Funkcija indikator

Grafik funkcije indikatora dvodimenzionog skupa.

U matematici, funkcija indikator ili karakteristična funkcija je funkcija definisana na skupu $X$, koja označava pripadnost elementa podskupu $A$ od $X$.

Indikator funkcija podskupa $A$ skupa $X$ je funkcija

$\mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace \,$

definisana kao

$\mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{ako}}\ x\in A,\\0&{\mbox{ako}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.$

Ajversonove zagrade dozvoljavaju sledeću notaciju: $[x\in A]$.

Napomene o notaciji i terminologiji

• Notacija $\mathbf {1} _{A}$ može da označava funkciju identiteta.
• Notacija $\chi _{A}$ može da označava karakterisičnu funkciju u konveksnoj analizi.

Izraz karakteristična funkcija ima drugačije (nepovezano) značenje u teoriji verovatnoće. Zbog ovoga se u teoriji verovatnoće za ovaj pojam gotovo uvek koristi izraz funkcija indikator, dok matematičari u drugim oblastima češće koriste izraz karakteristična funkcija za opisivanje funkcije koja označava pripadnost skupu.

Osnovna svojstva

Preslikavanje koje povezuje podskup $A$ skupa $X$ sa svojom funkcijom indikatorom $\mathbf {1} _{A}$ je injektivno.

U sledećim formulama, tačka predstavlja množenje, 1·1 = 1, 1·0 = 0 itd. "+" i "−" predstavljaju sabiranje i oduzimanje. "$\cap$" i "$\cup$" su presek i unija.

Ako su $A$ i $B$ dva podskupa od $X$, onda

$\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,$

$\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},$

a komplement funkcije indikatora za A, tj. A^C je:

$\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.$

Opštije, pretpostavimo da je $A_{1},\ldots ,A_{n}$ kolekcija podskupova od $X$. Za svako $x\in X$,

$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))$

je jasno proizvod nula i jedinica. Ovaj proizvod ima vrednost $1$ tačno za one $x\in X$ koji ne pripadaju ni jednom od skupova $A_{k}$, a ima vrednost $0$ inače. To jest

$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.$

Ako raspišemo proizvod sa elve strane, dobijamo,

$\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}$

gde je $|F|$ kardinalnost od $F$. Ovo je jedan oblik principa uključenja-isključenja.

Kao što se vidi u prethodnom primeru, funkcija indikator je korisna kao sredstvo notacije u kombinatorici. Ova notacija se koristi i u drugim oblastima, na primer u teoriji verovatnoće: ako je $X$ prostor verovatnoće sa merom verovatnoće $\mathbb {P}$ i $A$ je merljivi skup, onda $\mathbf {1} _{A}$ postaje slučajna promenljiva čija je očekivana vrednost jednaka verovatnoći $A:$

$E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).\quad$

Ovaj identitet je jednostavan dokaz Markovljeve nejednakosti.

Literatura

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
• Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
• Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
• George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
• Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
• Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174