Četiri četvorke

Četiri četvorke (engl. Four fours) je matematička zagonetka koja traži što jednostavniji matematički izraz za svaki ceo broj počev od nule, uz dozvoljenu upotrebu samo uobičajenih matematičkih simbola i četiri cifre četiri (nije dozvoljeno upotrebljavati druge cifre). Jedna od varijacija ove zagonetke dozvoljava upotrebu što manjeg broja cifara (ne obavezno četiri).

Pravila

Postoji puno različitih varijanti ove zagonetke, koje se međusobno razlikuju u tome koje matematičke simbole dozvoljavaju. Uvek je sigurno dozvoljeno sabiranje (+), oduzimanje (−), množenje (×), deljenje (÷), upotreba zagrada, i konkatenacija (npr. dozvoljeno je koristiti 44). U većini slučajeva, dozvoljena je i upotreba faktorijela (!), stepenovanja (npr. 44⁴), decimalnog zareza (,) i korenovanja, iako je ponekad kvadratni koren eksplicitno isključen zbog toga što u njegovom zapisu učestvuje cifra 2 koja se inače ne piše, ali se podrazumeva. Pored navedenih matematičkih simbola, ponekad se dozvoljavaju i subfaktorijel, (! ispred broja: !4 je jednako 9), nadvučena crta koja označava da se cifra beskonačno ponavlja, koren proizvoljnog reda, gama-funkcija (Γ(), gde je Γ(x) = (x − 1)!), i procenat (%). Tako je 4/4% = 100 i Γ(4)=6. Vrlo često se u rešenjima koristi i:

$,{\overline {4}}=,4444...=4/9$

Obično nije dozvoljena upotreba logaritama, pošto je pomoću njih moguće trivijalno napraviti proizvoljan broj:

$n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}$

Nekada se, umesto upotrebe četiri četvorke, koriste neke druge četiri cifre (i takva zagonetka se ne zove „četiri četvorke“), na primer, cifre godine nečijeg rođenja. U tom smislu, ukoliko je u igri 1975. godina, zadatak bi bio da se tačno jednom upotrebe cifre 1, 9, 7, i 5.

Rešenja

Slede primeri kako sa četiri četvorke dobiti brojeve od 0 do 35, korišćenjem standardnih pravila. Navedena su i neka alternativna rešenja, a može da postoji i više načina da se dođe do nekog broja, nego što je dato.

• 0 = 44 − 44 = 4 − 4 + 4 − 4 = 4 + 4 - 4 - 4 = 4 - 4 - 4 + 4
• 1 = 44 ÷ 44 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = (44 − 44)!
• 2 = 4 ÷ 4 + 4 ÷ 4 = ((4 + 4) ÷ √4) - √4
• 3 = (4 + 4 + 4) ÷ 4
• 4 = 4 ×(4 − 4) + 4 = -44 + 4! + 4!
• 5 = (4 × 4 + 4) ÷ 4
• 6 = 4 × ,4 + 4,4
• 7 = 44 ÷ 4 − 4 = 4 + 4 − (4 ÷ 4)
• 8 = 4 + 4,4 − ,4 = 4 + 4 + 4 − 4 = 4 * 4 - (4 + 4)
• 9 = 4 + 4 + 4 ÷ 4
• 10 = (44 − 4) / 4 = 44 ÷ 4,4 = 4 + √4 + √4 + √4 = √((4 ÷ ,4) + 4 ÷ ,4)
• 11 = 4 ÷ ,4 + 4 ÷ 4
• 12 = (44 + 4) ÷ 4
• 13 = 4! − 44 ÷ 4= (4 − ,4) ÷ ,4 + 4
• 14 = 4 × (4 − ,4) − ,4 = 4 ÷ ,4 + √4 + √4
• 15 = 44 ÷ 4 + 4 = 4 × 4 − 4 ÷ 4
• 16 = ,4 × (44 − 4) = 4 × 4 × 4 ÷ 4 = 4 + 4 + 4 + 4 = √4 × √4 × √4 × √4
• 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4
• 18 = 44 × ,4 + ,4 = 4 × 4 + 4 ÷ √4
• 19 = 4! − 4 − 4 ÷ 4
• 20 = 4 × (4 ÷ 4 + 4)
• 21 = (4! − 4) + 4 ÷ 4
• 22 = 44 ÷ 4 × √4
• 23 = 4! − √4 + 4 ÷ 4
• 24 = 4! − 4 + √4 + √4
• 25 = 4! + √4 − 4 ÷ 4
• 26 = (4 ÷ ,4) + 4 × 4
• 27 = 4! + 4 − 4 ÷ 4
• 28 = 4! + 4 − √4 − √4
• 29 = 4! + 4 + 4 ÷ 4
• 30 = 4! + √4 + √4 + √4
• 31 = (4!! × 4) - 4 ÷ 4
• 32 = (4 × 4) + 4 × 4
• 33 = (4!! × 4) + 4 ÷ 4
• 34 = (4!! × 4) + 4 - √4
• 35 = (4!! × 4) + G(4) ÷ √4

U ovoj igri se decimalni brojevi ne pišu sa vodećom nulom. Na primer, umesto „0,4“ koristi se „,4“. Razlog ovakvog zapisa je pravilo koje dozvoljava samo upotrebu cifre četiri, a ne i cifre nula.

U situaciji kada se do jednog broja može doći na više različitih načina, sva rešenja koja zadovoljavaju pravila su prihvatljiva. U nekim verzijama problema, prednost se daje rešenjima koja su dobijena u manjem broju koraka, ili rešenjima koja koriste određene operacije, ili su interesantnija, u smislu da na neočekivani način daju traženi broj.

Neke brojeve, npr. 113 i 123, prilično je teško dobiti korišćenjem standardnih pravila. Za 113 predlaže se Γ(Γ(4)) −(4! + 4)/4, a za 123 može se koristiti izraz:

${\sqrt {\sqrt {\sqrt {{\left({\sqrt {4}}/.4\right)}^{4!}}}}}-{\sqrt {4}}.$

Prvi pisani trag vezan za ovu zagonetku se može naći u knjizi „Matematičke rekreacije i eseji“ (engl. Mathematical Recreations and Essays) koju je objavio V. V. Rouz Bol 1892. godine, gde se navodi kao „tradicionalna rekreacija“.

Algoritmika problema

Ovaj problem i njegove generalizacije (kao što je problem pet petica i problem šest šestica), mogu da se reše korišćenjem jednostavnog algoritma. Suština je u pravljenju heš tabela koje mapiraju racionalne brojeve u stringove. U tim tabelama, ključevi su brojevi koji su prikazani nekom prihvatljivom kombinacijom operatora i izabrane cifre d, na primer, četvorke, a vrednosti su stringovi koji sadrže samu formulu. Za svaki broj n pojavljivanja cifre d postoji posebna tabela. Na primer, ukoliko se izabere cifra 4, heš tabela za dva pojavljivanja te cifre bi sadržala par 8 i 4+4 (gde je iskošenim pismom naveden ključ, a podebljanim formula), a tabela za tri pojavljivanja iste cifre bi sadržala par 2 i (4+4)/4.

Sada se zadatak svodi na rekurzivno izračunavanje ovih heš tabela počevši od vrednosti n=1, pa sve do npr. n=4. Tabele za n=1 i n=2 sadrže primitivne elemente koji nisu kombinacija postojećih, kraćih formula, pa se moraju propisno inicijalizovati,. Na primer, za n=1 postojali bi slogovi:

       T[4]    := "4";
       T[4/10] := ",4";
       T[4/9]  := ",4...";

a za n=2:

        T[44] := "44";.

U ovom trenutku postoje dva načina na koje je moguće napraviti nove slogove, ili kao kombinaciju neka dva postojeća korišćenjem binarnog operatora, ili primenom faktorijela ili kvadratnog korena (ovi operatori ne koriste dodatne cifre d).

Prvi slučaj se rešava iteracijom kroz sve parove podizraza koji koriste tačno n pojavljivanja cifre d. U tom smislu, za n=4, trebalo bi proveriti sve uređene parove (a,b) kod kojih a sadrži jedno pojavljivanje cifre d a b tri, kao i sve a koji sadrže dva pojavljivanja d i b sa istom osobinom. Zatim bi se u heš tabelu upisale formule oblika a+b, a-b, b-a, a*b, a/b, b/a, uključujući i upotrebu zagrada. Ovde se skupovi A i B koji sadrže a i b računaju rekurzivno, pomoću osnovnih slučajeva n=1 i n=2.

Drugi slučaj (primena faktorijela i kvadratnog korena) se uvodi korišćenjem pomoćne funkcije koja se poziva svaki put kada se registruje vrednost v. Ta funkcija računa ugnežđene faktorijele i kvadratne korene iz v do neke najveće dubine koja je ograničena na racionalne brojeve.

Tražena rešenja se dobijaju izdvajanjem ključeva iz tabele koja odgovara zadatoj vrednosti n i njihovim sortiranjem. Opisani algoritam je upotrebljen pri računanju navedenih primera za problem pet petica i šest šestica. U situacijama kada je nađeno više različitih formula, izabirana je ona u čijem je zapisu upotrebljeno manje karaktera.

Deo rešenja problema pet petica

139 = ((((5+(5/5)))!/5)-5)
140 = (,5*(5+(5*55)))
141 = ((5)!+((5+(5+,5))/,5))
142 = ((5)!+((55/,5)/5))
143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5)
144 = ((((55/5)-5))!/5)
145 = ((5*(5+(5*5)))-5)
146 = ((5)!+((5/5)+(5*5)))
147 = ((5)!+((,5*55)-,5))
148 = ((5)!+(,5+(,5*55)))
149 = (5+(((5+(5/5)))!/5))

Deo rešenja problema šest šestica

U donjoj tabeli oznaka „,6...“ predstavlja broj 2/3.

241 = ((,6+((6+6)*(6+6)))/,6)
242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/,6))
243 = (6+((6*(,6*66))-,6))
244 = (,6...*(6+(6*(66-6))))
245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6)
246 = (66+(6*((6*6)-6)))
247 = (66+((6+((6)!/,6...))/6))
248 = (6*(6+(6*(6-(,6.../6)))))
249 = (,6+(6*(6+((6*6)-,6))))
250 = (((6*(6*6))-66)/,6)
251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))
252 = (66+(66+((6)!/6)))
253 = ((6/6)+(6*(6+(6*6))))
254 = ((,6...*((6*66)-6))-6)
255 = ((((6*6)+66)/,6)/,6...)
256 = (6*(6*(6-(6/(,6-6)))))
257 = (6+(((6)!+((6)!+66))/6))
258 = ((6)!-(66+(6*66)))
259 = ((((6*6)+((6)!/6))-,6)/,6)
260 = ((66+(((6)!/,6)/6))-6)

Spoljašnje veze

• Penchel, Rogerio. Four Fours Online Game (jezik: engleski)
• Wheeler, David A. 2002. The Definitive Four Fours Answer Key Arhivirano na sajtu Wayback Machine (9. oktobar 2004) (jezik: engleski)
• John Valentine's Four Fours page (jezik: engleski)
• A. Bogomolny's Four Fours page (jezik: engleski)
• Carver, Ruth. Four Fours Puzzle (jezik: engleski)
• Four Fours Problem (jezik: engleski)
• University of Toronto Math Net's The Four Fours Problem (jezik: engleski)