Heronova formula

Iz projekta Википедија

Trougao sa stranicama a, b, i c.

U geometriji, Heronova formula služi za izračunavanje površine (P) trougla čije stranice imaju dužinu a, b, i c i glasi

$P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

gde je s poluobim trougla:

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

Heronova formula se može zapisati i na jedan od sledećih načina:

$P={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

$P={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}\ \over 4}$

$P={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}.$

[uredi] Istorija

Formula se pripisuje Heronu iz Aleksandrije, a dokaz se može naći u njegovoj knjizi „Metrika“ (Metrica), koja je napisana 60. godine n. e. Postoje indicije da je za formulu znao i Arhimed, a, s obzirom da je „Metrika“ kolekcija matematičkih znanja kojima je raspolagao antički svet, moguće je da ju je Heron samo zabeležio, a ne i otkrio^[1].

Formula ekvivalentna Heronovoj, a zapisana u obliku:

$P=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}$

bila je poznata u drevnoj Kini, a otkrivena je nezavisno od Grka. Može se naći u čuvenom delu „Devet knjiga o matematičkoj veštini“ (Shushu Jiuzhang), koje je objavio Qin Jiushao 1247. godine.

[uredi] Dokaz

Sledi moderan dokaz formule koji koristi algebru i trigonometriju, i potpuno je drugačiji od originalnog Heronovog dokaza. Neka su a, b i c stranice trougla, a $\alpha\,$ , $\beta\,$ i $\gamma\,$ odgovarajući uglovi koji se nalaze nasuprot stranica trougla. Prema kosinusnoj teoremi je:

$\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ .

Odatle dobijamo algebarsku jednakost:

$\sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

Visina trougla koja ogovara osnovici a ima dužinu $b sinγ$ , pa je

$P\,$	$= \frac{1}{2} (\mbox{osnovica}) (\mbox{visina})$
	$= \frac{1}{2} ab\sin\gamma$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))}$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}$
	$= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

U prethodnim koracima je dva puta primenjena formula za faktorizaciju polinoma pomoću razlike kvadrata.

[uredi] Dokaz uz korišćenje Pitagorine teoreme

Trougao sa visinom h koja na stranici c pravi odsečke dužina d i (c−d).

Heronov originalni dokaz koristi tetivni četvorougao, uz oslanjanje na trigonometriju slično prethodnom dokazu, ili na centar upisanog kruga i jedan opisani krug trougla^[2]. Sledi dokaz Heronove formule svođenjem direktno na Pitagorinu teoremu uz korišćenje elementarnih transformacija.

Zapisana u obliku $4P^2= 4s(s-a)(s-b)(s-c)\,$ , Heronova formula se svodi sa leve strane jednakosti na $(ch)^2\,$ , ili, s obzirom da je, prema Pitagorinoj teoremi, $h^2 = b^2-d^2\,$ , na

$(cb)^2-(cd)^2\,$ ,

a desna strana postaje

$(s(s-a)+(s-b)(s-c))^2\,$ − $((s(s-a)-(s-b)(s-c))^2\,$

korišćenjem jednakosti $(p+q)^2-(p-q)^2=4pq\,$ . Odatle je dovoljno da se pokaže da važi

$cb=s(s-a)+(s-b)(s-c)\,$ , i

$cd = s(s-a)-(s-b)(s-c)\,$ .

Prva jednakost se lako dobija ukoliko iskoristimo da je $s=(a+b+c)/2\,$ i pojednostavimo izraz. Ukoliko isti postupak ponovimo za drugu jednakost, svešćemo je na $s(s-a)-(s-b)(s-c)\,$ samo u slučaju da je $(b^2+c^2-a^2)/2\,$ . Ali, ako zamenimo $b^2\,$ sa $d^2+h^2\,$ i $a^2\,$ sa $(c-d)^2+h^2\,$ , pri čemu obe jednakosti slede prema Pitagorinoj teoremi, izraz se svodi na $cd\,$ što je i trebalo dobiti.

[uredi] Numerička stabilnost

Heronova formula u navedenom obliku je numerički nestabilna za trouglove sa jako malim uglom. Stabilna alternativa^[3] zahteva uređenje dužina stranica trougla tako da važi: a ≥ b ≥ c i izračunavanje po formuli

$A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.$

Zagrade u navedenoj formuli su potrebne da bi sprečile numeričku nestabilnost u izračunavanju.

[uredi] Generalizacije

Heronova formula je specijalan slučaj formule Bramagupte za površinu tetivnog četvorougla, a obe formule su specijalan slučaj Bretšnajderove formule za površinu četvorougla. U oba slučaja, Heronova formula se dobija ukoliko se za jednu od strnica četvorougla pretpostavi da je dužine nula.

Heronova formula je takođe poseban slučaj formule za površinu trapeza koja koristi samo njegove stranice, i može se dobiti iz nje, ukoliko se uzme da je manja osnovica trapeza jednaka nuli.

Izražavanje Heronove formule pomoću determinante čiji su članovi kvadrati dužina stranica trougla,

$P = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$