Kramerovo pravilo

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije

Kramerovo pravilo je teorema u linearnoj algebri, koja daje rešenje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti. Dobila je ime po Gabrijelu Krameru (1704. - 1752.).

Računski, radi se o neefikasnom postupku, i stoga se ne koristi u praksi u slučajevima kada je broj jednačina u sistemu veliki. Međutim, ovo pravilo je od teorijskog značaja jer daje eksplicitni izraz za rešenje sistema.

Vikiknjige imaju više informacija o:

Kramerovo pravilo

[uredi] Elementarna formulacija

Sistem jednačina predstavljen u formi množenja matrica kao:

$Ax = c\,$

gde je kvadratna matrica $A$ invertibilna a vektor $x$ je vektor kolone promenljivih: $(x i)$ .

Teorema onda tvrdi da:

$x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}$

$(1)\,$

gde je $A i$ matrica koja se dobija zamenom i-te kolone iz $A$ vektorom kolone $c$ . Radi jednostavnosti, ponekad se koristi samo jedan simbol kao što je $Δ$ da predstavi $det(A)$ a notacija $Δ i$ se koristi da predstavi $det(A i)$ . Stoga se jednačina (1) može kompaktnije zapisati kao

$x_i = { \Delta_i \over \Delta }\,$

[uredi] Apstraktna formulacija

Neka je R komutativni prsten, a A n×n matrica sa koeficijentima iz R. Onda

$\mathrm{Adj}(A)A = \mathrm{det}(A)I\,$

gde Adj(A) označava adjungovanu matricu matrice A, det(A) je determinanta, a I je jedinična matrica.

[uredi] Primer

Dobar način da se Kramerovo pravilo iskoristi za matrice dimenzije 2×2 je pomoću sledeće formule:

$ax + by = {\color{red}e}\,$ i

$cx + dy = {\color{red}f}\,$ ,

što se može zapisati u matričnom obliku

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}$

x i y se mogu naći Kramerovim pravilom:

$x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}$

i

$y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}$

Pravilo za matrice dimenzije 3×3 je slično.

$ax + by + cz = {\color{red}j}\,$ ,

$dx + ey + fz = {\color{red}k}\,$ i

$gx + hy + iz = {\color{red}l}\,$ ,

što se može zapisati u matričnom obliku

$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}$

x, y i z se mogu naći na sledeći način:

$x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$ , $y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$ , and $z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$

[uredi] Primene u diferencijalnoj geometriji

Kramerovo pravilo je vrlo korisno za rešavanje problema u diferencijalnoj geometriji. Uzmimo dve jednačine $F(x, y, u, v) = 0\,$ i $G(x, y, u, v) = 0\,$ . Kada su u i v nezavisne promenljive, možemo da definišemo $x = X(u, v)\,$ i $y = Y(u, v)\,$ .

Nalaženje jednačine za $\partial x/\partial u$ je trivijalno primenom Kramerovog pravila.

Prvo izračunamo prve izvode za F, G, x i y.

$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0$

$dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0$

$dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv$

$dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv$

Zamenom dx, dy у dF i dG, dobijamo:

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0$

$dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0$

Kako su u, v obe nezavisne, koeficijenti du, dv moraju biti jednaki nuli. Tako da možemo da napišemo:

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}$

Sada, primenom Kramerovog pravila vidimo da:

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}$

Ovo sada je formula u obliku dva jakobijana:

$\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}$

Slične formule se mogu izvesti za $\frac{\partial x}{\partial v}$ , $\frac{\partial y}{\partial u}$ , $\frac{\partial y}{\partial v}$ .

[uredi] Primene u algebri

Kramerovo pravilo se može koristiti za dokazivanje Kejli-Hamiltonove teoreme iz linearne algebre, kao i Nakajamine leme, koja je od osnovnog značaja u teoriji komutativnih prstenova.

[uredi] Spoljašnje veze

MIT predavanje iz linearne algebre o Kramerovom pravilu Gugl video, iz MIT OpenCourseWare

Kramerovo pravilo

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije

Sadržaj

[uredi] Elementarna formulacija

[uredi] Apstraktna formulacija

[uredi] Primer

[uredi] Primene u diferencijalnoj geometriji

[uredi] Primene u algebri

[uredi] Spoljašnje veze

Pregledi

Lični alati

navigacija

tehničke

Create a book

Pretraga

alati

Drugi jezici