol Pjer Levi, koji je 1938. godine u svom radu Ravanske ili prostorne krive i površi koje su sastavljene od delova sličnih celini (Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole) opisao novu fraktalnu krivu, poznatu danas kao Levijeva C kriva.

I Georg Kantor je, u periodu 1879—1884, kada je objavljivao seriju od šest članaka koji su zajedno bili uvod u njegovu teoriju skupova, razmatrao primere podskupova realne prave sa neuobičajenim osobinama. Ti Kantorovi skupovi su danas svrstani u fraktale.

Pred kraj 19. i početkom 20. veka Anri Poenkare, Feliks Klajn, Pjer Fatu i Gaston Žulija su istraživali iterirajuće funkcije u kompleksnoj ravni. Međutim bez pomoći grafike savremenih računara, nisu imali mogućnost vizuelizacije lepote većine objekata koje su otkrili.

Benoa Mandelbrot je šezdesetih godina 20. veka počeo da se bavi samosličnošću u svojim radovima kao što je članak Koliko je dugačka britanska obala? Statistička samosličnost i razlomljene dimezije (How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension), zasnovan na jednom ranijem delu koje je objavio Luis Fraj Ričardson.

Napokon, 1975. godine, Mandelbrot je upotrebio reč „fraktal“ da njome označi objekat koji je imao osobinu da mu je Hauzdorfova dimenzija veća od topološke. Tu matematičku definiciju je ilustrovao zadivljujućom vizuelizacijom dobijenom pomoću računara. Većina generisanih slika bila je zasnovana na rekurziji, i time odredila opšteprihvaćeno značenje reči „fraktal“.

Oblasti pojavljivanja i primene fraktala

Fraktali se često pojavljuju kao atraktori dinamičkih sistema, čak i u situacijama koje se čine prilično jednostavnim (npr. Žulijin skup). U kompjuterskoj grafici, fraktali se koriste za generisanje slika koje predstavljaju prirodne objekte: oblake, sneg, morske obale, planinske vence, hrpe otpada...

Klasifikacija fraktala

Prema osnovnoj podeli razlikuju se

• geometrijski,
• algebarski i
• stohastični fraktali.

Pored toga, fraktali se, prema postanku, mogu podeliti na prirodne i veštačke, gde se pod veštačkim fraktalima podrazumevaju oni do kojih su došli naučnici, a koji, pri proizvoljnom uvećanju, zadržavaju osobine fraktala. Kod prirodnih fraktala se javlja ograničenost oblasti egzistencije - postoje maksimalna i minimalna veličina razmere objekta za koju on poseduje fraktalne osobine.

Polazni Mandelbrotov skup	Uvećanje šest puta	Uvećanje 100 puta	Fini detalji podsećaju na polazni skup

Fraktali se još dele na

• determinisane (ovde spadaju geometrijski i algebarski fraktali) i
• nedeterminisane (stohastične fraktale).

U odnosu na stepen samosličnosti, fraktali mogu biti:

• potpuno samoslični - najveći stepen samosličnosti. Fraktal je identičan samom sebi na proizvoljnom nivou uvećanja. Ovu osobinu imaju fraktali koj se dobijaju pomoću iterativnih funkcija.
• skoro samoslični - manje strog oblik samosličnosti; fraktal deluje približno (ali ne i potpuno) identičan samom sebi na različitim nivoima uvećanja. Ovakve fraktale čine umanjene kopije celog fraktala u izobličenim i degenerisanim oblicima. Obično su to fraktali koji se dobijaju pomoću rekurentnih veza.
• statistički samoslični - najniži nivo samosličnosti. Fraktal poseduje numeričke ili statističke mere koje se čuvaju kroz uvećanje ili umanjenje. Najjednostavnije definicije fraktala trivijalno ukazuju na neku vrstu statističke samosličnosti (fraktalna dimenzija je sama po sebi numerička veličina koja se ne menja sa uvećanjem, odnosno umanjenjem). Ovde spadaju fraktali generisani stohastičkim procesima.

Geometrijski fraktali

Mengerov sunđer

Kantorov oblak

Geometrijski fraktali su prvi fraktali koje su izučavali matematičari u 19. veku, zahvaljujući njihovoj očiglednosti, odnosno zato što je kod njih odmah primetna osobina samosličnosti.

Dvodimenzione geometrijske fraktale je moguće dobiti zadavanjem proizvoljne krive koja će poslužiti kao generator. Zatim se, u svakom sledećem koraku, srednji deo te krive zameni generatorom - umanjenim likom cele krive. Beskonačnim ponavljanjem ovog postupka dobija se izlomljena fraktalna kriva. Iako je ta kriva veoma složena, njen opšti oblik moguće je zadati samo generatorom. Na taj način mogu se generisati zmajeva kriva, Kohova kriva, Levijeva kriva, kriva Minkovskog, Peanova kriva i Hilbertova kriva.

Pored navedenih fraktalnih krivih, u geometrijske fraktale spadaju i Kantorov skup, kao i njegova višedimenziona uopštenja, Kantorova prašina (u ravni) i Kantorov oblak (u prostoru), trougao Sjerpinjskog, tepih Sjerpinjskog, Pitagorino drvo i Mengerov sunđer.

Beskonačno guste krive

Beskonačno guste krive su fraktalne krive koje nakon beskonačnog broja iteracija potpuno prekrivaju deo $n$-dimenzionog prostora u kojem se nalaze ($n>1$). Tako će beskonačno gusta kriva u ravni zauzimati svaku tačku npr. kvadrata, a u trodimenzionom prostoru svaku tačku kocke. Prvi ih je opisao italijanski matematičar Đuzepe Peano, pa se sve one ponekad nazivaju Peanovim krivama.

Svojstva

Fraktalne dimenzije svih beskonačno gustih krivih odgovaraju topološkoj dimenziji prostora u kojem se nalaze, baš zato što ispunjavaju čitav taj prostor, iako je njihova topološka dimenzija uvek $1$. Dakle, fraktalna dimenzija beskonačno gustih krivih u ravni (jediničnom kvadratu) je $2$, u prostoru (jediničnoj kocki) je $3$ itd.

Peanova kriva

Peanova kriva je prva opisana beskonačno gusta kriva. Nju je 1890. godine opisao italijanski matematičar Đuzepe Peano.

Konstrukcija

Peanova kriva se konstruiše nizom iteracija. Prva iteracija je zadata kakva jeste. Narednu iteraciju dobijamo na sledeći način:

• Prethodnu iteraciju posmatramo kao kvadrat i podelimo ga na 9 novih kvadrata jednakih veličina.
• Svaki od tih kvadrata zamenimo 9 puta umanjenim kvadratom iz prethodne iteracije.
• Zatim se izvrši horizontalna, odnosno vertikalna refleksija kvadrata, kako bi spajanje bilo korektno izvršeno.
• Na kraju, krive u kvadratima se spoje u jednu neprekidnu krivu.

Prve tri iteracije Peanove krive

Postoji veliki broj varijanti Peanovih krivih, u zavisnosti izgleda prve iteracije i podele na kvadrate.

Hilbertova kriva

Animirana konstrukcija Hilbertove krive u prvih 8 iteracija

Pri konstrukciji Hilbertove krive koristi se ideja bazirana na podeli kvadrata na 4 manja, umesto na 9 manjih kvadrata jednakih veličina.

Hilbertova kriva je beskonačno gusta kriva koju je opisao nemački matematičar David Hilbert 1891. godine.

Hauzdorfova dimenzija Hilbertove krive je $2$. Iako je Hilbertova kriva u ravni ograničena kvadratom, njena dužina eksponencijalno raste sa brojem iteracija i iznosi $H_{n}=2^{n}-{\frac {1}{2^{n}}}$.

Konstrukcija

Konstrukcija je slična konstrukciji Peanove krive. Prvo, zadaju se dve početne iteracije (onakve kakve jesu), a zatim se u svakoj narednoj iteraciji svi segmenti slični krivoj iz prve iteracije zamene čitavom krivom iz druge iteracije. Dalja konstrukcija se može izvršiti na dva načina, iako je rezultat potpuno isti:

• $n$-tu iteraciju dobijemo ako u $(n-1)$-oj iteraciji svaki segment sličan krivoj iz prve iteracije zamenimo čitavom drugom iteracijom.
• $n$-tu iteraciju dobijemo ako u $(n-1)$-oj iteraciji svaki segment sličan krivoj iz prethodne iteracije zamenimo tom čitavom iteracijom.

Prva iteracija	Prva i druga iteracija	Prve tri iteracije

Hilbertova kriva u prostoru se pravi jednostavnom analogijom.

Prva iteracija

Druga iteracija

Treća iteracija

Četvrta iteracija

Konstrukcija korišćenjem L-sistema

• Početak:$L$
• Pravila:
  • $L$→ $+RF-LFL-FR+$
  • $R$→ $-LF+RFR+FL-$
• Značenje:
  • $F$$=$ "crtaj napred"
  • $-$ $=$ "okreni u smeru kazaljke na satu za ${\frac {\pi }{2}}$ "
  • $+$ $=$ "okreni u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu za ${\frac {\pi }{2}}$ "

Primene

Hilbertova kriva ima višestruke primene u raznim oblastima, a najviše u računarstvu i informatici. Koristi se kod IP adresa računara, kako bi mogla da se konstruiše slika mreže. Kod za generisanje slike će pretvoriti 2D u 1D da bi našao boju svakog piksela, a Hilbertova kriva se ponekad koristi jer bliske IP adrese u slici čuva jednu blizu druge. Takođe je našla primenu u multidimenzionim bazama podataka - pri traženju zapisa mogu pomoći u određivanju prioriteta pretrage. Koriste se i pri izradi crno-belih fotografija. Hilbertove krive u većim dimenzijama predstavljaju generalizaciju Grejevog koda, i koriste se u slične svrhe.

Algebarski fraktali

Algebarski fraktali su oni fraktali za čiju se konstrukciju koriste iterativne nelinearne funkcijekoje se zadaju jednostavnim algebarskim formulama.

Nule funkcije trećeg stepena u kompleksnoj ravni * sve tačke iste boje konvergiraju ka jednom rešenju

U 16. veku italijanski matematičari su razvili egzaktne formule za rešavanje algebarskih jednačina trećeg i četvrtog stepena, a početkom 19. veka matematičar Nils Abel dokazao je da ne postoje univerzalne metode kojima bi se rešavale jednačine petog i višeg stepena. No, takve se jednačine mogu rešavati približno, do potrebne tačnosti. Metode približnog rešavanja jednačina razvijale su se tokom više vekova. Isak Njutn je razvio speciifčnu iterativnu metodu koju je kasnije usavršio Džozef Rafson.

Aproksimacija funkcija

$f(x)={\frac {x^{2}}{4}}$

$f(x)=\sin x$

Pretpostavimo da nula neprekidne funkcije pripada intervalu $[A,B]$. Odaberemo jednu od krajnjih tačaka intervala, na primer $A$, i odredimo tangentu u njoj. Označimo tačku preseka $A'$ tangente i apscise i postupak ponovimo primenjen na interval $[A',B]$. Postupak ponovaljamo sve dok ne postignemo zadovoljavajuću tačnost rešenja, odnosno dok posmatrani interval ne postane dovoljno mali.

Treba primetiti da u slučajevima sa slika sa strane približna rešenja postaju sve bliža stvarnom rešenju, odnosno konvergiraju mu, iako su kod leve funkcije "susedna" približna rešenja uvek sa suprotne strane stvarnog.

Ova metoda može se primeniti i na kompleksnu ravan. Razmotrimo nule kompleksne funkcije $p(z)=z^{3}-1$.

Iz grafika sa strane vidimo da su granice tri skupa složene te da daljim povećavanjem dobijamo sve veću složenost. Osim toga, granična područja sadrže područja koja su potpuno slična područjima u kojima se nalaze. Drugim rečima, ona poseduju svojstvo samosličnosti, odnosno to su fraktali.

Žulijin skup

Žulijin skup

Žulijin skup (u širem smislu) je granica skupova tačaka $z_{0}=x+iy$ u kojima niz ${\mathit {z}}_{n+1}=f(z_{n})$ konvergira i skupa tačaka za koje taj niz divergira. Ovde $f(z_{n})$ može biti bilo koja funkcija.

Žulijin skup (u užem smislu) dobijamo ako za funkciju $f(z_{n})$ izaberemo $f(z_{n})=z_{n}^{2}+c$.

Dobio je ime po francuskom matematičaru Gastonu Žuliji.

Konstrukcija

Ako se za svaku tačku kompleksne ravni $z_{0}=x+iy$ definiše niz ${\mathit {z}}_{n+1}=f(z_{n})$, gde je $f(z_{n})$ može biti bilo koja funkcija, možemo definisati dva skupa:skup tačaka$z_{0}$ za koje definisani niz konvergira i skup tačaka $z_{0}$ za koje taj niz divergira, odnosno teži u beskonačnost. Žulijin skup (u širem smislu) je granica tih skupova. Obično se Žulijin skup, kao i svi algebraski fraktali, prikazuje tako da su tačke koje konvergiraju crne, a one koje divergiraju u raznim nijansama iste ili različitih boja . Nijansa boje zavisi od brzine kojom niz raste – što se više odmičemo od Žulijinog skupa, niz brže raste. Menjanjem konstante $c$ u Žulijinom skupu u užem smislu dobijamo najrazličitije skupove.

Povezanost

Žulijin skup je povezan ako je skup koji okružuje kompaktan.. Ova je osobina vrlo važna za definiciju Mandelbrotovog skupa.

• 
  c=1-φ, φ = zlatni rez
  (povezan)
• 
  c=(φ-2)+(φ-1)i = -0.4+0.6i
  (nepovezan)
• 
  c=0.285+0i
  (nepovezan)
• 
  c=0.285+0.01i
  (nepovezan)
• 
  c=0.45+0.1428i
  (nepovezan)
• 
  c=-0.70176-0.3842i
  (povezan)

Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skup u kompleksnoj ravni

Mandelbrotov skup je najsavršeniji od svih fraktala. Određen je rekurentnom funkcijom $z_{n+1}=z_{n^{2}}+c$, gde je $c$ kompleksan broj takav da je Žulijin skup povezan.

Tačnije, Mandelbrotov skup je skup svih kompleksnih brojeva $c$ takvih da je, za početni uslov $z_{0}=0$, moduo kompleksnog broja $z_{n+1}=z_{n^{2}}+c$ ograničen.

Sve tačke Mandelbrotovog skupa $M$ leže unutar kruga poluprečnika 2. Naime:

$z_{0}=0,\quad z_{1}=c,\quad z_{2}=c^{2}+c,\ldots ,z_{n+1}=z_{n^{2}}+c$

$c\in M\ \Longleftrightarrow \ \lim _{n\rightarrow \infty }|z_{n+1}|\leq 2$.

Razni samoslični fraktali, kojima pripada i Mandelbrotov, najjednostavnije se konstruišu uz pomoć "escape - time" algoritma.

Pseudo kod za crtanje Mandelbrotovog skupa:

ulaz: sirina i visina ekrana;
      maksimalni broj iteracija max_iter;
      niz[];

begin

for i := 0 to visina do
  for j := 0 to sirina do

    Re_c = (j - sirina / 2) * 4 / sirina;
    Im_c = (i - visina / 2) * 4 / sirina;

    x = 0; y = 0;
    iter = 0;

    while x * x + y * y <= 4 and iter < max_iter do
      tmp = x * x - y * y + Re_c;
      y = 2 * x * y + Im_c;
      x = tmp;
      iter++;

    if iter < max_iter then
      oboji_piksel(j, i, boja[iter]);
    else
      oboji_piksel(j, i, crno);

end

Gorući brod

Gorući brod je fraktal kojeg su opisali Majkl Miketliš i Oto Rosler 1992. Konstruiše se na sličan način kao i Žulijin skup: za svaku tačku kompleksne ravni $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ odredi niz tačaka $z_{n+1}=x_{n+1}+iy_{n+1}$ tako da je $x_{n+1}=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}-x_{0}$ i $y_{n+1}=2|x_{n}y_{n}|-y_{0}$. Tačke koje nakon mnogo iteracija konvergiraju ka jednoj vrednosti pripadaju skupu, pa se oboje jednom bojom. Ostale tačke divergiraju i oboje se različitim nijansama, zavisno od toga koliko brzo divergiraju.

Gorući brod je skup belih tačaka

Uvećan donji levi deo slike levo koji pokazuje samosličnost fraktala

Njutnov fraktal

Njutnov fraktal za polinom sedmog stepena

Njutnova metoda za nalaženje korena funkcije se bazira na, takođe, iterativnom procesu. Njutnov fraktal je upravo granica skupa u kompleksnoj ravni definisanog Njutnovim metodom primenjenim na polinom kompleksnog broja. Sa Mandelbrotovim skupom, Njutnov metod je povezan na najneverovatniji način. Ispitivan je Njutnov metod nad određenom kubnom kompleksnom funkcijom. Na kompleksnoj ravni sa tri boje su obeležavane tačke koje bi kao početne dovele do otkrivanja korena jednakom $1$, tačke koje bi konvergirale ka nekom od preostala dva korena i tačke koje su upadale u cikluse između bar dva korena. Uveličavanjem dobijene slike otkriven je fraktal Mandelbrotovog skupa, onako kako ga znamo za kvadratnu iterativnu funkciju, a pripadao je oblasti tačaka koje nisu konvergirale ka samo jednom korenu.

Za neke veoma jednostavne fizičke sisteme (mehanički, magnetni, optički, itd.) pokazuje se da su atraktorske oblasti korenova izrazito fraktalno razlomljene i jednostavni sistemi postaju praktično nepredvidljivi. Njihovo konačno stanje drastično zavisi od početnih uslova i ovo je prva naznaka povezanosti fraktala i haosa.

Vidi još

• Sistem iterirane funkcije

Literatura

• Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter (1986). The Beauty of Fractals. Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-15851-8. 
• Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
• Edgar, Gerald (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. New York: Springer Science+Business Media. str. VII. ISBN 978-0-387-74748-4. 
• Falconer, Kenneth (1982). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 978-0-470-84862-3. 
• Miroslav M. Novak, ur. (2004). Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-238-822-3. 

Spoljašnje veze

• Fraktali na mathworld.wolfram.com (jezik: engleski)
• Predavanja o fraktalima sa Univerziteta Jejl (jezik: engleski)
• Haos i fraktali (jezik: engleski)
• Osobine fraktala (jezik: engleski)
• Fraktali - čudesne slike haosa (jezik: hrvatski)
• Fraktalni oblici u numeričkim aproksimacijama (jezik: hrvatski)